Аксиоматика СТО

[tvman]

В соседней теме, мною была затронута статья
http://synset.com/pdf/100.pdf
Поскольку статья не касается вопроса ТС мне хотелось бы обсудить ее здесь. Я постараюсь кратко изложить основные моменты.Собственно начинается статья с такого заголовка:

Цитата:

В 2010 году исполняется 100 лет со дня выхода работы Игнатовского, посвящённой аксиоматическому анализу специальной теории относительности (СТО). Несмотря на столь почтенный возраст, идеи Игнатовского, развитые в дальнейшем Франком и Роте, так и не пробили себе дорогу в учебную литературу. Пользуясь юбилейной датой, хотелось бы привлечь внимание к логическим основаниям теории относительности. В статье рассматривается история вопроса, анализируются основные постулаты, лежащие в основе СТО, и обсуждаются причины появления в математической структуре теорий фундаментальных физических констант

Основной идеей является то, что

Цитата:

постулат инвариантности скорости света является избыточным и не требуется для вывода преобразований Лоренца

и

Цитата:

преобразования Лоренца получаются из подмножества аксиом классической механики.

а именно:

Цитата:

A1: Преобразования между ИСО задаются непрерывными, дифференцируемыми и взаимно однозначными функциями.
A2: Если скорости двух свободных частиц равны в системе $S$, то они будут равны и в системе $S'$
A3: Инерциальные системы отсчета равноправны.
A4: Пространство в ИСО изотропно.

Далее показывается, что :

Цитата:

Преобразования между двумя ИСО, с точностью до константы $\alpha$, выводятся из аксиом A1-A4. Без дальнейших предположений зафиксировать значение, или даже знак константы $\alpha$, не представляется возможным.

Заканчивается доказательство следующим

Цитата:

На самом деле, существуют три возможности: $\alpha=0$, $\alpha>0$ и $\alpha< 0$. Первая является предельным случаем двух вторых и соответствует классической механике. С логической точки зрения третья возможность вполне приемлема, однако в нашем мире реализовалась вторая, и $\alpha>0$. Это экспериментальный факт, как и тот факт, что вообще $\alpha$ отлична от нуля.

Доказательство вытекающее из данной аксиоматики мне показалось доступным и простым. Также информация, что $\alpha>0$ это экспериментальный факт воспринимается гораздо естественнее, чем второй постулат. Кроме этого данное доказательство не запрещает реализацию третьего варианта. Четвертое сразу видно, что скорость света тут абсолютно не причем. Имеет смысл максимально возможная скорость материальных тел.
Собственно подведу итог цитатой из статьи:

Цитата:

Вывод преобразований Лоренца без второго постулата Эйнштейна неоднократно переоткрывался [4,10]-[17]. Тем не менее, в общественном физическом сознании этот фундаментальный результат фактически отсутствует.

Цитата:

Учитывая многочисленные попытки (не прекращающиеся до настоящего времени) найти в выводах СТО логические ошибки, подчёркивание непротиворечивости основ теории должно играть существенную роль при её преподавании.

С последним я думаю вряд ли кто-то не согласится на этом форуме.

[Munin]

tvman в сообщении #575343 писал(а):

Также информация, что это экспериментальный факт воспринимается гораздо естественнее, чем второй постулат.

Видите ли, экспериментальный факт, введённый в теорию без доказательств на основе других фактов, и называется постулат. По отношению к математическому аппарату теории - это аксиома.

Так что Степанов просто заблуждается, полагая, что исключил этот факт из числа аксиом. Сославшись на него, он его неявно также включил как аксиому.

Соответственно, изложение основ теории с такими ляпами вряд ли ценно для её преподавания.

[epros]

tvman в сообщении #575343 писал(а):

сразу видно, что скорость света тут абсолютно не причем. Имеет смысл максимально возможная скорость материальных тел.

От замены слов суть не изменится. Насколько я помню, в ЛЛ2 второй постулат изложен в форме: «Существует предельная скорость передачи сигналов». Далее из инвариантности этой скорости выводятся преобразования Лоренца. Мало того, продемонстрировано, что противоположный постулат: «Не существует предельной скорости распространения сигналов», - приводит к преобразованиям Галилея. Так что читайте учебники.

[profrotter]

Скажите, а дробно-линейные преобразования (3) являются единственным видом преобразований, которые переводят прямые в прямые?

[tvman]

Munin в сообщении #575361 писал(а):

Видите ли, экспериментальный факт, введённый в теорию без доказательств на основе других фактов, и называется постулат.

Ну да, а кто спорит.
Весь сыр бор так сказать в том куда поставить запятую. (казнить нельзя, помиловать )
В классическом варианте мы говорим - есть конечная скорость (иди далеко классическая механика) и приступаем к доказательству. В доказательстве опираясь на ту классику от которой отказались в начале.

