обобщение скалярного произведения

[mich72]

афинная геометрия на плоскости.

Maslov в сообщении #579020 писал(а):

А без "например"? Можете Вы так определить операцию сложения на множестве направленных отрезков, чтобы получилась коммутативная группа?

афинная геометрия на плоскости.

-- 31.05.2012, 17:36 --



-- 31.05.2012, 17:38 --

Maslov в сообщении #579020 писал(а):

Можете Вы так определить операцию сложения на множестве направленных отрезков, чтобы получилась коммутативная группа?

афинная геометрия

-- 31.05.2012, 17:51 --

Maslov в сообщении #579004 писал(а):

Для вычисления диагонали прямоугольного треугольника никакой эталон площади не нужен: существует абсолютно школьное доказательство теоремы Пифагора через подобие треугольников. Какую задачу надо решить, не понял.

про теорему пифагора я выше написал. а по поводу элементарной математики в современном изложении: постройте аналитическую геометрию в прямолинейном косоугольном базисе не используя фактов, известных вам из геометрии, построенной на прямоугольном базисе. ето и есть задача. вот там и скалярное произведение вылезет не просто как удобная величина, а как необходимая величина для подобного построения. к стати надо будет пользоваться аналогом теоремы пифагора, но для ромба (косоугольного). вот тут вам и эталон площади пригодится, только уже не квадрата, как в классическом случае, а для ромба.
к стати и классическое доказательство использует сравнение площадей исходного квадрата и квадрата, построенного на диагонали исходного.

[Munin]

mich72 в сообщении #578969 писал(а):

для Munin. А что означает ортогональность в пространстве, например, многочленов? явно не перпендикулярность.

Нет, именно перпендикулярность. Просто вы привыкли смотреть на многочлен, как на формулу или график, а на самом деле это ещё и вектор. Геометрическая величина. Почему бы не рассматривать их перпендикулярность друг другу?

[AV_77]

mich72 в сообщении #578969 писал(а):

по поводу перпендикулярности и ортогональности:-из школьного курса: перпендикулярны - значит пересекаются под прямым углом (90 градусов);

То есть у вас уже задано некоторое скалярное произведение в "стандартном" базисе $(1, 0)$ и $(0, 1)$ по формуле $x_1y_1 + x_2y_2$.

mich72 в сообщении #578969 писал(а):

-из институтского курса: ортогональны - значит скалярное произведение векторов равно 0 (например, в пространстве полиномов какие углы?).

А теперь вы вводите новое скалярное произведение и удивляетесь, что векторы, ортогональные в соответствии с "новым" скалярным произведением, не являются ортогональными (по-вашему перпендикулярными) в соответствии со "старым" скалярным произведением.

Кстати, углы между многочленами можно ввести точно также, как и между "обычными" векторами $\cos \alpha = \frac{(f | g)}{\sqrt{(f|f)(g|g)}}$.

[Maslov]

mich72 в сообщении #579014 писал(а):

значит просто ваши базисные векторы не ортогональны. и только.

Да нет, не только. Смотрите, что получается. Берем вектор $a = (1, 1) = e_1 + e_2$ и скалярно умножаем его сам на себя:
$a a = (e_1 + e_2)(e_1 + e_2) = e_1 e_1 + e_1 e_2 + e_2 e_1 + e_2 e_2 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$
В результате получили скалярный квадрат ненулевого вектора, равный нулю, что противоречит одной из аксиом скалярного произведения. Другими словами, нельзя произвольно определить скалярное произведение на базисных векторах: матрица Грама должна быть быть невырожденной.

[Munin]

Там ещё положительная определённость...

[Maslov]

mich72 в сообщении #579022 писал(а):

афинная геометрия на плоскости

Что "афинная геометрия на плоскости"? Вы же утверждали, что множество направленных отрезков -- это векторное пространство, ну так обоснуйте.

Munin в сообщении #579035 писал(а):

Там ещё положительная определённость...

