Доказательство БТФ

[Someone]

Iosif1 писал(а):

Я правда считаю, что это подвергает сомнению то, что можно сконстуировать величины с требываемым наполнением. А если их вообще таковых в рассматриваемой совокупности не бывает.

Не знаю, считайте. Только помните, что окончания этих чисел в десятичной системе счисления никак не связаны с их окончаниями в девятиричной системе.

Iosif1 писал(а):

А по поводу основного вопроса в этом посту :"Что надо показать по второму варианту для убедительности, или для неубедительности?"
Мне очень интересно ваше мнение, каким бы оно не было.

Я писал:

Цитата:

Как я понял, основная идея здесь состоит в том, что существует бесконечно много простых чисел $p$, для которых одно из чисел $a$, $b$, $c$, удовлетворяющих уравнению $a^3+b^3=c^3$, делится на $p$. Осталось только доказать, что их действительно бесконечное множество.

Кстати, в принципе возможно, что это для третьей степени получится, но я не уверен. Однако вряд ли такая идея сработает для любой степени.

Выделенное утверждение нужно действительно доказать, а не просто высказать уверенность в его справедливости.

[Iosif1]

Someone писал(а):

Не знаю, считайте. Только помните, что окончания этих чисел в десятичной системе счисления никак не связаны с их окончаниями в девятиричной системе.

Закономерность подтверждается цикличностью получаемых результатов. на основании чего не может возникнуть сомнения, что и предполагаемое значение может иметь место.
Созданное равенство благодаря Someone отвечает всем требованиям, которые могут быть предъявлены, как к составляемому равенству, так и ко всем величинам, это равенство обеспечивающих: $D_a$, $D_b$, $D_c$, $F_a$, $F_b$, $F_c$.
Это заставило искать новое подтверждение справедливости утверждения БТФ, отличное от варианта, когда в основании $b$, имеет место единичный сомножитель $3$.
Это необходимо полностью отнести к заслуге Someone, так как автор был уверен, что использование методики, используемой в первом случае, эффективно и для всех других вариантов.
Числовой ряд вариантов оснований, пригодных для составляемого равенства, в кубе, за вычетом основания:

${18_{10}}$ ; ${36_{10}}$ ; ${54_{10}}$; ${72_{10}}$; ${90_{10}}$; ${108_{10}}$.

Дает следующие первые разряды в девятеричном счислении:

${017_9}$ : ${037_9}$; ${057_9}$; ${077_9}$; ${107_9}$; ${127_9}$,

В то время как ожидаемые начальные разряды этих величин другие, один из которых ${010_9}$.
О чем это говорит?
Это говорит о том, что в предполагаемом равенстве не может быть использовано основание $b$ требуемого наполнения. Поэтому проводимый подбор разрядов для получения степени ${b^3}$ не имеет смысла.
В связи с выше изложенным остается необходимость показать эффективность использования аналогичного способа и для подтверждения справедливости утверждения БТФ и для степеней отличных от третьей степени.
Автор склонен считать это обязательно будет обеспечено, так как и для степеней с большими показателями степени остается справедливость того, что и для них числа не всех классов вычетов по ${mod}$ ${n^2}$ могут быть точными степенями.
Iosif1

Добавлено спустя 9 минут 39 секунд:

Someone писал(а):

Выделенное утверждение нужно действительно доказать, а не просто высказать уверенность в его справедливости.

Я показал, как определяется бесконечный ряд простых чисел, которые обязаны присутствовать в основании как сомножители
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=53966#53966
И при рассмотрении третьей степени и при рассмотрении других степеней, с показателями, являющимися простыми числами.
Теперь, по моему мнению, требуется опровержение этого утверждения.
Я на основании технических возможностей, доступных мне, нахожу только подтверждение этой закономерности. Наличествует, правда, сомнение, так как такой проверке сделать не удалось: будет ли контрольным модулем новое простое число, возникающее как сомножитель в результате, получаемом при перемножении существующей последовательности простых чисел с прибавлением единицы. Надеюсь на возможность контроля и этого условия.
К сожалению, ${Matematica}$ $ 4$ потребует очень много времени чтобы провести такие проверки самостоятельно.
И если бы я ее освоил, то потратил бы ее возможности для программирования алгоритма по определению простоты. Iosif1

[Someone]

Iosif1 писал(а):

Числовой ряд вариантов оснований, пригодных для составляемого равенства, в кубе, за вычетом основания:

${18_{10}}$ ; ${36_{10}}$ ; ${54_{10}}$; ${72_{10}}$; ${90_{10}}$; ${108_{10}}$.