В предложенном варианте мы на основе законов классической приходим к заключению, что в природе может иметь место конечная скорость перемещения. Кроме этого мы также видим, что могут быть еще два варианта развития событий (которые кстати в классическом варианте убиваются постулатом). Однако на основе опыта мы отбрасываем эти два варианта и оставляем рабочий. Также важно как в данном варианте видится скорость света. Это не что то обособленное, запастулированное и непонятное. Это вариант природного решения, по достижению конечной скорости перемещения.

Мне кажется что такой подход вызывает меньше противоречий. Безусловно он был невозможен во времена развития теории потому что для накопления опытных фактов нужно было время и Эйнштейну можно сказать пришлось рубить с плеча.

Munin в сообщении #575361 писал(а):

Так что Степанов просто заблуждается, полагая, что исключил этот факт из числа аксиом. Сославшись на него, он его неявно также включил как аксиому.

Да наоборот очень явно и прозрачно.

Munin в сообщении #575361 писал(а):

Соответственно, изложение основ теории с такими ляпами вряд ли ценно для её преподавания.

Я не физик, чтобы до конца разобраться со всеми ляпами все таки нужно иметь должное образование. Собственно потому и написал чтобы пообщавшись выяснить истину.

-- 24 май 2012, 08:19 --

epros в сообщении #575445 писал(а):

От замены слов суть не изменится.

Суть нет. И от вариантов доказательств природа другой не станет. А вот понимание вещей может существенно измениться.

-- 24 май 2012, 08:46 --

profrotter в сообщении #575456 писал(а):

Скажите, а дробно-линейные преобразования (3) являются единственным видом преобразований, которые переводят прямые в прямые?

Преобразования (3) появляются в результате преобразований - $x'=Ax+Bt$ и $t'=Dx+Et$. Это общий случай линейного преобразования. Других я не знаю

[obar]

Munin в сообщении #575361 писал(а):

Так что Степанов просто заблуждается, полагая, что исключил этот факт из числа аксиом.

Никто этот факт не исключал. Суть в другом. Основной акцент статьи: "преобразования Лоренца могут быть полученны из подмножества аксиом классической механики". И соответственно главный вывод: "если классическая механика непротиворечива, то таковой является и СТО".

epros в сообщении #575445 писал(а):

Мало того, продемонстрировано, что противоположный постулат: «Не существует предельной скорости распространения сигналов», - приводит к преобразованиям Галилея. Так что читайте учебники.

Не сложно проверить, что выбор $\alpha<0$ не приводит к ограничению допустимых скоростей -- предельной скорости нет. На какой учебник вы ссылаетесь?

[profrotter]

Прошу прощения, я имел ввиду преобразования (2):

$$x'=\frac {A_1x+B_1t}{1+Dx+Et}$$

$$t'=\frac {A_2x+B_2t}{1+Dx+Et}$$

Вот они, на мой взгляд, падают с потолка и объявляются "более общими". Не может ли быть других "более общих" преобразований, переводящих прямую в прямую?

[epros]

obar в сообщении #575472 писал(а):

Не сложно проверить, что выбор $\alpha<0$ не приводит к ограничению допустимых скоростей -- предельной скорости нет. На какой учебник вы ссылаетесь?

Предельной скорости нет, зато возможность поменять направление времени такими преобразованиями - есть. Так что, не будучи законченными формалистами, придётся такой случай из теоретически возможных исключить.

[Munin]

tvman в сообщении #575457 писал(а):

В классическом варианте мы говорим - есть конечная скорость (иди далеко классическая механика) и приступаем к доказательству. В доказательстве опираясь на ту классику от которой отказались в начале.

Это вы просто "классического варианта" не поняли.

tvman в сообщении #575457 писал(а):

Кроме этого мы также видим, что могут быть еще два варианта развития событий (которые кстати в классическом варианте убиваются постулатом). Однако на основе опыта мы отбрасываем эти два варианта и оставляем рабочий.

Вы не понимаете, что "убить постулатом" и "на основе опыта отбросить" - это одно и то же. Постулат не с потолка взялся, постулат - это и есть воплощение опыта. Отбросить что-то на основании постулата - это то же самое, что отбросить что-то на основании опыта. Просто постулат при этом более чётко сформулирован.

tvman в сообщении #575457 писал(а):

Также важно как в данном варианте видится скорость света. Это не что то обособленное, запастулированное и непонятное. Это вариант природного решения, по достижению конечной скорости перемещения.