Дык я же не говорил, что невырожденность -- достаточное условие:)

[mich72]

AV_77 в сообщении #579031 писал(а):

А теперь вы вводите новое скалярное произведение и удивляетесь, что векторы, ортогональные в соответствии с "новым" скалярным произведением, не являются ортогональными (по-вашему перпендикулярными) в соответствии со "старым" скалярным произведением

абсолютно не удивляет речь идёт о том в частности, можно ли не перпендикулярные в смысле угла векторы можно считать ортогональными при соответственно подобранном скалярном произведении. если нет, то получается, что прямой угол как-то "выделен" среди прочих. а в симметричном пространстве выделенных направлений не должно быть.

-- 31.05.2012, 19:20 --

Maslov в сообщении #579036 писал(а):

Вы же утверждали, что множество направленных отрезков -- это векторное пространство, ну так обоснуйте

в физике таки поступают. если векторы свободные, то их можно перенести в начало координат, если имеют линию действия, то на этот случай есть теоремы например о главном векторе сил или главном моменте.

-- 31.05.2012, 19:30 --

Maslov в сообщении #579034 писал(а):

Да нет, не только. Смотрите, что получается. Берем вектор $a = (1, 1) = e_1 + e_2$ и скалярно умножаем его сам на себя:
$a a = (e_1 + e_2)(e_1 + e_2) = e_1 e_1 + e_1 e_2 + e_2 e_1 + e_2 e_2 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$
В результате получили скалярный квадрат ненулевого вектора, равный нулю, что противоречит одной из аксиом скалярного произведения. Другими словами, нельзя произвольно определить скалярное произведение на базисных векторах: матрица Грама должна быть быть невырожденной.

да признаю, никакие свойства СП в вашем примере я не проверял. я не думал, что это специально подобранный пример, чтобы уличить меня в ошибках или незнании. в конце концов я не экзамен сдаю. я лишь хочу разобраться в вопросе.
справка

Скалярное произведение
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Обычно предполагается что скалярное произведение положительно определено, то есть (a,a) > 0 для всех a неравных 0.
Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным.
А вот и пример ортогональных индефинитных векторов: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus
я нисколько не специалист и рассуждать про эту работу не могу. даже не читал.

еще одна цитата "Изотропные векторы, направления, конусы. Важной особенностью пространств с индефинитной метрикой является наличие ненулевых векторов, имеющих нулевую длину. Такие векторы (а также прямые, направляющими векторами которых они являются) называются изотропными или светоподобными (последнее наименование чаще используется в физике, оно связано с пространством Минковского)"

[Munin]

mich72 в сообщении #579081 писал(а):

справка

Скалярное произведение
Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Не читайте викимусорку. В самом крайнем случае - англоязычный вариант бывает более-менее выверен.

Если вам нужны определения математических терминов и понятий - читайте учебники по соответствующей области математики, и Математическую энциклопедию.

Да, рассматриваются индефинитные метрики (псевдометрики). Но они метриками не считаются, а считаются только обобщением понятия метрики. Аксиомы метрики неизменны, и положительная определённость в них входит. Безо всяких "обычно", просто входит.

[AV_77]

Кстати, есть такая теорема о приведении двух квадратичных форм к главным осям. В частности, и для двух положительно определенных симметричных билинейных форм (которые задают скалярные произведения) можно выбрать базис, в котором они одновременно будут иметь канонический вид.

[mich72]

Munin в сообщении #579126 писал(а):

Да, рассматриваются индефинитные метрики (псевдометрики). Но они метриками не считаются, а считаются только обобщением понятия метрики. Аксиомы метрики неизменны, и положительная определённость в них входит. Безо всяких "обычно", просто входит

на а меня и интересует то, как переносится скалярное произведение в общем случае. то есть в случае направленных отрезков первичные величины, естественные, наблюдаемые - угол, длина, площадь, объём. а скалярное произведение величина определяется через угол и длину векторов. в случае аксиоматического определения первоначальная величина СП, а длина и направление уже производные от СП. Неужели свойства СП просто перенесены с пространства направленных отрезков на случай мене наглядных ЛП, или всё же есть какие-то условия, требующие от СП именно таких свойств?

