Доказательство БТФ

[Iosif1]

ljubarcev писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

ljubarcev писал(а):

О «последнем» утверждении П. Ферма...

В. Сорокин писал(а)
Среди всех попыток элементарного доказательства ВТФ идея приспособить случай n = 2 для n > 2 самая распространенная. Этот коридор пройден самым тщательным образом, а потому бесперспективен.
В.С.

Коридор то пройден и затоптан до неприличия. А если истина
находится под его полом - у ИСТОКОВ ?
Дед.

Я опубликовал самостоятельно:"Доказательство БТФ". Конечно, очень маленьким тиражом. Но что интересно? В доказательстве используются, именно, то, что у ИСТОКОВ. Когда цифра стала рассматриваться как число, с какими то характеристиками, могла возникнуть потребность анализировать число в различных счислениях. Почему то такая возможность была упущена. И, вообще, на счислениях при изучении щкольного курса, практически, не останавливались. как то галопом. Может быть потому, что только в детстве все усваивается как азбука, эта возможность так и не использовалась. Конечно, сравнение по mod давно имеет место, но по единому разряду совсем не обеспечивается наглядность тех закономерностей, которые имеют место в степенных выражениях. Все это я пишу потому, что для доказательства БТФ нами использовалось выражение степеней в счислении, равном показателю рассматриваемой степени. И этот способ оказался ключом, приведшим нас к убеждению о том, что БТФ нами доказана. Нами велась продолжительная переписка с различными адресатами с целью получения рецензии, позволяющей публикацию работы в математическом журнале. Но все безрезультатно. При этом отказы не мотивировались обнаружением ляпсусов. С РАН был получен ответ: "Как Вам известно, в настоящее время проблема Ферма решена Э Уайлсом, его работа опубликована и доказательство признано математической общественностью. Другие варианты решения данной проблемы уже не представляет такого острого интереса для широких кругов математиков, который был раньше. Они могут заинтересовать лишь узких специалистов, которые пытаются найти более элементарные решения.Все наши ученые, которых мы просили рассмотреть вашу работу, посчитали это нецелесообразным и отказались." Поэтому мы и решились на самостоятельное издание работы с целью получения оценки в последствии. Это одна из первых попыток получения такой оценки. попробую прицепить вариант доказательства, о котором упоминается выше. Но не знаю как это получится, как пройдут таблицы, формулы... все дело в том, что у меня нет опыта общения в Интернете. Я вообще, юн с этой точки зрения.

С уважением Иосиф Немлихер

Прилагаемое доказательство:В ВИКИПЕДИИ анонсирована статья Л.Н. Беляевой «Системы счисления и признаки делимости». Правда, сама статья мной не найдена. При поиске дается информация, что это может быть связано с задержкой при размещении статьи, которая может быть продолжительностью до 48 часов. Мне эта тема очень интересна. Нами при помощи использования системы счислений, равных величине рассматриваемых степеней доказывается БТФ. Оказалось, что на основании рассмотрения последовательности разрядов анализируемых чисел можно определять, может или нет рассматриваемое число быть точной степенью с данным показателем. Это и позволило осуществить доказательство. Так как
${a^n }+ {b^n} = {c^n}$ (1)
может быть представлена как:
${(a_i)^n*(a_x)^n} + {(b_i)^n*((b_x)^n} = {(c_i)^n*(c_x)^n}$ (2)
или
${D_a *F_a }+{D_b *F_b } ={D_c *F_c }$ (3)
. Так как :
$D_c = (a+b)$, (А1)
$D_a = (c - b)$ , (А2)
$D_b = (c - a)$, (А3)
а $F$ неполные ${n-1}$ степени сумм или разности оснований остается показать, что невозможно подобрать такие $a$ и $b$, чтобы $F_c$ было точной степенью (или $c$ и $b$, чтобы точной степенью была величина $F_a$), которые обязательно должны соответствовать этому требованию, так как в этом случае:
$D_a = {(a_i)^n}$, (4)
$D_b = {{(b_i)^n}/n}$ , (5)
$D_c = {(c_i)^n}$, (6)

$F_a = {(a_x)^n}$ , (7)
$F_b = {{(b_x)^n}*n}$ , (8)
$F_c = {(c_x)^n}$. (9)

где $c_x$ и $a_x$ должны быть целочисленными.
Как это показать? При $n=3$:
$F_x = a^2 -a*b +b^2$, (10)
Производим вычитаеие из этой величины $3b^2$, получаем:
$(a+b)(a-b)-(a+b)b=(a+b)(a-2b)$(11)
Остаток 11 равенства содержит в своем составе сомножитель $(a+b)$, но вычитаемое такого сомножителя не содержит, значит и уменьшаемое такого сомножителя содержать не может. А $D_c$ равен этому сомножителю. А мы должны получить в правой части равенства точный куб, поэтому каждый из составных сомножителей должен являться точным кубом с целочисленными основаниями.
(В рассматриваемом случае сомножитель $n$ принадлежит основанию $b$).

