Закон сохранения импульса и энергии

[Oleg Zubelevich]

мне вообще кажется маловероятным, что тут речь идет о каком-то устойчивом периодичксуом движении, я думаю что поведение системы полностью хаотизируется с течением времени. Так, что эта колыбель просто артефакт какой-то

[Батороев]

ewert в сообщении #575037 писал(а):

Конечно (в определённом смысле). Вопрос только -- кому передаётся?...

Если в схеме из трёх шариков между двумя последними был зазорчик, то передаваться будет по цепочке полностью. В другом предельном случае, когда два последних жёстко скреплены -- первый отлетит назад известно как. В реальности, когда два последних изначально просто соприкасались, за время соударения первого со вторым -- второй будет постепенно подпираться третьим, и эффект, естественно, окажется промежуточным между теми двумя крайними. А вот каким конкретно -- тут уж надо конкретно и считать, тут уж пардон.

Понял, согласен.
Меня, похоже, "занесло", когда написал, что в среднюю часть можно поместить цилиндр вместо нескольких шаров и ничего не изменится.

А почему Вы соприкасающиеся шары не считаете сцепленными?

[ewert]

Батороев в сообщении #575149 писал(а):

А почему Вы соприкасающиеся шары не считаете сцепленными?

Потому что они не сцеплены.

Oleg Zubelevich в сообщении #575126 писал(а):

мне вообще кажется маловероятным, что тут речь идет о каком-то устойчивом периодичксуом движении, я думаю что поведение системы полностью хаотизируется с течением времени.

Хаос, разумеется, наступит в любом реальном случае. Однако в идеализированном случае наличия бесконечно малых, но зазоров решение будет формально периодическим. А вот если зазоров нет в принципе, то невозможно игнорировать конечную (пусть и очень жёсткую) упругость. И тогда периодичности не будет даже теоретически. Тем не менее: в течение нескольких начальных периодов движение может очень мало отличаться от периодического.

[Батороев]

ewert в сообщении #575156 писал(а):

Потому что они не сцеплены.

Не знаю-не знаю, по направлению действия импульса, на мой взгляд, это одно и то же.

[Munin]

ewert в сообщении #575156 писал(а):

Тем не менее: в течение нескольких начальных периодов движение может очень мало отличаться от периодического.

А можно получить оценку на их количество?

[ewert]

Munin в сообщении #575174 писал(а):

А можно получить оценку на их количество?

Например:

ewert в сообщении #574565 писал(а):

А вот, скажем, если сила упругости зависит от координаты не линейно, а кубически, то эти скорости будут равны, соответственно, -0.01040, +0.01051 и +0.99990

Грубо говоря, это означает, что на протяжении трёх периодов отклонения о периодичности будут лишь на процентов на шесть, что на глаз и не очень заметно.

С двумя оговорками. Во-первых, мне кажется реалистичной именно кубическая зависимость силы упругости от расстояния; но лишь кажется -- серьёзно я об этом не думал. Во-вторых: цифра шесть взята с потолка, т.к. после первой серии отскоков между шариками образуются маленькие зазорчики, и при дальнейших сериях механизм столкновений будет уже работать иначе. Однако можно ожидать, что качественно будет происходить примерно то же, что и в первой серии: раз появившееся отклонение от идеального распределения скоростей в один процент так и будет увеличиваться в каждой следующей серии порядка на процент.

[Munin]

ewert в сообщении #575181 писал(а):

Во-первых, мне кажется реалистичной именно кубическая зависимость силы упругости от расстояния; но лишь кажется -- серьёзно я об этом не думал.

Выглядит реалистично: поперечное сечение деформируемой части шара растёт с деформацией как квадрат.

ewert в сообщении #575181 писал(а):

Однако можно ожидать, что качественно будет происходить примерно то же, что и в первой серии: раз появившееся отклонение от идеального распределения скоростей в один процент так и будет увеличиваться в каждой следующей серии порядка на процент.

Ммм, а вот этого не понял. Почему оно не будет расти по экспоненте?

[Батороев]

Стало интересно, что изменится, если в колыбели Ньютона средние шары будут сцеплены в сборку $M=nm$?

Составляем уравнения равенства импульсов и кинетической энергии:

$mv=mv_1+Mv_2$ (1)

$\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{mv_1^2}{2}+\dfrac{Mv_2^2}{2}$ (2)

Перепишем:

$m(v-v_1)=Mv_2$ (3)

$m(v^2-v_1^2)=Mv_2^2$ (4)

Разделив уравнение (4) на (3), получим:

$v_2=v+v_1$

Откуда:

$v_1=\dfrac{m-M}{m+M}v$ (5) (скорость первого шара после столкновения будет направлена в обратную сторону).