Дает следующие первые разряды в девятеричном счислении:

${017_9}$ : ${037_9}$; ${057_9}$; ${077_9}$; ${107_9}$; ${127_9}$,

В то время как ожидаемые начальные разряды этих величин другие, один из которых ${010_9}$.

Ну давайте проверим эти Ваши равенства.

Цитата:

Для куба с нечетными основаниями справедливо:

${{a^3}={24[1^2+2^2+3^2+…k_i^2+…((a-1)/2)^2]}+a}$; 1.1

Для куба с четными основаниями справедливо:

${{a^3}={6[1^2+3^2+5^2+…k_i^2+…(a-1)^2]}+a}$; 1.2

Эти выражения удобно использовать как проверочные алгоритмы.

Эти выражения нельзя использовать как проверочные алгоритмы, потому что это тождества, верные при любом $a$ соответствующей чётности. Пользуясь системой Mathematica, которая у Вас теперь есть, проверить эти равенства очень легко.
У нас $b=\dots 02464880_9$ и $b^3=\dots 21588000_9$.
В Mathematica пишем команду и нажимаем Shift+Enter:

b = 9^^02464880
1342080

Вторая строка - это результат вычисления. Нужно только помнить, что это не "само" число $b$, а остаток от деления $b$ на $9^8$. В частности, мы не знаем, чётное число $b$ или нечётное. А для проверки Ваших соотношений нам нужно делить $b$ или $b-1$ на $2$. Деление на $2$ по модулю $9^8$ выполняется как умножение на $(9^8+1)/2$ и взятие остатка от деления на $9^8$:

Mod[b((9^8 + 1)/2), 9^8]
671040
Mod[(b - 1)((9^8 + 1)/2), 9^8]
22194400

Первая команда даёт остаток от деления на $9^8$ числа $\frac b2$ при чётном $b$, а вторая - числа $\frac{b-1}2$ при нечётном $b$.

Вычисляем теперь Ваши суммы (первая команда - для чётного $b$, вторая - для нечётного):

BaseForm[Mod[6 Sum[(2k - 1)^2, {k, 671040}] + b, 9^8], 9]
21588000_9
BaseForm[Mod[24 Sum[k^2, {k, 22194400}] + b, 9^8], 9]
21588000_9

Как видим, полученные цифры совпадают с младшими цифрами числа $b^3$. В этой проверке есть одна тонкость: на самом деле $\frac b2=671040+m\cdot 9^8$ и $\frac{b-1}2=22194400+m\cdot 9^8$, где число $m$ неизвестно. Доказательство того, что результат от этого $m$ не зависит, оставляю Вам.

Iosif1 писал(а):

О чем это говорит?

Это говорит о том, что нужно выбросить Excel и другие неадекватные инструменты и осваивать более совершенные.

Iosif1 писал(а):

Someone писал(а):

Выделенное утверждение нужно действительно доказать, а не просто высказать уверенность в его справедливости.

Я показал, как определяется бесконечный ряд простых чисел, которые обязаны присутствовать в основании как сомножители
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=53966#53966
И при рассмотрении третьей степени и при рассмотрении других степеней, с показателями, являющимися простыми числами.

Никакого доказательства там нет даже для третьей степени, не говоря уже о других степенях. В частности, от утверждения "не все окончания в $p$-ичной системе счисления являются окончаниями кубов" до утверждения "одно из чисел делится на $p$" весьма далеко.

[Iosif1]

Someone писал(а):

Это говорит о том, что нужно выбросить Excel и другие неадекватные инструменты и осваивать более совершенные.

Конечно Вы правы, кроме одного. Эксель не виноват. Это я взял для второй расчетной таблицы другой числовой ряд значений из первой. И даже не проверил. А проверка такая элементарная. Непростительная ошибка!
Но просьба остается :аналогично опровергнуть второй вариант доказательства, или, как Вы считаете, утверждение.
Хотя бы поэтапно, с выдачей мне заданий или вопросов. С минимальной затратой вашего времени. Если можно. Iosif1

[Someone]

Iosif1 писал(а):

Но просьба остается :аналогично опровергнуть второй вариант доказательства, или, как Вы считаете, утверждение.