Определение же того, может или нет быть точной степенью рассматриваемое число обеспечивается строгой закономерностью в последовательности разрядов оснований и степеней ( что наглядно при использовании третичного счисления) и необходимостью обеспечения уже для третьей степени при подборе оснований, использование оснований как минимум с двумя зависимыми разрядами.(Идентичными, или дополняющими друг друга) Iosif1

[PAV]

PAV:

Сообщение отделено в самостоятельную тему. К автору: прочитайте внимательно свое сообщение и наведите порядок в формулах. В формулах нельзя использовать русские буквы - там, где это делается, пустые места. Кроме того, у Вас знак "минус" набран в каком-то другом шрифте, отчего в формуле вместо него возникает какая-то половинка окружности вверху. Поправьте. Кроме того, если в индексе должно быть неколько знаков, то все выражение необходимо заключать в фигурные скобки. Иначе команда ^ действует только на один следующий за ней знак.

[sceptic]

Уважаемый Иосиф!
Не могли бы Вы прислать сканы Ваших работ для моего собрания доказательств ТФ (сканы, поскольку в собрании имеется раздел публикаций в "бумажном" виде). Мой e-mail - в моем Профиле.
Был бы весьма признателен, если бы Вы сообщили и биографические сведения о себе (что посчитаете уместным сообщить) и историю своих изысканий по ТФ.
Для анализа Вашей работы хотелось бы также заполучить ее в каком-либо электронном
формате - представленный Вами в этом топике текст плохо оформлен, как справедливо отметил PAV.
С уважением.

[PAV]

PAV:

Тема переносится в карантин, так как автор проигнорировал требование привести формулы в порядок. Если это не будет сделано в разумные сроки, тема будет удалена совсем.

[PAV]

PAV:

Формулы исправлены, тема возвращена.

[Iosif1]

Спасибо за возвращение ! Iosif1

[PAV]

Ваш текст (в том виде, в котором он опубликован здесь) достаточно бессвязен. Нужно как минимум более четко показать, как определяются все многочисленные величины, которыми Вы оперируете.

В начале, как я полагаю, нам даны три числа $a$, $b$ и $c$, относительно которых предполагается соотношение (1). А далее появляется много других величин, про которые ничего не понятно. Как можно догадаться (хотя для этого мне пришлось заглянуть в первоначальный текст Вашего сообщения), величины $D$ определяются так: $D_c=a+b$, $D_a=c-b$, $D_b=c-a$. Хорошо, эти величины определены. Далее Вы пишете равенства: $D_a=(a_i)^n$ и т.д. Сразу встает вопрос - предполагаете ли Вы, что величина $a_i$ целая и если да, то как это доказать? Далее, в тексте отсутствует определение величин $F_a$, $F_b$ и $F_c$. Допустим, я полагаю их все равными нулю и получаю верное равенство (3).

Так что как минимум сделайте текст более связным. И, кстати, уберите двойные лишние скобки в равенстве (2), а когда пишете несколько формул подряд (в выражениях для $D$ и $F$), то разделяйте их запятыми, чтобы они не воспринимались, как одна формула.

[Iosif1]

Приступаю к устранению недостатков. Iosif1

В данном посту пытаюсь создать изложение, соответствующее требованиям. " Это, верно, последняя попытка получить вопросы по теме изложения.

§ 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Итак, необходимо доказать, что равенство

