обобщение скалярного произведения

[mich72]

Помогите разобраться вот с каким вопросом.
Как я понимаю (может не правильно понимаю) смысл введения скалярного произведения заключается в том, чтобы количественно охарактеризовать степень "различия" векторов. В классическом (школьном) изложении евклидовой геометрии эта величина, как вспомогательная, появляется естественным образом, так как имеются величины "длина" и "угол". При аксиоматическом построении метрических линейных пространств вводится аксиомами скалярное произведение и, опираясь на него, определяются длина и направление векторов. И вот здесь начинается непонимание и вопросы. пока задам один из них.
1) Пусть пространством векторов будет множество направленных отрезков на плоскости. Фиксируются в качестве базиса 2 лнз вектора $a$и $b$, и задаётся скалярное произведение $(x,y)$, симметричное, линейное, а для базисных векторов скалярное произведение принимает значение $(a,a)=(b,b)=1$ $(a,b)=0$.
Базисные векторы заведомо возьмём не перпендикулярные. векторы $a и b$ ортогональны по определению - так вводится скалярное произведение (перпендикулярность и ортогональность вроде бы разные вещи). ВОПРОС: Как в этом случае определить величины длины вектора и угла между векторами? То есть каким условиям должны удовлетворять определяемые величины.
P.S. Имею один ответ, но он не даёт ясности. А именно "значения длин векторов и значения углов между векторами должны быть инвариантны относительно преобразований сдвига и поворота". но чтобы дать определение сдвигу и повороту надо уже определить понятие длины и направления.

[Munin]

Перпендикулярность и ортогональность не разные вещи. Просто вы привыкли к тому, что если что-то нарисовать на плоскости, то перпендикулярность уже сразу видна глазом: вот же, берём транспортир или угольник, и откладываем перпендикуляр. А в случае, когда строится векторное пространство как абстрактный алгебраический объект, этого не подразумевается. Напротив, это векторное пространство - просто какое-то нежёсткое множество точек и линий. На нём надо ввести перпендикулярность, как-то объявить, что вот эти две линии перпендикулярны, и вот эти две, тогда будет ясно и с перпендикулярностью всех остальных. Это и делается таким образом, что для каких-то двух векторов полагают, что они нормальны друг другу, что их скалярное произведение равно нулю. Если вы сначала рисовали векторное пространство на листе бумаги, а потом ввели скалярное произведение и перпендикулярность, то у вас может получиться "неудачный рисунок", когда стрелочки направлены под углом, но вы должны называть их перпендикулярными :-)

А дальше, вся логика идёт от скалярного произведения к элементарным понятиям школьной геометрии. Длина вектора (его норма) $\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{(\mathbf{a},\mathbf{a})}.$ Угол между векторами $\alpha=\widehat{\mathbf{ab}}=\arccos\bigl[(\mathbf{a},\mathbf{b})/(\lVert\mathbf{a}\rVert\lVert\mathbf{b}\rVert)\bigr].$ И пусть они на листе бумаги выглядят "косо и криво", внутри себя они образуют непротиворечивую конструкцию, строго эквивалентную обычной школьной евклидовой плоскости, которую вы привыкли изображать на листе бумаги без искажений.

[mich72]