Когда полное доказательство будет, тогда можно будет обсуждать. А пока опровергать нечего.

[Iosif1]

Someone писал(а):

Когда полное доказательство будет, тогда можно будет обсуждать. А пока опровергать нечего.

Тогда с вашего разрешения вернусь к первому варианту.
Я писал:
Это говорит о том, что в предполагаемом равенстве не может быть использовано основание $b$ требуемого наполнения. Поэтому проводимый подбор разрядов для получения степени ${b^3}$ не имеет смысла.Правда, написал это так, что можно подумать: ни хрена себе, то ли пьяный, то ли дурной.
Был абсолютно трезв. Значит!?
Но я имел в виду, конечно, не обособленное основание $b$, и величину, получаемую как разность между степенью и основанием, а конструирование этих величин.
А конструировать их приходится посредством подбора оснований $a$ и $c$.
Какими должны быть эти величины?
Для того, чтобы ответить на этот вопрос рассмотрим выражение степеней через выражения, включающие и эти величины.

Если выражения, обозначающие сумму квадратов, обозначить через $L$, тогда ${b^3}$ может быть выражена следующим образом:

${{24*(L_c-L_a)}+{(D_c-b)}+b}$.

Откуда следует, что количество сомножителей $2$ и $3$ в первом слагаемом должно быть равно количеству этих сомножителей в основании $b$. Это подтверждается и посредством сопоставления этих величин.
А какие условия для этого должны выполняться? В девятеричном счислении.
Подбирая основания $a$ и $c$. Мы обязаны добиваться такого расположения разрядов в этих основаниях, чтобы два первые разряда были тождественными, а разность между третьими разрядами обеспечивала получение еще одного сомножителя три.
Используя Эксель, определяем для числового ряда оснований, соответствующих требуемому классу вычетов, по модулю $9$,
(в вашем примере к первому классу вычетов)
первые разряды в девятеричном счислении.
Например, возьмем ${a=19_{10}}$
В этом случае первое подходящее для конструируемого равенства ${c=1963_{10}}$ .
Эксель не справляется с такими значениями. Но он позволяет на основании существующей динамики определить интересующие нас разряды.
Нам нужно, чтобы второй разряд основания $c$ был равен ${2_9}$ .
Для этого подходит основание ${181_{10}}$.
Но при этом оказывается, что для такого основания обеспечивается тождественность не только первых разрядов в величиннах ${24*L_a}$ и ${24*L_c}$, но и вторых разрядов.
В обоих случаях имеем следующие первые разряды:${40_9}$
Значит, это основание не подходит для составления предполагаемого равенства.
Ищем следующее подходящее значение.
Следующее подходящее значение ${343_{10}}$.
И тут то же самое.
Оказывается существует эффект опережения тождественности в анализируемых нами величинах по сравнению с ожидаемой.
Конечно с ${ Matematica 4}$ все расчеты и примеры можно было бы представлять гораздо эффективней. Но великие математики не имели и Экселя. Как и Пьер Ферма. Но нащупать закономерность он, конечно, мог. С уважением. Iosif1

[Someone]

Я не понял, какое равенство не выполняется для моего примера. Или Вы снова берёте наугад цифры, делаете пробные расчёты и свои наблюдения обобщаете до всеобщей закономерности? Я Вам предоставил конкретный пример, в котором подобраны 16 троичных (8 девятиричных) цифр. Проверяйте все свои идеи на нём и не спешите. Вы уже столько раз ошибались в вычислениях, что рекомендую сто раз проверять себя, если получаются какие-то расхождения.

[Iosif1]

Someone писал(а):

Проверяйте все свои идеи на нём и не спешите. Вы уже столько раз ошибались в вычислениях, что рекомендую сто раз проверять себя, если получаются какие-то расхождения.