${a^n }+ {b^n }= {c^n}$ (1.1)
при целочисленных $a$, $b$ и $c$ и $n>2$ невозможно [1].
В настоящее время БТФ необходимо доказать ( элементарным способом) для случая, когда $n$ – любое простое число, а одно из оснований, например$ b$, содержит в своем составе сомножители $n$ [2 ].
Выразим основания равенства 1.1 через единые аргументы, для чего вводим следующие обозначения:
${a + b} = D_c (2.1)$
${c - b }= D_ a (2.2)$
${c - a }= D_ b (2.3),$
где, например,
$D_c = {c_i ^n}$; $ D_a = {a_i ^n}$; $D_ b ={b_i^n/n}$.
где $c_i$,$ a_i$, $b_i $- целые числа.
Поэтому равенство 1.1 может быть представлено в виде:
$ {a_i ^n}* {a_x^n} + {b_i^n}*{b_x^n} = {c_i^n}*{c_x^n }$ (1.2) или
$ {D_a* F_a }+{ D_b * F_b} ={ D_c *F_c }$ (1.3)
где : $F_a = {a_x^n}$; $ F_b = {n*b_x^n}$ ;$F_c ={c_x^n}$.
$ F_c = {(a^n + b^n)/ (a + b)} $ ,
$F_c$ может быть представлена как неполная $(n - 1)$ – ая степень разности: ${(a - b )}^ {(n-1)}. $ [3]
Соответственно: $F_a ={(c^n-b^n)}/{(c-b)}$, $F_b = n(c^n-a^n)/(c-a)$,$F_c$ как неполная ${(n - 1)}$ – ая степень разности: ${(a - b)}^{(n-1)}$.
Из трех величин $ F_a $, $F_b$ и $F_c$ две обязательно должны быть точными степенями с рассматриваемым показателем степени $n$ .
Предлагаемый первый вариант доказательства БТФ основан на невозможности подобрать такие основания $a$,$b$ и $c$ при $n>2 $, чтобы $F_a$ и $F_c $, были точными степенями.
Рассмотрим случай, когда $n = 3$. Предположим, что сомножитель $n$ принадлежит основанию $b$.
При этом:
$F_c = {a^2 -a*b + b^2 } $; (2.1 )
$F_a = {c^2+c*b+b^2}$; (2.2)
Каждое из этих выражений должно быть точной $n$ - той степенью.
Нас интересует вопрос: могут ли величины $Dc = (a+b)$ и $Fc = { a^2 - a*b + b^2} $ иметь общие множители?
${( a^2 - a*b + b^2)} - {3* b^2} ={(a+b)(a-b)} -{b(a+b)}={ - (a+b)(a-2b)}$; (А1)
Вычитаемое и разность общих множителей не имеют, значит и уменьшаемое не имеет общих множителей с разностью, а разность содержит величину $(a+b)$, как сомножитель. Следовательно ${ a^2 -a*b + b^2}$ и $(a+b)$, не содержат общих сомножителей. Кроме сомножителя 3, в общем случае $n$.
Для того, чтобы доказать справедливость утверждения БТФ достаточно ответить на вопрос:
Можно ли подобрать в левой части равенства такие два слагаемые, являющиеся точными степенями $n$– той степени, чтобы правая часть равенства тоже была точной $n$ – той степенью?
§ 2. СРАВНЕНИЕ ПО $mod m$ КАК ЭЛЕМЕНТ СЧИСЛЕНИЯ
РАВНОГО ИСПОЛЬЗУЕМОМУ МОДУЛЮ .
ПОНЯТИЕ ШТАМПА.
Итак, для того, чтобы ответить на поставленный вопрос необходимо уметь определять: является ли анализируемая величина точной степенью или нет.
В качестве такого инструмента в первом варианте доказательства используется последовательность разрядов при выражении точных степеней в счислении, равном величине рассматриваемой степени.
Изложение доказательства затрудненено тем, что при обучении широко не используются другие счисления, кроме десятичного. Авторы склонны считать, что именно это является причиной затруднительности доказательства БТФ элементарным способом. Поэтому, перед рассмотрением доказательства, основанном на рассмотрении закономерностей, имеющих место в последовательности разрядов при выражении точных степеней в $n$– том счислении, напомним методику перевода любого числа в $Y$-тое счисление и остановимся на закономерностях, при использовании $n$ –того счисления в степенных выражениях.
В теории чисел широко используется сравнение по $mod m$.
Сравнение по модулю можно рассматривать как элемент использования счисления, равного используемому модулю. Чтобы осуществить перевод в $Y$-тое счисление необходимо посредством последовательного деления получаемых частных на $Y$ определить весь набор остатков, получаемых при делении. Например, $777_{10}$ переведем в третичное счисление.
$777: 3 = 259 (0)$; $ 259 : 3 = 86 (1)$; $ 86 : 3 = 28 (2)$; $28 : 3 = 9 (1)$; $ 9 : 3 = 3 (3)$; $3 : 3 = 1(0)$; $1 : 3 =0 (1)$.
Записав остатки в обратной последовательности, получаем выражение числа в задаваемом счислении: $1001210_3$. [2]
Мы останавливаемся на переводе не потому что думаем, что кто то не знаком с таким переводом, а потому, что именно по этому пункту почему то, в основном, возникает непонимание. Может именно потому, что математические действия, провизводимые в других счислениях, очень непривычны.
Оказалось, что использование счисления, равного показателю рассматриваемой степени наглядно показывает зависимости между разрядами оснований и разрядами степеней им соответствующих.
Использование таких счислений позволяет, как бы формализовать расчеты интересующих нас разрядов или их групп, и по наполнению оснований предвидеть наполнение степеней и наоборот. В $n$ –том счислении количество символов равно $n$(в десятичном счислени 10) . До 11- ричного счисления удобно использовать общепринятые символы (цифры), используемые в десятиричном счислении. В дальнейших счислениях можно использовать символы, представляющие комбинацию известных символов с использованием разделительных знаков, например для 23 – ричного счисления:

\#22\#21\#20\#19\#18\#….и так далее. Символ равный используемому счислению всегда обозначаем как 0.

Независимо от используемого счисления существующее равенство, конечно, сохраняется. В таблицах 1 – 1, 1 – 2, 1 – 3 дан перевод оснований и соответствующих им степеней, соответственно : для куба – в третичное, пятой – в пятиричное и седьмой степени – в семиричное счисление. Данные таблицы сопоставления оснований и степеней в счислении, равном показателю рассматриваемой степени, как уже говорилось, позволяют проследить закономерность между разрядами оснований и соответствующими им разрядами степеней. На основании такого сопоставления видно, что в основаниях и степенях имеют место эдентичные и неэдентичные разряды. При этом количество идентичных разрядов непостоянно и оказалось, что оно зависит от последовательности разрядов в основании. Определенная последовательность символов (цифр) в основании указывает на то, что такая же последовательость символов будет и в степени, причем на как угодно значительное количество разрядов. Такую последовательность символов мы именуем “штампом”.
Штампы могут быть двухразрядные, трехразрядные и так далее. Если сомножитель ${n^k}$ присутствует в основании $b$, то в ${b^n}$ $(kn)n$- первых символов (справа), будут нулевыми. Следовательно в основаниях $a$ и $c$ ( и в степенях $a^n$ и $c^n$ ) должно иметь место требуемое количество идентичных разрядов. (штампов с одинаковым количеством символов).
Если мы предполагаем, что сомножитель $n$ присутствует в основании $c$, то в основаниях $a$ и $b$, должны иметь место штампы, дополняющиие друг друга, которые при суммировании дают нулевой штамп.
Чтобы записать “штамп” в $n$- том счислении, можно определить величину остатка (класса вычетов основания и степени) по используемому многоразрядному модулю – ${n^n}$, а затем полученную величину переводить в счисление, равное показателю степени $n$. Сопоставление разрядов в основаниях и степенях позволяет определить последовательность разрядов, соответствующую штампу. Таким образом, для третьей степени при использовании модуля ${27} = {3^3}$, составляем таблицу 1-0, имеем :