[AV_77]

mich72 в сообщении #579135 писал(а):

Неужели свойства СП просто перенесены с пространства направленных отрезков на случай мене наглядных ЛП

В принципе, да.

[Munin]

Сначала на "пространстве направленных отрезков" обнаружили удобство такой штуки, как скалярное произведение, а потом перенести на линейные пространства.

Правда, на самом деле, история была другая. Линейные пространства изучались давно, но не в векторной терминологии (а как системы линейных уравнений, способы их решения, и условия совместности). И вот параллельно с этим, появились комплексные числа, их геометрическое представление, и наконец, кватернионы. Геометрическое представление кватернионов оказалось настолько удобным, что в нём отказались от самих кватернионов, и создали алгебру векторов (современные понятия "скалярного произведения" и "векторного произведения" восходят к разным составляющим произведения кватернионов). И далее, язык векторов и векторных операций оказался удобен в линейных пространствах любой размерности (правда, векторного произведения в чистом виде там не осталось, но его аналоги сохранились). Настолько, что в современном изложении от этого языка и пляшут, и линейные пространства вводят как векторные пространства.

[Maslov]

(Оффтоп)

mich72 в сообщении #579081 писал(а):

я не думал, что это специально подобранный пример, чтобы уличить меня в ошибках или незнании.

Ну знаете, на Вас не угодишь. Сначала требуете аргументации

mich72 в сообщении #578969 писал(а):

И задать значения скалярного произведения на базисных векторах я могу произвольно. если хотите возражать, аргументируйте а не просто отрицайте.

потом, когда я эту аргументацию привожу, обижаетесь...

[Kallikanzarid]

mich72 в сообщении #578381 писал(а):

Пусть пространством векторов будет множество направленных отрезков на плоскости. Фиксируются в качестве базиса 2 лнз вектора a и b, и задаётся скалярное произведение (x,y), симметричное, линейное, а для базисных векторов скалярное произведение принимает значение (a,a)=(b,b)=1; (a,b)=0.

Если $a$ и $b$ линейно независимы, и вы положите $\rho(a, a) = \rho(b, b) = 1$, $\rho(a, b) = \rho(b, a) = 0$, то вы получите линейно изометрический изоморфизм $\mathbb{R}^2 \to \langle a, b \rangle$, $\rho(\alpha_1 a + \beta_1 b, \alpha_2 a + \beta_2 b) = (\alpha_1, \beta_1) \cdot (\alpha_2, \beta_2) = \alpha_1 \alpha_2 + \beta_1 \beta_2$. Аналогично - в более высоких размерностях, любое скалярное произведение в конечномерном векторном пространстве над полем нулевой характеристики можно привести к диагональному виду. Сделать это можно, например, с помощью процесса ортогонализации Грамма-Шмидта. Это свойство обобщается на гильбертовы пространства.

[mich72]

Maslov в сообщении #579205 писал(а):

когда я эту аргументацию привожу, обижаетесь

даже и не думал обижаться. просто ваш пример не вносит ясности, кроме подтверждения, что формально теория верна. я и не оспариваю теорию. меня интересуют больше вопросы её интерпретации. вот в вашем примере векторы - пары чисел. я так понимаю, что если есть числа, значит что-то измеряется. какие величины, что они характеризуют? (предвижу ваш ответ: "не обязательно что-то они должны характеризовать, для теории это не важно").
я летаю низко, поэтому мне понятны наглядные образы. например, я приму за базисные два вектора на плоскости $a$ и $b$ (школьных вектора), пересекающиеся не под прямым углом. соответственно поставлю им в соответствие пары чисел $a=(1,0) b=(0,1)$ и определю скалярную величину $(a,a)=(b,b)=1, (a,b)=(b,a)=0$. я написал скалярную величину из осторожности. можно ли в этом случае эту величину считать скалярным произведением? опять же метрику мы ещё не определили: ни длину вектора, ни угол между векторами.