Об этом варианте я писал:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=55140#55140
Меня повело уже по второму кругу.
Спасибо, уважаемый ${Someone}$., за талерантное отношение к моим блужданиям.
Хочется доказать и так, и этак свою правоту.
В то же время так можно и достукаться.
Я показывал обязательность того, что второй разряд основания $b$ должен содержать сомножитель $3$ для того, чтобы : $D_a$ и $D_c$ были числами, относящимися к тем классам вычетов по ${mod}$ ${3^2}$, к которым относятся и точные степени.
(Для этого и использовалось девятеричное счисление).
Но убедить Вас мне не удалось. Попробую еще раз.
Используя дополнительные сомножители (обязательно точные степени) мы можем всегда создать и основания : $a$ и $c$, имеющие два первых разряда ${01}$ и являющимися произведениями сомножителей, которые будут обеспечивать степени с обязательным наличием одного из следующих штампов:
${01}$, ${31}$, ${61}$ .
И чтобы это осуществилось второй разряд основания $b$ должен содержать сомножитель $3$, что исказит требуемое количество этих сомножителей в основании $b$.
При этом использование дополнительных сомножителей не может ввести во второй разряд основания $b$ сомножитель $3$, так как он является первым разрядом после нулевых разрядов. Для достижения такого результата требуется дополнительный сомножитель, относящийся к нулевому классу вычетов.
Поэтому можно утверждать, что подбираемое основание $b$ не отвечает требованиям, предъявляемым к нему.
Конкретно, применительно к вашему примеру:
${{a_i^3}={07_9^3}={21_9}}$

${{a_x^3}={14_9^3}={11_9}}$

${{a^3}={07_9^3}*{14_9^3}={11_9^3}={31_9^3}}$

Для того, чтобы обеспечить в основаниях $a$ и $c$ два первых разряда ${01_9}$ используем дополнительный сомножитель ${81_9}$:
${a={11_9}*{18_9}={01_9}}$.
При этом дополнительный сомножитель ${81_9}$ можно подобрать таким образом, чтобы он состоял из степени с основанием ${57_9}$, дающий степень ${61_9}$.
В этом случае мы получаем:
${D_a={31_9}}$ и ${F_a={61_9}}$, или наоборот.
Ведь справедливость утверждения должна быть равнозначной для степени, полученной при возведении любого из возможных сомножителей, обеспечивающих основание. Iosif1

[Iosif1]

Iosif1 писал(а):

Someone писал(а):
Проверяйте все свои идеи на нём и не спешите. Вы уже столько раз ошибались в вычислениях, что рекомендую сто раз проверять себя, если получаются какие-то расхождения.

Хочу добавить, потому что уверен, что мои опусы о доказательстве БТФ посредством использования счислений , для варианта, когда основание $b$ содержит больше, чем один сомножитель $3$, все глубоко понимающие проблему, считают делитантской.
Действительно, умножение на дополнительный множитель оснований, даже если он является степенью, не проясняет ситуации по сути.
Закономерность существует изначально.
Если рассматривать степень в девятеричном счислении, относящуюся, например, к первому классу вычетов, то независимо от величины второго разряда, наличествует закономерность, заключающаяся в том, что в первом частном всегда присутствует сомножитель три (в общем случае $n$).
Эта закономерность выражается в том, что сумма разрядов для куба всегда делится на три без остатка.
Поэтому, чтобы обеспечить такое соотношение и в ${D_a}$, и в ${D_c}$,необходимо, чтобы выполнялся один из вариантов.

1.Если основание $a$ за вычетом единицы делится на три без остатка (или $c$), второй разряд основания $b$ должен обязательно содержать в своем составе сомножитель $3$ (в противном случае требуемый набор разрядов не будет делиться на три). А значит и в степени ${D_a}$, или в ${D_c}$ , за вычетом единицы требуемый набор разрядов не будет содержать требуемого сомножителя.
2. Если основание $a$ за вычетом единицы не делится на три без остатка (или $c$), второй разряд основания $b$ должен обязательно быть не содержащим сомножителя $3$, но при этом обеспечивая возникновение требуемой делимости на $3$ и ${D_a}$ за вычетом единицы, и ${D_c}$ за вычетом единицы.
Что невозможно, так как основания $a$ за вычетом единицы, и основание $c$ за вычетом единицы, относятся к одному и тому же классу вычетов по ${mod}$ $3$.
Другие варианты оснований $a$ и $c$ использоваться не могут.
Уважаемый ${Someone}$ спасибо за беседы, они помогли мне многое вспомнить.
Где то я написал, что доказательство БТФ для рассматриваемого варианта посредством использования счислений, я оставляю читателю. А сам еле вспомнил! А в общем то все просто. Iosif1

[Someone]

Iosif1 писал(а):

Я показывал обязательность того, что второй разряд основания $b$ должен содержать сомножитель $3$ для того, чтобы : $D_a$ и $D_c$ были числами, относящимися к тем классам вычетов по ${mod}$ ${3^2}$, к которым относятся и точные степени.
(Для этого и использовалось девятеричное счисление).

