Закон сохранения импульса и энергии

[Munin]

И $n-1$ неравенств. Сначала я не придавал этому значения, затем задумался, и сейчас уверен, что они выполняют всю нужную работу, и играют ключевую роль. Они расположены так удачно, что их пересечение ровно "остриём" попадает на поверхность, заданную уравнениями, и поэтому понижает её размерность, на сколько надо. Наподобие того, как система

$$\left\{\begin{array}{l}y=0\\y+x\geqslant 0\\y-x\geqslant 0\end{array}\right.$$

имеет решение размерности 0.

[Oleg Zubelevich]

берем три шара единичной массы. пусть первый шар бьет оставшиеся два со скоростью 2.
тогда

$$v_1+v_2+v_3=2,\quad v_1^2+v_2^2+v_3^2=4$$

где $v_i$ -- скорости шаров после удара
кроме наблюдаемого решения $v_1=v_2=0,\quad v_3=2$, имеем еще одно (на самом деле континуум):

$$v_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\quad v_2=1,\quad v_3=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

[Munin]

Спасибо за контрпример. Жаль, мне его тогда никто не показал...

[Munin]

Приходится искать другую причину. Следующее предположение: взаимодействие между шариками следует описывать не как столкновение абсолютно твёрдых тел, а ввести некоторый коэффициент упругости, так что имеет место потенциал вида

$$U=\left\{\begin{array}{ll}\tfrac{k}{2}x^2,\quad&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{array}\right.$$

с очень большим $k,$ вместо просто вертикальной стенки. Соответственно, в системе появляются ещё $n-1$ коэффициентов жёсткости, и наблюдаемое поведение маятника Ньютона имеет место, когда они все между собой равны (шарики одинаковы).

-- 20.05.2012 13:40:46 --

P. S. Вставил в ту тему сообщение о том, что моя идея опровергнута.

[ivanhabalin]

Munin в сообщении #573660 писал(а):

и наблюдаемое поведение маятника Ньютона имеет место, когда они все между собой равны (шарики одинаковы).

Munin
Если не учитывать потери во внешнею среду, это справедливо для любого количества шариков?

[Munin]

ivanhabalin в сообщении #573663 писал(а):

Если не учитывать потери во внешнею среду, это справедливо для любого количества шариков?

Это опять только гипотеза. Может, Oleg Zubelevich сейчас ещё один контрпример выкатит.

[Oleg Zubelevich]

с пружинками это надо проверять, что будет при предельном переходе. Но могут ведь быть и другие некорректности: например, этот предельный переход может дать решение, которое не является непрерывной функцией масс шаров. Для задач с кратными ударами это типично.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #573678 писал(а):

с пружинками это надо проверять, что будет при предельном переходе.

Уточню: предельный переход и при всех одинаковых пружинках, и при всех одинаковых массах. По крайней мере, для трёх шаров получается правильный ответ просто из симметрии. А, кстати, и для любого числа шаров, если налетает группа шаров на неподвижную группу, то отделяется потом такая же группа. Разумеется, начальные положения пружинок должны быть нулевые.

Oleg Zubelevich в сообщении #573678 писал(а):

Но могут ведь быть и другие некорректности: например, этот предельный переход может дать решение, которое не является непрерывной функцией масс шаров. Для задач с кратными ударами это типично.

А это будет некорректностью? Я считаю, что нет. Просто в точке разрыва предела не существует, но задача с конечными пружинками корректна и по массам шаров непрерывна.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #573692 писал(а):

но задача с конечными пружинками корректна и по массам шаров непрерывна.

а я с этого и начинал, я думаю, что это задача в которой существенны упругистские соображения т.е. это вообще не задача механики твердых тел

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #573695 писал(а):

а я с этого и начинал, я думаю, что это задача в которой существенны упругистские соображения

Мне показалось, вы начинали с некорректности и с отсылок к ударам. Хорошо, если так, как вы сейчас говорите.

Oleg Zubelevich в сообщении #573695 писал(а):

это вообще не задача механики твердых тел

В узком смысле да, но "пружинки" - всё равно довольно элементарная абстракция, "школьная".

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #573701 писал(а):

вы начинали с некорректности и с отсылок к ударам

не к любым ударам, а именно к кратным, и
я начал вот с чего:

Oleg Zubelevich в сообщении #573299 писал(а):

Происходит так называемый кратный удар. Вообще говоря, такие задачи в рамках механики твердого тела почти не решаются.

некратные удары корректны, есть лагранжева теория удара . И эта теория раскрывает, в частности, природу некорректности кратного удара. Я кстати на это уже намекал: topic58739.html

Munin в сообщении #573701 писал(а):

В узком смысле да, но "пружинки" - всё равно довольно элементарная абстракция, "школьная".

пружинки это вообще очень популярный трюк, называется в народе "пружинный матрац". Результаты подкладывания такого матраца иногда превосходят ожидания

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #573793 писал(а):

не к любым ударам, а именно к кратным

Надо бы ещё обосновать, что в этой задаче будут обязательно возникать кратные.

[Oleg Zubelevich]

первый удар он и есть кратный

[Munin]

Я попросил обоснования, а не заявления.

[Oleg Zubelevich]

неединственности решения достаточно для кратности