Таблица 1 – 0


Таблица представлена колонками по три столбца. В первой колонке: натуральный ряд чисел (по девять значений в столбце); Во второй колонке: остатки при делении на 27. В третьей колонке: разряды в третичном счислении. Такое изображение объясняется незнанием автора , как пересылать табличный материал.


1………. 10………19…….…………1……….1……….1……….………0………0……….1
2………..11………20…….....……8……….8……….8……..…………………2……….2
3………..12………21…….....……0……….0……….0………..….…0………0……….0
4………..13………22………......10………10…….10…………..….1………0……….1
5………..14………23……….…….17………17…….17…………..….1………2……….2
6………..15………24…………..…. 0……… 0………0…………..…..0………0……….0
7………..16………25 …..…………19…….19…….19………..……..2………0……….1
8………..17………26……..……….26………26…….26…………..….2………2……….2
9………..18………27……..…………0………..0………0…………..…..0………0……….0

В третьем блоке таблицы 1 – 0 осуществлен перевод классов вычетов кубов в третичное счисление. Таким образом получены все возможные последовательности трех первых разрядов в третичном счислении для кубов (n = 3).
Это значит, что если взять любое основание с набором первых трех разрядов в третичном счислении, соответствующим штампу, то в кубе этот набор повторится, а за ним возникнет новый разряд уже четырехразрядного штампа.
Но главное, что можно утверждать, что любая точная степень с показателем, представленным простым числом, в счислении, равном показателю рассматриваемой степени, обязательно имеет штамп, минимально двухразрядный!
Поэтому, зная последовательность двух первых разрядов любого числа в $n$ - том счислении можно определять, может ли это число быть точной степенью.
Следует отметить, что для различных показателей степени последовательность символов в штампах в $n$ – том счислении различна, однако для каждой из степеней она строго детерминирована. И второй символ штампа всегда строго определен. При этом, посредством умножения на дополнительный сомножитель можно осуществить перевод одного “штампа” в другой “штамп”, или выразить желаемое количество разрядов в виде штампа. При этом нулевые штампы остаются без изменения (как и при использовании десятичного счисления) и поэтому по величине уже второго символа, всегда можно определять, может ли данная величина быть точной степенью.
Поэтому также достаточно при анализе использовать одну любую существующую последовательность разрядов. Удобней всего использовать последовательность разрядов, соответствующую первому классу вычетов, эту последовательность мы именуем идеальной. (…0001).
Для промежуточных показателей степени (от второго до $n - 1$) наборы разрядов, соответствующие штампам в $n$ – том счислении именуются промежуточными штампами. Существующая последовательность разрядов при увеличении рассматриваемых степеней, при использовании модуля равного показателю конкретной степени, имеет тенденцию повторяемости через интервал, равный величине рассматриваемой степени.
Для подтверждения вышеизложенного, в таблицах 1 – 1, 1 – 2, 1 – 3 дается пареллельный перевод оснований и степеней в соответствующие счисления.
В таблице 1-1 даны основания и соответствующие кубы в третичном счислении.
В таблице 1-2 дано сопоставление оснований и степеней пятой степени в пятеричном счислении.
В таблице 1-3 дано сопоставление оснований и степеней cедьмой степени в семиричном счислении.
Во втором столбце в перечисленных таблицах основания и степени в десятичном счислении. Последовательность разрядов в рассматриваемом счислении в таблицах располагается аналогично записи в десятичном счислении – справа налево.
Перевод степеней с показателем, равным семи, ограничен основанием равным 13, поскольку таблицы Эксель не помещают в ячейку больших значений; изменение величины ячеек приведет к изменению формы таблиц, что не совсем удобно. В приводимом доказательстве, по мнению авторов, объем предлагаемого материала достаточен для объяснения существующих закономерностей. Авторы просто напоминают о трудоемкости перевода степеней в соответствующие счисления даже при существующей вычислительной технике. Как будет показано далее, использование для анализа модулей эту проблему не ставит.

Таблица 1-1 Третичное счисление (Первый столбец: число в десятичном счислении, остальные столбцы – результаты перевода в третичное счисление).