спасибо за ответ. я тоже пробовал рассуждать начиная с того, что линейное пространство - это, как вы удачно назвали, нежёсткое множество, на котором произвольным образом задано отображение на множество n-местных кортежей, даже не пытаясь привязаться к какой-либо координатной системе. иначе надо было бы выделить в этом множестве направления, а что такое направление ещё не определено. то есть интуитивно мы знаем, что такое направление, но не хотим его ввести как независимый параметр. а вывести из каких-то других соображений, ну хотя бы из скалярного произведения, раз уж оно задано аксиоматически. поэтому перпендикулярность в смысле пересечение под углом 90 и ортогональность в смысле равенство 0 скалярного произведения векторов разные вещи. и так как направления не определены, то мы можем назначить ортогональными два любых лнз вектора, даже пересекающиеся не под прямым углом. и если вводить длину $|a|=\sqrt{(a,a)}$ и направление $\cos(a,b)=(a,b)/(a,a)$ , то выбрать эталон для измерения длин будет невозможно. эталон должен будет деформироваться (физически) при смене направления его ориентации. например, возьмём ромб на векторах a и и, равными по длине L, а сами векторы считаем ортогональными в смысле равенства нулю их скалярного произведения. Большая диагональ этого ромба равна $D=(a+b)$, меньшая $d=(a-b)$. из скалярного произведения длина $|D|=|d|$. но чтобы при повороте диагонали совпали по длине они должны деформироваться.
поправьте меня, если я опять где-то ошибаюсь

[Munin]

mich72 в сообщении #578419 писал(а):

на котором произвольным образом задано отображение на множество n-местных кортежей

Не таким уж произвольным. Имеются аксиомы линейного пространства.

mich72 в сообщении #578419 писал(а):

иначе надо было бы выделить в этом множестве направления

Направления-то есть, направление можно задать просто вектором. Нету другого - углов между направлениями. Каждая пара направлений уникальна.

mich72 в сообщении #578419 писал(а):

поэтому перпендикулярность в смысле пересечение под углом 90 и ортогональность в смысле равенство 0 скалярного произведения векторов разные вещи.

Нет, это просто разные способы вводить одну и ту же вещь. Можно справа налево, можно слева направо. Можно вводить школьные аксиомы, и измерять углы транспортиром, а можно вводить скалярное произведение. С того момента, как из первого получено второе, а из второго первое, эти два понятия становятся абсолютно эквивалентными. И слова считаются синонимами.

[Maslov]

mich72 в сообщении #578381 писал(а):

При аксиоматическом построении метрических линейных пространств вводится аксиомами скалярное произведение

Скалярное произведение на векторном пространстве не вводится аксиомами. Скалярным произведением на векторном пространстве $V$ над полем $C$ называется отображение $V^2 \to C$, удовлетворяющее аксиомам скалярного произведения; чтобы конкретное отображение можно было назвать скалярным произведением, надо доказать, что оно удовлетворяет этим аксиомам.

В частности, когда мы вводим скалярное произведение на $\mathbb {R}^2$ по правилу $<x, y> = x_1 y_1 + x_2 y_2$, то доказываем, что это отображение обладает свойствами линейности, симметричности и положительной определенности.

Два элемента линейного пространства, скалярное произведение которых равно 0, называются ортогональными.

mich72 в сообщении #578381 писал(а):

Пусть пространством векторов будет множество направленных отрезков на плоскости.

Чтобы множество было векторным пространством, на нем для начала надо задать бинарную операцию суммы. Как Вы собираетесь определять сумму двух направленных отрезков в общем положении?

mich72 в сообщении #578381 писал(а):

Базисные векторы заведомо возьмём не перпендикулярные. векторы a и b ортогональны по определению - так вводится скалярное произведение

Ни по какому определению они не ортогональны. Существование базиса -- это свойство векторного пространства; наличие скалярного произведения для этого не обязательно.

Munin в сообщении #578388 писал(а):

в случае, когда строится векторное пространство как абстрактный алгебраический объект, этого не подразумевается. Напротив, это векторное пространство - просто какое-то нежёсткое множество точек и линий.

Каких точек и линий? О каком векторном пространстве Вы говорите? Что означает термин "нежесткое"?

Munin в сообщении #578388 писал(а):

Это и делается таким образом, что для каких-то двух векторов полагают, что они нормальны друг другу, что их скалярное произведение равно нулю.

Ничего такого не полагают. Вводится конкретная операция, удовлетворяющая аксиомам скалярного произведения; элементы, скалярное произведение которых оказывается равным 0, обзываются ортогональными.