Второй девятиричный разряд? То есть, $b$ должно оканчиваться на $\dots 00_9$, $\dots 30_9$ или $\dots 60_9$?

Iosif1 писал(а):

Но убедить Вас мне не удалось. Попробую еще раз.

Интересно, как Вы меня можете в этом убедить, если я вижу перед собой пример, в котором это не так?

Iosif1 писал(а):

Используя дополнительные сомножители (обязательно точные степени) мы можем всегда создать и основания : $a$ и $c$, имеющие два первых разряда ${01}$

Ну, для моего примера можем взять $d=25=221_3=27_9$ (годятся ещё $52=1221_3=57_9$ и $79=2221_3=87_9$); тогда $a$, $b$, $c$ нужно умножать на $d^3=15625=210102201_3=23381_9$:
$ad^3=\dots 0100222212210001_3=\dots 10885701_9$,
$bd^3=\dots 0102202101002200_3=\dots 12671080_9$,
$cd^3=\dots 0212002012110001_3=\dots 25065401_9$.

Как видим, $bd^3$ вовсе не оканчивается на $\dots 00_9$, $\dots 30_9$ или $\dots 60_9$. И было бы удивительно, если бы вдруг такое случилось (Вы это сами далее объясняете).

Iosif1 писал(а):

и являющимися произведениями сомножителей, которые будут обеспечивать степени с обязательным наличием одного из следующих штампов:
${01}$, ${31}$, ${61}$ .

Этого я не понял. Последующие вычисления тоже непонятны. Откуда Вы эти числа берёте?

Iosif1 писал(а):

При этом дополнительный сомножитель ${81_9}$ можно подобрать таким образом, чтобы он состоял из степени с основанием ${57_9}$, дающий степень ${61_9}$.
В этом случае мы получаем:
${D_a={31_9}}$ и ${F_a={61_9}}$, или наоборот.
Ведь справедливость утверждения должна быть равнозначной для степени, полученной при возведении любого из возможных сомножителей, обеспечивающих основание.

Мы не можем умножать $D_a=c-b$ и $F_a=\frac{c^3-b^3}{c-b}$ на отдельно подобранные множители. Мы должны умножать их на $d^3=15625=210102201_3=23381_9$ и $d^6=244140625=\dots 2000101121222101_3=\dots 60347871_9$:
$D_ad^3=\dots 0102022211100101_3=\dots 12284311_9$,
$F_ad^6=\dots 2212112020002201_3=\dots 85466081_9$.

Разумеется, все соотношения, которые выполнялись в моём примере, будут выполняться и после умножения на соответствующие степени числа $d$, но не будут выполняться, если Вы будете подбирать множители отдельно для каждого числа.

[Iosif1]

Someone писал(а):

Разумеется, все соотношения, которые выполнялись в моём примере, будут выполняться и после умножения на соответствующие степени числа , но не будут выполняться, если Вы будете подбирать множители отдельно для каждого числа.

Уважаемый ${Someone}$.
Я тысячу раз извеняюсь за то, что заставил Вас сравнивать мои и Ваши расчеты. Я все время старался убедить Вас, что расчеты не имеют значения. Не смотря на то, что примеры безукоризнены. Я брал значения из ваших постов. Вроде не использовал сомножители индивидуально. Но постараюсь проанализировать это ваше замечание еще. Хочется увидеть Ваше мнение по сказанному мною сегодня утром С уважением.${Iosif1}$.

[Someone]

Iosif1 писал(а):

1.Если основание $a$ за вычетом единицы делится на три без остатка (или $c$), второй разряд основания $b$ должен обязательно содержать в своем составе сомножитель $3$ (в противном случае требуемый набор разрядов не будет делиться на три). А значит и в степени ${D_a}$, или в ${D_c}$ , за вычетом единицы требуемый набор разрядов не будет содержать требуемого сомножителя.