Основан………1………………0………..0……….0………….0……….0………..0………..1
Степень……….1………………0………..0……….0………….0……….0………..0………..1
основан……….2………………0………..0……….0………….0……….0………..0……….2
Степень……….8………………0………..0……….0………….0……….0………..2……….2
основан……….3……………….0……….0……….0………….0……….0………..1……….0
Степень……...27……………….0……….0……….0………….1……….0………..0……… 0
основан……… 4……………… 0………..0……….0………….0……….0……….1……….1
Степень……...64……………….0……….0……….0………….2……….1………..0……….1
основан……….5……………….0………..0……….0………….0………0………...1………2
Степень…….125……………….0………..0……….1………….1………1………...2………2
основан……….6……………….0…………0……….0………….0……….0………..2………0
Степень…….216……………….0…………0……….2………….2……….0………..0………0
основан……….7…….…………0…………0……….0………….0……….0………..2……….1
Степень…….343……………….0…………1……….1………….0……….2………..0……….1
основан……….8………………..0…………0………0…………..0……….0……….2……….2
Степень…….512……………….0…………2……….0…………..0……….2………..2……….2


Таблица 1-2 Пятиричное счисление (Первый столбец: число в десятичном счислении, остальные столбцы – результаты перевода в пятиричное счисление).


Основан………1…………........ 0………..0……… 0……….…0……….0……….0……….1
Степень……….1…………………….0………..0……….0…………0……….0……….0…….…1
основан……….2…………………….0…………0……….0………...0………..0…….0……..…2
Степень……...32…………………….0…………0……….0………...0………..1……….1………2
основан……….3…………………….0…………0……….0………...0………..0……….0………3
Степень…….243…………………….0…………0……….0………...1……….4………..3……….3
основан………4……………………..0…………0………..0………..0………..0……….0…….…4
Степень…..1024……………………..0…………0………..1………..3………..0……….4……….4
основан……….5……………………..0………...0………..0………..0………...0…….1………0
Степень…...3125……………………..0………...1………..0………..0………...0………0………0
основан……….6……………………..0…………0………...0………..0………..0……….1……….1
Степень…...7776……………………..0………...2………...2………..2………..1……….0……….1
основан……….7……………………..0…………0………..0………..0………...0………..1……….2
Степень….16807……………………..1…………0………..1………..4………..2………...1………2
основан……….8……………………...0…………0……….0………...0………..0……….1………3
Степень….32768……………………...2…………0……….2………...2………..0……….3………3


Таблица 1-3 Семиричное счисление (Первый столбец: число в десятичном счислении, остальные столбцы – результаты перевода в семиричное счисление).


Основан……….1……………………...0…………0………..0………..0………..0………..0………..1
Степень………..1……………………...0…………0………..0………..0………..0……….0………...1
Основан……….2……………………...0…………0………..0………...0……….0……….0……….…2
Степень……..128……………………...0…………0………..0………...0………2………..4……….…2
Основан……….3……………………...0…………0………..0………...0………0………..0………...3
Степень……2187……………………...0…………0………...0………..6……….2………..4……….…3
Основан ………4……………………...0…………0………...0………...0……….0……….0………...4
Степень…..16384……………………...0…………0………..6………...5……….5……….2…………..4
Основан……….5……………………...0…………0………..0………...0……….0……….0………....5
Степень…..78125……………………...0…………4………..4………...3……….5……….2…………..5
Основан……….6……………………...0…………0………..0………...0……….0……….0………....6
Степень…279936……………………...2…………2………..4………...4………..0……….6…………..6
Основан……….7……………………...0……….0………..0………...0………..0……….1………....0
Степень... 823543……………………...0………. 0………..0………..…0………..0…….…0…….…..0
Основан……….8……………………...0………….0………..0………...0……….0……….1………...1
Степень 2097152……………………....3…………..5………..5………...3……….1……….0…….……1

При $n$ = 5 имеют место следующие девятиразрядные штампы:
…000 000 001, …032 431 212, …412 013 233, …..444444444, …000000000.
Для различных степеней штампы различны, но всегда имеют место три вида штампов:
….000; …${(n-1)}{(n-1)}{(n-1)}$ и …001.

“Штамп”, состоящий из нулевых символов и единицы, именуется нами идеальным, Он назван так, ввиду удобства его использования при расчетах. При этом, всегда штамп одной из интересующих нас величин можно преобразовать в идеальный штамп (за исключением нулевого). Если основания относятся к классам вычетов, отличных от нулевого, первого и $(n-1)$ классов (по mod n), последовательность символов в штампах может быть самая различная. Определять штампы можно на основании последовательного рассмотрения соответствия между разрядами оснований и разрядами степеней. Символ, появляющийся за идентичными символами основания и степени, есть следующий символ штампа.
Все математические действия над числами, применяемые в предлагаемом доказательстве, начинаются с действий над штампами этих чисел. Так как нас интересуют результаты действий над штампами, математические действия, производимые со штампами, именуются также как и при действиях с числами . Если при сложении двух чисел в сумме образуется штамп из нулевых символов, штампы слагаемых мы именуем дополняющими друг друга до нулевого штампа. Например, в третичном счислении:

……222
+….001
_________
……000
Произведение штампов обязательно является штампом. Поэтому посредством использования дополнительных сомножителей можно осуществлять перевод одних штампов в другие штампы, точных степеней с одними штампами в точные степени с другими штампами.
Например (в третичном счислении):
$…222*…222 =…001$
А так же, можно обеспечить штамп в любом числе, и не являющимся степенью.
Между основаниями и степенями в образовании штампов существует строгая закономерность. Количество нулевых символов в штампе степени , по сравнению с количеством таких же символов в штампе основания, увеличивается в $n$ раз. Количество же символов в других штампах в степени, по сравнению с количеством символов в штампе основания, увеличивается на один.
Для того, чтобы обеспечить наполнение сомножителями $n$ одно из слагаемых, в равенстве 1.1 уже при $n =3$, необходимо чтобы другие два основания имели хотя бы по два одинаковых первых разряда, что соответствует двухразрядным штампам. Для наполнения сомножителями $n$ суммы в равенстве 1.1, необходимо, чтобы основания двух других степеней имели двухразрядные штампы, дополняющие друг друга.
Промежуточный штамп степени $(n -1)$ всегда есть идеальный штамп, по количеству разрядов штампа основания, так как только такой штамп может обеспечить тождественность штампов основания и степени.
Итак, если рассматриваемое число есть точная степень, оно должно иметь минимум двухразрядный идеальный штамп , то – есть при переводе двух первых разрядов рассматриваемой степени в идеальный штамп, в счислении, равном показателю степени, должен получаться штамп … 01.
Если предположить что в равенстве 1.1 сомножители $n$ принадлежат слагаемому $b^n$ , необходимо, что бы


${a^n\equiv c^n\pmod{n^n}}$; (3)

Для этого необходимо чтобы

${a\equiv c\pmod{n^{n-1}}}$; (4)

То – есть основания $a$ и $c$ должны иметь $(n - 1)$ одинаковых разрядов, которые всегда могут быть переведены в “штамп”.
Если предположить, что сомножители $n$ в равенстве 1.1 принадлежат сумме $c^n$, необходимо, что бы основания $a$ и $b$ имели штампы на $(n - 1)$ разрядов, дополняющие друг друга . При этом необходимо, чтобы $F_a$ и $F_b$ были точными $n$ – тыми степенями .
Для доказательства БТФ остается ответить на вопрос: возможно ли это ?
Так как условие 4 выполнимо, выполнимо и условие 3.
А возможно ли при этом обеспечение таких $F_a$ и $F_c$ ($F_a$ и $F_b $) , у которых штампы соответствуют требованиям, предъявляемым точным степеням?
Поэтому определяем, какие штампы могут иметь величины $F_a$ и $F_c $, если предположить, что штампы величин $a$ и $c$ идеальные. (Мы всегда можем это обеспечить.) Зная наполнение штампов оснований $a$ , $b$ и $c$ можно рассчитать штампы интересующих нас значений. При наличии сомножителя $n$ в основании $c$, так как $a^n ={ D_a* F_a} $ ;$ b^n ={D_b* F_b} $, сомножители $F_a$ и $F_b$ должны быть точными $n$ – тыми степенями.
Напомним, что к какому бы из оснований не принадлежал сомножитель $n$ в выражении 1.1, всегда две другие степени есть произведение степеней с показателем степени $n$, не имеющие общих сомножителей; что легко доказуемо: ведь после корректировки величины $F$ на $±n* a^{n-1}$ или $±n* b^{n-1})$;или $ ±n*c^{n-1}$ в получаемой сумме или разности мы всегда имеем сомножитель $(c-a)$ или $(a+b)$ и поэтому, мы всегда имеем возможность показать невозможность общих сомножителей в величинах $D_c$ и $F_c$ , если основание $c$ не содержит сомножителя $n$.