[Munin]

Maslov в сообщении #578457 писал(а):

Что означает термин "нежесткое"?

Ничего не значит. Я на пальцах объясняю. Вы можете завалить человека определениями, но ничего ему не объяснить. Уступаю вам место.

[lek]

mich72,
понятие длины вектора и угла между векторами можно легко определить на произвольном евклидовом (или унитарном) линейном пространстве. Вы рассматриваете (двумерное) евклидово пространство, т.е. линейное (или векторное) пространство с симметричным положительно определенным скалярным произведением $(x,y)$. В таком пространстве длина вектора и угол между векторами определяются формулами $|x|=\sqrt{(x,x)}$ и $\cos\phi=\frac{(x,y)}{|x||y|}$, соответственно. Здесь предполагается, что $0\leq\phi\leq\pi$. Поскольку скалярное произведение симметрично, это "неориентированный угол", чем и объясняется интервал его значений. В соответствии со школьной геометрией угол между ортогональными (перпендикулярными) векторами равен $\pi/2$. Можно систематически развить евклидову геометрию на основе данных определений длины и угла и убедиться, что в размерностях 2 и 3 она совпадает с классической.

[mich72]

спасибо всем за ответы.
для Maslov. ваши слова: "Скалярным произведением на векторном пространстве $V$ над полем $C$ называется отображение $V^2 \to C$, удовлетворяющее аксиомам скалярного произведения". в этом определении определяемое определяется определяемым (специально подчеркнул):) поэтому, как я сформулировал в своём вопросе факт введения на ЛП скалярного произведения особого значения не имеет. я это сделал в описательном порядке, полагая, что никто не будет цепляться к словам. все поняли кроме вас. а по существу вы ничего не сказали, разве что повторили кое что из книг.
насчёт направленных отрезков на плоскости - это просто направленные отрезки, школьные. и сумма определяется по правилу параллелограмма.
по поводу перпендикулярности и ортогональности:
-из школьного курса: перпендикулярны - значит пересекаются под прямым углом (90 градусов);
-из институтского курса: ортогональны - значит скалярное произведение векторов равно 0 (например, в пространстве полиномов какие углы?). И задать значения скалярного произведения на базисных векторах я могу произвольно. если хотите возражать, аргументируйте а не просто отрицайте.
а что бы вы действительно убедились в нетривиальности моего первоначального вопроса, решите пожалуйста такую задачу: в школьной геометрии (евклидовой 2 или 3 мерной) в качестве эталона площади принят квадрат, поэтому мы и умеем вычислять диагональ прямоугольного треугольника по его катетам. а теперь возьмите в качестве эталона площади например параллелепипед и постройте аналогичные зависимости, но не пользуясь косинусами и синусами, так как эти функции отражают зависимости в прямоугольном треугольнике. иными словами не надо опираться на свойства прямоугольного треугольника, квадрата или прямоугольника... тогда и скалярное произведение выскочит вполне естественно, и станет ясна причина, почему прямоугольные координаты такие удобные.
я понимаю,что практической ценности в этом ноль, но мозги поупражнять можно.
Ещё раз повторю вопрос. скалярное произведение (в самом общем виде) - это величина, которая должна количественно охарактеризовать несовпадение элементов ЛП (написал не векторов а элементов, что бы опять не писали про синусы и косинусы, так как косинус через скалярное произведение и определяется в аналитической геометрии). вопрос[b][/b]: почему именно эта величина с её свойствами. это как то выводится из теории инвариантов и симметрии?

-- 31.05.2012, 15:24 --

для Munin. А что означает ортогональность в пространстве, например, многочленов? явно не перпендикулярность. термин "перпендикулярность" введён для векторов в смысле направленных перемещений. настаиваю: перпендикулярность и ортогональность разные понятия.
И отображение произвольного несчётного бесстуктурного множества на множество n-мерных кортежей можно проводить произвольно. А потом, уже на множестве этих кортежей, вводя внутреннюю линейную операцию сложения кортежей, и внешнюю умножения на элемент поля задать структуру линейного пространства на множестве кортежей и, в силу произведённой биекции, на первоначальном множестве точек.

