Как определяли логарифм и вычислили экспоненту

[g______d]

$\sin 1^\circ$ в радикалах выразить можно, в квадратичных радикалах нельзя. Правильно?

-- 18.05.2012, 01:20 --

Причем достаточно квадратичных и кубических.

[INGELRII]

Если в кубических и выразить, геометрически-то все равно не построить. Циркулем и линейкой, конечно. А говорили вроде именно об этом. И насколько я помню, если задачу о трисекции решать через кубическое уравнение, то дискриминант там будет отрицательный, то есть это через комплексные числа.

А, ну да, это очевидно. Если мы знаем $t=\cos \alpha$, и хотим найти $x_0 = \cos \frac{\alpha}{3}$, то нам также подойдут и корни $x_1 = \cos \frac{\alpha + 2 \pi}{3}, x_2 = \cos \frac{\alpha - 2 \pi}{3}$. Значит, кубическое уравнение (каким бы оно там ни было, лень мне его выводить) имеет три вещественных корня. Отсюда следует, что дискриминант его отрицателен!

Соответственно, если Вы умеете при помощи циркуля и линейки без делений строить квадратные корни из отрицательных чисел, а потом еще и кубические корни из комплексных чисел, то трисекцию Вы осуществить способны. Тогда и угол в один градус построить не проблема. Ну а если не умеете, то...

[g______d]

Да, это все понятно, я просто пытался выяснить, о чем спор. Я знаю, что циркулем и линейкой можно строить только углы, синус которых выражается через квадратичные радикалы. $\sin 1^{\circ}$ таким свойством не обладает --- это я тоже знаю :)

[Nilenbert]

Тут есть тонкость - $\sin 1^{\circ}$ можно представить в виде радикалов от комплексных чисел, но не от в виде радикалов от вещественных чисел, это тут обсуждалось: post112632.html#p112632

[RIP]

INGELRII в сообщении #572629 писал(а):

Поделить полный угол на $n$ равных частей можно лишь когда его разложение на простые множители имеет вид $n = 2^k p_1 p_2 ... p_m$, где $k$ - любое целое неотрицательное, и среди простых множителей нет двух одинаковых (то есть $p_1 < p_2 < ... < p_m$).

Это ещё не всё: все $p_k$ должны быть простыми Ферма (плюс, хоть это и подразумевается, стоит уточнить, что речь идёт о построении с помощью циркуля и линейки). Эквивалентная формулировка: значение функции Эйлера $\varphi(n)$ должно быть степенью двойки. Вообще, для построения правильного $n$-угольника достаточно уметь решать уравнения тех простых степеней, которые делят $\varphi(n)$.

[arseniiv]

Ales в сообщении #572588 писал(а):

Остается вопрос: как вычислить синус 1-го градуса (из 360) через радикалы. Не уверен, что это возможно.

Кстати, а зачем? Ну вот не выразите, не построите циркулем и линейкой — это же не означает, что при желании можно найти сколь угодно точное разбиение полного угла на градусы.

-- Пт май 18, 2012 11:25:07 --

Притом никаких особых методов даже изобретать не надо. Можно просто подбирать раствор циркуля.

[Евгений Машеров]

Вообще, тут (в решении задачи построения определённых углов, но не только) есть две стороны - научно-спортивная и прикладная.
Построение циркулем и линейкой исторически имело и прикладную сторону, поскольку правильность этих инструментов проверить легче всего - посмотрев вдоль среза линейки и очертив окружность соответственно. А всякого рода механизмы проверяются сложнее и их точность зависит от качества изготовления, износа и т.п. Но в настоящее время эта задача скорее спортивная, доказывая достижения данного интеллектуального спортсмена.
В прикладном же отношении бывает достаточно приближённого решения, и угол в $1^o$ с достаточной точностью может быть построен теми же циркулем и линейкой, или же устройством типа линейки с засечками точно, не говоря уж о разнообразных трисекторах.

[shwedka]

Евгений Машеров в сообщении #572719 писал(а):

В прикладном же отношении бывает достаточно приближённого решения, и угол в $1^o$ с достаточной точностью может быть построен теми же циркулем и линейкой, или же устройством типа линейки с засечками точно, не говоря уж о разнообразных трисекторах.

В прикладном отношении никому по трезвому не придет в голову приближенно делить угол на 3 части или строить угол в $1^\circ$ циркулем и линейкой. Лет 20 назад открывали таблицу, например, тангенсов, теперь на компьютере, в маткаде каком-нибудь..
Так что прикладная сторона дела к математике не относится и должна восприниматься как оффтоп

[miflin]

Речь ведь не об

shwedka в сообщении #572725 писал(а):

Лет 20 назад

[Munin]

Евгений Машеров в сообщении #572719 писал(а):

Построение циркулем и линейкой исторически имело и прикладную сторону, поскольку правильность этих инструментов проверить легче всего - посмотрев вдоль среза линейки и очертив окружность соответственно. А всякого рода механизмы проверяются сложнее и их точность зависит от качества изготовления, износа и т.п.