§ 3 . ЗАВЕРШЕНИЕ ПЕРВОГО ВАРИТАНТА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА БТФ
.
Итак, отметим еще раз, что для того, чтобы определять может или нет являться рассматриваемое число точной степенью, достаточно в $n$ -том счислении определить два первых разряда данного числа.
Это справедливо для случая, когда в основании степени имеется единичный сомножитель $n$. При увеличении количества таких сомножителей не обеспечивается ожидаемое равенство уже на разрядах с большим порядковым номером. Читатель при желании может это показать самостоятельно.
Всегда удобно использовать переводной сомножитель, при помощи которого достигается получение первого разряда при переводе, равного единице; тогда – подтверждением того, что рассматриваемое число, точно, не может являться точной $n$ – той степенью является величина второго разряда, отличная от нуля.
На основании выражений 2.1 и 2.2. при $n = 3$ может иметь место два варианта.
Первый вариант: (нас интересуют только два первых символа):
$Fa = …01 *…01 +…01 *…10 +…10 *…10 =…01 + …10 +…00 =.11;$ (5)
(основание $b$ имеет штам 10)
Второй вариант:
$Fа = …01*…01 +…20*…10 +…20*…20 =…01 + …20 +…00 =.21; $ (6)
(основание $b$ имеет штамп 20)
Как видно, ни один из возможных вариантов не обеспечивает такой штамп, чтобы $F_a$ могло быть точным кубом. (Варианты (5) и (6) записаны для случая, когда основание $b$ содержит в своем составе единичный сомнолжитель $n$.
Можно убедится, что и при других показателях степени сконструировать основания $a$ и $c$ в соответствии с требуемым наполнением основания $b$ и при этом обеспечить необходимые штампы величин $F_a$ и $ F_c$ невозможно.
Итак, нами показана невозможность составления равенства 1.1 для варианта, когда сомножитель $n$ принадлежит основанию $b$. Теперь предположим, что сомножитель $n$ принадлежит основанию $c$. В этом случае основание $c$ имеет штамп с нулевыми символами.
Но при этом в формулах выражений 5 и 6 только слагаемые меняются местами, что также не позволяет получать штамп нужного наполнения. При $n = 5, 7$ и далее, формализованные выражения $F_a$ , $F_b$ , $F_c$ отличаются от этих же выражений при $n = 3$ количеством слагаемых , показателями степеней, в которые возводятся исходные основания, и количеством вариантов символа, следующего за нулевым символом. Однако, при использовании идеального штампа в одном исходном основании, и нулевого штампа в другом исходном основании только увеличивается количество возможных вариантов, приводивших к получению различных вторых символов в рассчитываемом штампе интересующих нас величин.
Если предположить, что в основании символ , следующий за нулевым символом равен единицы, имеем:
Fa для n =5…………..………….. Fa для n = 7
……0000 ……………..………………….000000
+ …1000 …………………..………..+.100000
+ … 100…………………..………… +… 10000
+ ….. 10 ………………………..……..+ 1000
+….. .01…………………………....….+… 100
… …..11 ……………………………...…+…. 10
……………………………………….…..+….... 01
…………………………………………….…..... 11
(Результирующие величины показаны без знака $+$
То –есть при любом показателе степени мы не получим в рассчитываемых выражениях ожидаемого штампа. И если предположить, что символ, следующий за нулевым символом, в одном из исходных оснований не равен 1, все равно ясно, что в рассчитываемом выражении второй символ, следующий за символом, равным единице не может быть нулевым символом. То – есть, можно утверждать, что ни при каком показателе степени в рассчитываемых величинах $F$ не может возникнуть штамп, соответствующий штампу точной степени. А поэтому можно утверждать, что ни при каком показателе степени не может состояться равенство 1.1. Что и требовалось доказать.

[xolms]

До конца текст не дочитал, но понял, что Вы доказате, что $F_c$ не может быть полной степенью числа. И на основании этого, используя, что $D_c=c_i^n$, делаете вывод, что теорема доказана. НО почему $D_c=c_i^n$? Если это не так, то и $F_c$ не должно быть полной степенью. Поясните пожалуйста.

[PAV]

Это почти то же самое, что я ранее писал. Докажите справедливость представлений величин $D$ в виде точных степеней. Также мне не совсем ясен вывод равенства (1.2). Там тоже неявно используются какие-то предположения о точных степенях.

[Iosif1]

xolms писал(а):

До конца текст не дочитал, но понял, что Вы доказате, что $F_c$ не может быть полной степенью числа. И на основании этого, используя, что $D_c=c_i^n$, делаете вывод, что теорема доказана. НО почему $D_c=c_i^n$? Если это не так, то и $F_c$ не должно быть полной степенью. Поясните пожалуйста.

При этом:
$F_c = {a^2-a*b + b^2 } $; (2.1 )
Выражение 2.1 должно быть точной $n$-той степенью.

Как я понял сомнению подвергается то, что выражения 2.1 и 2.2 в случае опровержения справедливости БТФ должны быть точными степенями. Но это утверждение легко доказывается, например, так:
Мы представили (при рассмотрении третьей степени) $D_c=(a+b)$ как ${c_i^n}$, а , $F_c={(a^2-a*b+b^2}$; как ${(c_x)^n$ и утверждаем, что если основание $c$ не содержит сомножителя 3, то эти выражения не могут содержать одинаковых сомножителей. Это становится очевидным, если от ${(a^2-a*b+b^2)}$ вычесть $3*b^2$. Имеем:

${(a^2-b^2)-(a*b-b^2)+(b^2-b^2 )}$, что равно:

${(a+b)*(a-b)-b*(a+b)}$ и равно:

${(a+b)*(a-2b)$.

Вычитаемое есть величина, в которой не содержатся сомножители, присущие величине $D_c$, а получаемая разность содержит сомножители, присущие величине $D_c$. В каком случае это может иметь место? Только в том случае, если уменьшаемое тоже не содержит сомножителей , присущих величине $D_c$. Отсюда следует, что $F_c$ и $D_c$ не содержит общих множителей. И поэтому каждая из них должна быть точной степенью. Мы же собираемся опровергнуть именно такую возможность.Iosif1

Добавлено спустя 11 минут 2 секунды:

PAV писал(а):

Это почти то же самое, что я ранее писал. Докажите справедливость представлений величин $D$ в виде точных степеней. Также мне не совсем ясен вывод равенства (1.2). Там тоже неявно используются какие-то предположения о точных степенях.