[Time]

mich72 в сообщении #578969 писал(а):

Ещё раз повторю вопрос. скалярное произведение (в самом общем виде) - это величина, которая должна количественно охарактеризовать несовпадение элементов ЛП (написал не векторов а элементов, что бы опять не писали про синусы и косинусы, так как косинус через скалярное произведение и определяется в аналитической геометрии). вопрос: почему именно эта величина с её свойствами. это как то выводится из теории инвариантов и симметрии?

Некоторые геометры именно скалярное произведение считают основным объектом метрических (в широком смысле понятия метричности) пространств, а потому задаваться вопросом: "Почему именно этот объект?" - бессмысленно. Просто так наиболее лаконично, красиво и удобно. На мой взгляд, лучше всех остальных проблему скалярного произведения как основания задания метрических свойств рассмотрел Г.Вейль в своей книге "Пространство, время, материя". Там он, кстати, подчеркивал, что совсем не обязательно именно корень квадратный из скалярного произведения вектора на самого себя рассматривать в качестве меры отдельного вектора, можно и по другому. Равно как и скалярное произведение пары единичных векторов не обязательно связывать с функцией косинуса (арккосинуса) и завязывать на привычный угол. Можно и иначе, но сильно неудобно и непривычно получится.. Просто так как стандартно вводится понятие длины и угла - наиболее удобно и это идет в соответствии с историческими традициями. Вейль в "Пространстве, времени, материи" так же рассмотрел обобщение скалярного произведения на псевдоевклидовы пространства. Кстати, именно на примере псевдоевклидовой ортогональности ярче всего видны отличия в понятиях перпендикулярности и ортогональности векторов.

Можно пойти еще дальше и обобщить скалярное произведение для целого класса плоских финслеровых и псевдофинслеровых пространств, заменив симметрическую билинейную форму от двух векторов на полилинейную симметрическую форму от n векторов. Тогда место квадрата длины (интервала) вектора может занять n-я степень обобщения длины на соответствующие финслеровы пространства, а кроме обобщения угла появятся более сложные метрические инварианты, которые характеризуют фигуры из трех и более векторов, не сводящиеся к длинам и углам. Уверен, обобщение скалярного произведения - очень мощный инструмент самых различных "метрических" геометрий и тут еще очень много темных мест (естественно, за пределами обычной евклидовой или псевдоевклидовой метричности).

[mich72]

для lek. Вы говорите об систематическом построении аналитической геометрии в прямолинейных косоугольных координатах? Если да, то вы меня поняли. И как появляется скалярное произведение в пространстве направленных отрезков (в смысле школьной геометрии) всё предельно ясно, даже в косоугольных координатах, даже без косинуса угла, манипулируя лишь площадями параллелограммов, построенных на базисных не перпендикулярных векторах, и длинами диагоналей этих параллелограммов.
А вот в случае таких объектов как функции. Из каких условий следует исходить, чтобы количественно выразить несовпадение этих объектов, ну по сути это и будет скалярным произведением. Ведь с мат. точки зрения можно напридумывать много зависимостей, которые будут отвечать аксиомам скалярного произведения

[lek]

mich72 в сообщении #578990 писал(а):

Вы говорите об систематическом построении аналитической геометрии в прямолинейных косоугольных координатах?

Я говорю о формальном определении длины вектора и угла между векторами в $n$-мерном евклидовом пространстве и только. Это определение не требует введения какой-либо системы координат и детализации элементов пространства. Вы можете в качестве элементов пространства рассматривать многочлены, функции, матрицы, векторы и т.д., конечно если корректно определите скалярное произведение. Аксиоматика остается прежней, изменяется лишь интерпретация понятий длины вектора и угла между векторами.