Ну Вы же видите, что в моём примере $a-1$ и $c-1$ делятся на $3$, а второй девятиричный разряд $b$ не делится на $3$. Поэтому у меня нет оснований считать это утверждение верным, пока не будет предъявлено корректное доказательство. Пока я доказательства не видел, а только ссылки на расчёты с помощью Экселя. Для меня ясно, что расчёты эти далеко не исчерпывающие, поскольку мой пример пропущен, и Вы до сих пор не смогли предъявить ни одного соотношения, которое в моём примере нарушалось бы.

Iosif1 писал(а):

2. Если основание $a$ за вычетом единицы не делится на три без остатка (или $c$), второй разряд основания $b$ должен обязательно быть не содержащим сомножителя $3$, но при этом обеспечивая возникновение требуемой делимости на $3$ и ${D_a}$ за вычетом единицы, и ${D_c}$ за вычетом единицы.

Это с какой же стати? Умножьте $a$, $b$, $c$, $D_a$, $D_b$, $D_c$ в моём примере на $8=2^3$ и посмотрите, будет ли выполняться то, что Вы формулируете. При этом $F_a$, $F_b$, $F_c$ нужно умножать на $8^2=2^6$.

[Iosif1]

Someone писал(а):

Ну Вы же видите, что в моём примере и делятся на , а второй девятиричный разряд не делится на . Поэтому у меня нет оснований считать это утверждение верным, пока не будет предъявлено корректное доказательство. Пока я доказательства не видел, а только ссылки на расчёты с помощью Экселя. Для меня ясно, что расчёты эти далеко не исчерпывающие, поскольку мой пример пропущен, и Вы до сих пор не смогли предъявить ни одного соотношения, которое в моём примере нарушалось бы.

Умножать ничего не надо. Все видно на основании анализа изначальных значений.
Набор разрядов за вычетом единицы.
Возьмем ${7_{10}^3}$.
Это можно записать:
${{07_9^3}={241_9}}$
Такое впечатление, что мы не имеем во втором разряде сомножителя $3$.
Но это только впечатление. Как это назвать? Скрывающиеся сомножители? Или еще как-нибудь. Показателем того, что анализируемое число содержит сомножитель три может быть не только делимость на три второго разряда, но и делимость суммы разрядов числа на на три. И так для всех степеней, в основаниях которых, за вычетом единицы, содержится единственный сомножитель $3$., это всегда.
А для степеней, в основании которых, за вычетом единицы, содержится сомножитель $9$, это тоже выполняется, но уже по аналогии с с вариантом, когда первый разряд является определяющим. То-есть, если второй разряд содержит сомножитель три, то сумма разрядов может и не делится на три без остатка. Число все равно содержит этот сомножитель. Но если не содержит, то число содержит сомножитель три только в том случае, если сумма разрядов делится на три. Я называю этот эффект троечкой Эйлера.
Вообще я надеялся на Вас в определении формулировок. Мечты, мечты.
Возьмем ${19_{10}^3}$.
Это можно записать:
${{21_9^3}={100361_9}}$.
Видимо, существующие вариации и не давали возможности многим определится.
Итак, мы должны подобрать основание $b$ с таким вторым разрядом, чтобы в полученной сумме в девятеричном счислении за вычетом единицы сумма разрядов делилась на три, если первый разряд на три не делится. То-есть условие сохраняется для всех вариантов.
И для этого необходимо, чтобы подбирался именно второй разряд основания $b$. В зависимости от вариантов, о которых я написал :ttp://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?p=57662#57662
Почему же именно второй разряд основания $b$?
Потому что второй разряд основания $b$ является первым разрядом без учета нулевого разряда, который влияния не оказывает.
А первый разряд не содержит, в обязательном порядке, сомножителя, равного используемому счислению. Это чистый остаток. И он, поэтому, дает полную информацию о том, есть или нет в анализируемом числе интересующий нас сомножитель. Если этот разряд содержит в своем составе сомножитель, значит и число его содержит, ведь все другие разряды его тоже содержат. Второй разряд уже не является определяющим.
Разряд не содержит, а число содержит. Все очень просто.