$v_2=\dfrac{2m}{m+M}v$ (6)

Составляя аналогичные уравнения для перехода от срединных шаров ко второму крайнему шару, получим:

$v_3=\dfrac{M-m}{M+m}v_2$ (7) (скорость сцепленных шаров после второго соударения).

$v_4=\dfrac{2M}{M+m}v_2$ (8) (скорость второго крайнего шара).

Подставляем значение $v_2$ из (6), получаем:

$v_4=\dfrac{2M}{M+m}\cdot\dfrac{2m}{M+m}v$

$v_4=\dfrac{4Mm}{(M+m)^2}v$ (9)

Подставляя значение $M=nm$ ($n$ -количество сцепленных шаров), получаем (если нигде не наврал):

$v_4=\dfrac{4n}{(n+1)^2}v$

Равенство $v_4=v$ будет при $n=1$ (что можно было ожидать и без расчетов ).

[ivanhabalin]

Скажите, а первый удар не приводит к колебаниям размера шарика на высоких (наверное резонансных) частотах, что не позволит говорить о отсуствии зазора между шариками?

[ewert]

Munin в сообщении #575205 писал(а):

Почему оно не будет расти по экспоненте?

Ну я ж навскидку написал. На нескольких периодах не очень принципиально, экспонента или нет.

Однако, чуть поразмысливши (я ведь в магазин ходил), скажу иначе.

После первой серии столкновении два первых шарика начнут разлетаться в разные стороны от своих положений равновесия с практически одинаковыми скоростями примерно в плюс-минус 0.01, третий же полетит вправо с практически единичной скоростью.

Потом они снова встретятся примерно в своих же положениях равновесия (поскольку их периоды колебаний практически одинаковы, если считать изначальное отклонение крайнего шарика не слишком большим). Сталкиваться друг с другом в следующей серии они будут уже не одновременно, а по очереди (поскольку эти периоды всё-таки чуть-чуть различаются, да и скорости двух первых шариков хоть немножко, да тоже различаются).

При этом в СО, связанной с центральным шариком, два крайних обменяются скоростями (тут даже не важна последовательность столкновений):

+0.02, 0, -0.99 -> -0.99, 0, 0.02,

т.е. в "лабораторной" СО получится набор скоростей -1, -0.01, 0.01. Т.е. это однопроцентное, т.е. практически не заметное глазу, искажение так и будет периодически повторяться.

Естественно, в рамках предложенных допущений. А уж насколько они оправданны -- хрен его знает; боюсь, что тут надо всё-таки считать.

[Munin]

Просто если там в самом деле хаос, то логично было бы экспоненту ожидать... Но я уже ничего не знаю.

[ewert]

Munin в сообщении #575332 писал(а):

Просто если там в самом деле хаос, то логично было бы экспоненту ожидать...

Нет, ну это в конце концов хаос наступит. А с какой скоростью он будет наступать -- вопрос другой.

-- Ср май 23, 2012 23:03:01 --

ivanhabalin в сообщении #575256 писал(а):

первый удар не приводит к колебаниям размера шарика на высоких (наверное резонансных) частотах, что не позволит говорить о отсуствии зазора между шариками?

Хрен его знает. Учесть собственные колебания шариков вряд ли возможно; во всяком случае, в рамках элементарного рассмотрения. И в любом случае: если они (т.е. их энергии) существенны, то они почти наверняка существенно сохранятся и после разлёта, а это уже означает неупругость.

[Munin]

ewert в сообщении #575339 писал(а):

Нет, ну это в конце концов хаос наступит. А с какой скоростью он будет наступать -- вопрос другой.

Это уже за пределами моего понимания :-(

[ewert]

Munin в сообщении #575342 писал(а):

Это уже за пределами

ну зачем прибедняться. Речь, естественно, о том, что скорость наступления хаоса может (в принципе) как угодно соотноситься с характерным временем системы; в данном случае -- с периодом колебаний одиночного маятника.

[Munin]

ewert в сообщении #575348 писал(а):

ну зачем прибедняться. Речь, естественно, о том, что скорость наступления хаоса

Не, серьёзно, я не знаю, что такое скорость наступления хаоса.