[ewert]

mich72 в сообщении #578969 писал(а):

скалярное произведение (в самом общем виде) - это величина, которая должна количественно охарактеризовать несовпадение элементов ЛП

Ни разу. Несовпадение регулируется просто нормой (или даже хуже того -- всего лишь метрикой, только для линейных пространств подобное расширение неестественно).

Скалярное же произведение -- это уже некоторая усиленная структура. Конечно, разных структур можно понавыдумывать сколько угодно. Однако конкретно скалярное произведение ценно тем, что уж шибко часто оказывается полезным в приложениях.

[Maslov]

mich72 в сообщении #578969 писал(а):

насчёт направленных отрезков на плоскости - это просто направленные отрезки, школьные. и сумма определяется по правилу параллелограмма

Пусть $A = (0, 1), B = (0, 2), C=(1, 0), D=(2, 0)$. Чему равна сумма $\overline{AB} + \overline{CD}$?

mich72 в сообщении #578969 писал(а):

И задать значения скалярного произведения на базисных векторах я могу произвольно. если хотите возражать, аргументируйте а не просто отрицайте.

Что Вы имеете в виду под "произвольно"?
Например, возьмем векторное пространство $\mathbb R^2$ и в нем базис $e_1 = (0, 1), e_2=(1,0)$.
Можете задать скалярное произведение на $\mathbb R^2$ так, чтобы $e_1 e_1 = e_2 e_2 = 1, e_1 e_2 = e_2 e_1 = -1$?

mich72 в сообщении #578969 писал(а):

в школьной геометрии (евклидовой 2 или 3 мерной) в качестве эталона площади принят квадрат, поэтому мы и умеем вычислять диагональ прямоугольного треугольника по его катетам

Для вычисления диагонали прямоугольного треугольника никакой эталон площади не нужен: существует абсолютно школьное доказательство теоремы Пифагора через подобие треугольников. Какую задачу надо решить, не понял.

Полистайте книжечку "Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении".

[mich72]

Maslov в сообщении #579004 писал(а):

Пусть $A = (0, 1), B = (0, 2), C=(1, 0), D=(2, 0)$. Чему равна сумма $\overline{AB} + \overline{CD}$?

сумма равна вектору, длиной $\sqrt{2}$. начало вектора, например, в точке (0,1) конец вектора в точке (1,2). или другая пара: (1,0) и (2,1). как, больше нравится

-- 31.05.2012, 17:24 --

Maslov в сообщении #579004 писал(а):

Например, возьмем векторное пространство $\mathbb R^2$ и в нем базис $e_1 = (0, 1), e_2=(1,0)$.
Можете задать скалярное произведение на $\mathbb R^2$ так, чтобы $e_1 e_1 = e_2 e_2 = 1, e_1 e_2 = e_2 e_1 = -1$

давайте уточним. скалярное произведение векторов $(a_1,b_1)$ и $(a_2,b_2)$ в базисе (a,b) в координатной форме имеет вид: $a_1a_2(a,a)+b_1b_2(b,b)+(a_1b_2+a_2b_1)(a,b)$. допустим, я принимаю такое задание значений сп на базисных векторах. подставляем ваши векторы в выражение СП и смотрим, что получается. при произведениях $(e_1,e_1)$ и $(e_2,e_2)$ множители равны нулю, а при $(e_1,e_2)$ множитель равен 1. в итоге СП равно -1. значит просто ваши базисные векторы не ортогональны. и только. и даже если ваши базисные векторы - направленные отрезки (векторы перемещения) и они пересекаются под прямым углом, то при таком задании значений СП они не ортогональны

[Maslov]

mich72 в сообщении #579014 писал(а):

начало вектора, например, в точке (0,1) конец вектора в точке (1,2). или другая пара: (1,0) и (2,1). как, больше нравится

А без "например"? Можете Вы так определить операцию сложения на множестве направленных отрезков, чтобы получилась коммутативная группа?