Ну я же говорю, надо сначала хорошо понимать саму СТО, в которой нет ничего "обособленного, запостулированного и непонятного". Пока вам такие статьи читать рано.

tvman в сообщении #575457 писал(а):

Мне кажется что такой подход вызывает меньше противоречий.

0 не меньше, чем 0. 0 равен 0.

tvman в сообщении #575457 писал(а):

Безусловно он был невозможен во времена развития теории потому что для накопления опытных фактов нужно было время и Эйнштейну можно сказать пришлось рубить с плеча.

Опытные факты у Эйнштейна были уже готовые. Он из них и сформулировал постулат.

tvman в сообщении #575457 писал(а):

Да наоборот очень явно и прозрачно.

Неявно (это чисто технический термин, не бывает "очень" явно или неявно), и непрозрачно, если вы до сих пор не поняли.

-- 24.05.2012 12:57:18 --

obar в сообщении #575472 писал(а):

Никто этот факт не исключал. Суть в другом. Основной акцент статьи: "преобразования Лоренца могут быть полученны из подмножества аксиом классической механики". И соответственно главный вывод: "если классическая механика непротиворечива, то таковой является и СТО".

Первое - банальность, второе из первого не следует.

profrotter в сообщении #575474 писал(а):

Вот они, на мой взгляд, падают с потолка и объявляются "более общими". Не может ли быть других "более общих" преобразований, переводящих прямую в прямую?

Даже дробно-линейные не переводят прямую в прямую. Если потребовать, чтобы любая прямая переходила в прямую, останутся только линейные.

[obar]

epros в сообщении #575517 писал(а):

Так что, не будучи законченными формалистами, придётся такой случай из теоретически возможных исключить.

Только для этого нужно добавить еще один постулат (кроме отсутствия предельной скорости) -- принцип причинности. В двух других вариантах $\alpha>0$, $\alpha=0$ причинность не нарушается.

Munin в сообщении #575522 писал(а):

Первое - банальность, второе из первого не следует.

Про банальность спорить не буду, у каждого свои представления о банальности. А вот по поводу второго (если теория с аксиомами $A_1,\ldots,A_n$ непротиворечива, то отсюда не следует непротиворечивость теории с аксиомами $A_1,\ldots,A_{n-1}$) не соглашусь. Одно из требований к аксиомам -- их независимость друг от друга. Если непротиворечивая теория при отбрасывании одной из аксиом становится противоречивой, то требование независимости не выполняется.

[Munin]

Просто СТО не есть теория, полученная из классической механики только отбрасыванием аксиом. Неизбежно и добавление новых. И непротиворечивость того, что получается, надо всё-таки доказывать отдельно.

Если не добавлять новых аксиом, то получается целый класс разных теорий, включающий в себя и классическую механику, и СТО, и "евклидову механику с нарушением причинности", например. Да, преобразования Лоренца "получаются", но только в смысле "что получается, если попытаться перечислить все решения, все теории этого класса". Выделить их отдельно - возможно только добавлением аксиомы.

[obar]

Munin в сообщении #575542 писал(а):

Выделить их отдельно - возможно только добавлением аксиомы.

Пятый постулат (существование предельной скорости) содержится в самих лоренцевых преобразованиях (и не добавляет к ним ничего нового) и поэтому не должен противоречить первым 4-м аксиомам. Его роль лишь ограничительная -- выдилить из трех возможных вариантов один.

[Munin]

obar в сообщении #575555 писал(а):

Пятый постулат (существование предельной скорости) содержится в самих лоренцевых преобразованиях (и не добавляет к ним ничего нового)

Да.

obar в сообщении #575555 писал(а):

и поэтому не должен противоречить первым 4-м аксиомам.

Требует доказательства.

Я не говорю, что это доказательство невозможно, или даже что оно нетривиально. Я говорю, что педагогически заявлять, что доказательства не нужно, - ошибочно.

[profrotter]

Munin в сообщении #575522 писал(а):

Даже дробно-линейные не переводят прямую в прямую. Если потребовать, чтобы любая прямая переходила в прямую, останутся только линейные.

Переводом прямой в прямую аргументируется использование этих преобразований в статье. И становится интересно то, откуда эти преобразования падают.

Возможно следует посмотреть источники, на которые ссылается автор статьи - я не смотрел пока.

[Munin]

profrotter в сообщении #575588 писал(а):

Переводом прямой в прямую аргументируется использование этих преобразований в статье. И становится интересно то, откуда эти преобразования падают.

Думаю, автор этого внимательно не разбирал. А вообще, переводом прямых в прямые можно доказать, что преобразования будут только линейные. Я просто не помню как именно, но там даже никакой сложной идеи не было, просто техническая возня.

А автор взял вместо линейных дробно-линейные, видимо, "с запасом".