Вообще, насколько я слышал, построения циркулем и линейкой всегда имели ценность преимущественно теоретическую. В реальности как раз всегда пытались развивать разнообразные средства и механизмы для измерений, а уж с их неточностью мирились, или пытались изготавливать точнее (вообще, вопросы точности в науке появились и поднялись сильно после 17 века, Галилей погрешностей не анализировал). Первейшие примеры таких инструментов появились в древности: мерная верёвка с узлами, линейка с делениями, транспортир (любые круги и дуги для измерения углов). Традиционная для геометрии, с античности и до возникновения матанализа, тема - исследование кривых, нарисованных разными механизмами. Это и эллипс, и циклоида, и астроида, и архимедова спираль (не помню, как насчёт логарифмической). Про роль секстанта и квадранта и заикаться не вижу смысла, а ведь для этого их надо было математически изучать.

Практически циркуль и линейка ценны разве что тем, что легко воспроизводимы в условиях отсутствия вообще каких-либо инструментов. Но и эта ценность относительная: сделать мерную верёвку или мерную линейку ненамного труднее, а точность инструментов, сделанных из подручных средств, оставляет желать лучшего.

[Евгений Машеров]

Ну, так мы говорим не о "сейчас" или даже 20 (пусть и 200) лет назад, а о возможностях математики XVI-XVII веков? Или даже греческой, египетской и вавилонской?

[Munin]

Евгений Машеров в сообщении #572913 писал(а):

Ну, так мы говорим не о "сейчас" или даже 20 (пусть и 200) лет назад, а о возможностях математики XVI-XVII веков? Или даже греческой, египетской и вавилонской?

Я - да.

[Ales]

arseniiv в сообщении #572692 писал(а):

Ales в сообщении #572588 писал(а):

Остается вопрос: как вычислить синус 1-го градуса (из 360) через радикалы. Не уверен, что это возможно.

Кстати, а зачем? Ну вот не выразите, не построите циркулем и линейкой — это же не означает, что при желании можно найти сколь угодно точное разбиение полного угла на градусы.

-- Пт май 18, 2012 11:25:07 --

Притом никаких особых методов даже изобретать не надо. Можно просто подбирать раствор циркуля.

В книге Магницкого изложены способы извлечения корней - радикалов разных степеней.
Способ похож на формулу бинома.

Но ничего не сказано про приближенные решения алгебраических уравнений - метод Ньютона и т.п.
Такие методы, кажется, невозможны без знания дифференциального исчисления.

Можно было старыми методами найти синус угла, если он выражается через радикалы.
А если надо найти синус одного градуса из 360, то нужен уже анализ.

Циркуль и линейка с моей точки зрения не так важны.

-- Пт май 18, 2012 22:41:26 --

Хотя можно просто разделить синус 3 градусов на три - и будет синус одного градуса.

-- Пт май 18, 2012 23:02:11 --

Joker_vD в сообщении #572611 писал(а):

Вот вы уверены, и что?

То, что никто не сможет алгебраически выразить логарифм через тангенсы и арктангенсы (не прибегая к комплексным числам).

Но зато карту Меркатора можно и вправду сделать без логарифма (я был не прав).
И даже тангенсов не надо.
Надо просто знать широты портов и разных мест, и локсодромы, соединяющие точки,
то есть румбы, под которыми надо плыть из порта в порт.
Тогда можно построить локальную карту и потом глобальные карты.
Вроде даже тогда и долгота не нужна.

Или не так?
Может быть и не так. Похоже точности маловато: румбов только 8 в прямом угле.

-- Пт май 18, 2012 23:29:34 --

g______d в сообщении #572633 писал(а):

$\sin 1^\circ$ в радикалах выразить можно, в квадратичных радикалах нельзя. Правильно?

-- 18.05.2012, 01:20 --

Причем достаточно квадратичных и кубических.

Верно ли, что если синус можно выразить в радикалах (от действительных чисел), то это будут квадратные корни.
Получается задача на деление угла циркулем и линейкой.

[ewert]

Ales в сообщении #573070 писал(а):

Хотя можно просто разделить синус 3 градусов на три - и будет синус одного градуса.

Будет. Но только в военное время.

[Евгений Машеров]

И даже в мирное. Погрешность 0.04%. Но погрешность. То есть точное решение надо искать, но для тех же артиллеристов или навигаторов, или строителей - точность удовлетворительна.