А ваш пример мне так и не удалось разбомбить. Может это потому, что я не такой блестящий профессионал как Вы. Я это Вам говорю совсем не как комплемент.
Это с одной стороны, а с другой?
Я пытался показать закономерности и другим математикам, но абсолютно безрезультатно. Я долго думал об этом, стараясь найти объяснение этому парадоксу. Я пришел к выводу, что это объясняется тем, что они очень далеки от аппарата счислений. Это им также не понятно, как и мне многое о чем говорят на форуме. Между нами пропасть.
И я согласился, что это не просто для понимания. Не позанимаюсь я какое- то время, и начинаю все познавать заново.
Но когда я услышал Вас, у меня зародилась надежда. Я убедился, что Вы аппаратом счислений владеете значительно лучше меня. Наверное, есть и другие математики, которые в данной теме. Но Вы первый.
Я хотел сделать разъяснение на вашем примере, походил по минному полю, повзрывался .
Не нашел ни одной зацепки, пусть даже и не влияющей на доказательство. Но нигде не проявляется эта троечка, хотя иногда кажется: вот она.
Иногда было даже страшно. Цифры это очень утомительно, пока они не понятны как таблица умножения. С уважением ${Iosif1}$

[Someone]

Iosif1 писал(а):

Набор разрядов за вычетом единицы.
Возьмем ${7_{10}^3}$.
Это можно записать:
${{07_9^3}={241_9}}$
Такое впечатление, что мы не имеем во втором разряде сомножителя $3$.
Но это только впечатление. Как это назвать? Скрывающиеся сомножители? Или еще как-нибудь. Показателем того, что анализируемое число содержит сомножитель три может быть не только делимость на три второго разряда, но и делимость суммы разрядов числа на на три. И так для всех степеней, в основаниях которых, за вычетом единицы, содержится единственный сомножитель $3$., это всегда.

То есть, Вы хотите сказать, что число $24_9=22$ делится на $3$??? Кстати, $7^3=343=421_9$, но Вы, вероятно, случайно цифры переставили. Однако и $42_9=38$ тоже на $3$ не делится.

Iosif1 писал(а):

А для степеней, в основании которых, за вычетом единицы, содержится сомножитель $9$, это тоже выполняется, но уже по аналогии с с вариантом, когда первый разряд является определяющим. То-есть, если второй разряд содержит сомножитель три, то сумма разрядов может и не делится на три без остатка. Число все равно содержит этот сомножитель. Но если не содержит, то число содержит сомножитель три только в том случае, если сумма разрядов делится на три.

Нету такого признака делимости числа на $3$ в девятиричной системе счисления. Там только один признак: число делится на $3$ тогда и только тогда, когда его младшая цифра делится на $3$.

[Iosif1]

Someone писал(а):

То есть, Вы хотите сказать, что число делится на ??? Кстати, , но Вы, вероятно, случайно цифры переставили. Однако и тоже на не делится.

Вы меня совершенно не понимаете. Почему? Не пойму.
Я говорю, что если все число, вся степень, за вычетом единицы делится на три (в общем случае в $n$-том счислении на $n$), то сумма разрядов ${42}$, в данном случае в девятиричном счислении обязательно делятся на $n$, если второй разряд, в данном случае $2$ не делится на $3$.
Разряды я действительно переставил, и опять не специально. Но в данном случае это для утверждения истины значение не имеет. Второй разряд, в данном случае двойка, не делится на $3$.
А вот когда за вычетом единицы число делится на три, а второй раз тоже делится, тогда сумма разрядов может на три и не делится, так как все другие разряды, кроме первого, содержат в своем составе сомножители три.
По аналогии с десятичным счислением.
Как мы можем посчитать сумму любого числа?
К первому разряду прибавляем второй разряд, умноженный на ${10}$, затем третий, умноженный на ${10^2}$, и так далее...
А в девятиричном счислении? Тоже самое. Только сомножитель не ${10}$, а $9$. Вот и все.
Я нового признака делимости не ввожу. Все как нас учили.
И Вам это, конечно, известно.
Просто я существующие признаки делимости использую для девятиричного счисления.
И возникшая возможность объясняется тем, что счисление кратно тому сомножителю, который мы ищем. Так как в этом случае в числе, содержащем интересующие нас сомножители появляются нулевые разряды, которые можно не учитывать при определении второго разряда суммы или разности (${D_a}$ и ${D_c}$)
А если задумаем проверять вариант с большим количеством сомножителей в основании $b$, то и счисление прийдется поменять на тройку в кубе, тройку в четертой степени, и так далее.
Но что особенно хорошо, что все закономерности, справедливые для третьей степени, справедливы и для всех простых степеней.
Я конечно все не проверял. Но уверенность в этом для себя обеспечил. Что надо сделать, чтобы это было обеспечено для других? ${Iosif1}$