Из предшествующего поста, по нашему мнению становится очевидно, что выражение 1.2 отображает то же саммое утверждение, а именно, что каждая из степеней, подбираемых для предполагаемого уравнения априори может быть представлена как произведение двух степеней, основания которых не содержит одинаковых сомножителей. Правда по той степени, в которой в основании наличиствует сомножитель $n$, мы не имеем право записывать:

$D_b=(b_i)^n$, так как это не может соответствовать истине. Но для степеней, основания которых не содержит сомножителя $n$ такое равенство справедливо. Iosif1

[PAV]

Iosif1 писал(а):

Мы представили (при рассмотрении третьей степени) $D_c=(a+b)$ как ${c_i^n}$,

Вот это и есть первое, что мне непонятно - почему данное выражения является точной степенью. В тексте это никак не доказано.

[Iosif1]

PAV писал(а):

Iosif1 писал(а):

Мы представили (при рассмотрении третьей степени) $D_c=(a+b)$ как ${c_i^n}$,

Вот это и есть первое, что мне непонятно - почему данное выражения является точной степенью. В тексте это никак не доказано.

Правая часть равенства должна быть точной степенью? Должна! Поэтому показав, что $D_c$ и $F_c$ не могут иметь одинаковых сомножителей, мы этим показываем, что в случае, если мы хотим опровергнуть утверждение БТФ, мы должны в правой части равенства сконструировать степень, представленную произведением двух степеней, одна из которых $D_c$ , а другая - $F_c$. Iosif1

[Someone]

М.М.Постников. Введение в теорию алгебраических чисел. "Наука", Москва, 1982.

В § 1 это утверждение доказывается. Если $a$, $b$, $c$ - попарно взаимно простые целые числа (отличные от $0$), и $a^n+b^n=c^n$, где $n>2$ - простое число, то, полагая $D_c=a+b$ и $F_c=\frac{a^n+b^n}{a+b}$, получим равенство $D_cF_c=c^n$. Если числа $D_c$ и $F_c$ взаимно просты, то они оба являются $n$-ными степенями.

Имеем (по формуле бинома Ньютона)

$$F_c=\frac{(D_c-b)^n+b^n}{D_c}=D_c^{n-1}-{n\choose 1}D_c^{n-2}b+\ldots+(-1)^k{n\choose k}D_c^{n-k-1}b^k+\ldots+{n\choose n-1}b^{n-1}\text{,}$$

откуда следует, что каждый общий простой делитель $p$ чисел $D_c$ и $F_c$ делит число ${n\choose n-1}b^{n-1}=nb^{n-1}$. Поэтому, если $p$ делит $b$, то $p$ делит и $a=D_c-b$, что невозможно. Поэтому единственным общим простым делителем $D_c$ и $F_c$ может быть только $n$, и это возможно только в том случае, если $c$ делится на $n$.

Таким образом, если $c$ не делится на $n$, то $D_c$ и $F_c$ являются $n$-ными степенями целых чисел.

Если же $c$ делится на $n^k$ и не делится на $n^{k+1}$, $k\geqslant 1$, то, так как $b$ в этом случае не может делиться на $n$ (по предположению $a$, $b$, $c$ - попарно взаимно простые целые числа), из приведённого выше выражения следует, что $F_c$ делится на $n$, но не делится на $n^2$, а тогда $D_c$ делится на $n^{kn-1}$ и не делится на $n^{kn}$. Поэтому целые числа $\frac{D_c}{n^{kn-1}}$ и $\frac{F_c}n$ взаимно просты и выполняется равенство $\frac{D_c}{n^{kn-1}}\frac{F_c}n=\left(\frac c{n^k}\right)^n$. Поэтому числа $\frac{D_c}{n^{kn-1}}$ и $\frac{F_c}n$ являются $n$-ными степенями целых чисел.

P.S. У меня нет времени разбираться в чрезвычайно длинном и непонятном доказательстве, которое представил в этой теме Iosif1.

[Iosif1]

Someone писал(а):

P.S. У меня нет времени разбираться в чрезвычайно длинном и непонятном доказательстве, которое представил в этой теме Iosif1.

Очень жаль, что у Вас нет времени. Хотя я с Вами не согласен, что в длинном доказательстве.. По сравнению с признанным!? Ну а то что в непонятном, спорить не могу. Я искал это доказательство. У меня есть М.М. Постников. Именно это издание. Хотя я больший поклонник Г.Эдварса "Последняя теорема ферма". Верно, к сожелению, так как доказываю я, мне более понятно. И даже не могу понять почему не понимают другие. Все элементарно просто. Хотя в любой незнакомой работе с наскока сразу не всегда все понятно. Я как то на экзаменах забыл формулы взятия производных. Когда преподователь узнал об этом, он чуть не влепил мне двойку. А я думал, что меня нужно хвалить. Конечно, когда человек не умеет изъясняться как требуется, доверия не прибавляется. Но я бы, если бы предлагаемое доказательство было выставлено кем то другим, разобраться бы смог. Почему то задаются вопросы, ответы на которые мне были известны со школьной скамьи. А не те, которые я ожидаю. Ведь мною предложен новый способ анализа степенных выражений, не встречающийся (мне) нигде в литературе. Вот Ваш "пост" сразу всех убедит. Конечно, М.М. Постников. А может потому, что Someone. Хотя в доказательстве можно разобраться и самому, по-моему, даже не математику, я в этом случае как пример. Iosif1