2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
$\sin 1^\circ$ в радикалах выразить можно, в квадратичных радикалах нельзя. Правильно?

-- 18.05.2012, 01:20 --

Причем достаточно квадратичных и кубических.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 00:41 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Если в кубических и выразить, геометрически-то все равно не построить. Циркулем и линейкой, конечно. А говорили вроде именно об этом. И насколько я помню, если задачу о трисекции решать через кубическое уравнение, то дискриминант там будет отрицательный, то есть это через комплексные числа.

А, ну да, это очевидно. Если мы знаем $t=\cos \alpha$, и хотим найти $x_0 = \cos \frac{\alpha}{3}$, то нам также подойдут и корни $x_1 = \cos \frac{\alpha + 2 \pi}{3},  x_2 = \cos \frac{\alpha - 2 \pi}{3}$. Значит, кубическое уравнение (каким бы оно там ни было, лень мне его выводить) имеет три вещественных корня. Отсюда следует, что дискриминант его отрицателен!

Соответственно, если Вы умеете при помощи циркуля и линейки без делений строить квадратные корни из отрицательных чисел, а потом еще и кубические корни из комплексных чисел, то трисекцию Вы осуществить способны. Тогда и угол в один градус построить не проблема. Ну а если не умеете, то...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Да, это все понятно, я просто пытался выяснить, о чем спор. Я знаю, что циркулем и линейкой можно строить только углы, синус которых выражается через квадратичные радикалы. $\sin 1^{\circ}$ таким свойством не обладает --- это я тоже знаю :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 03:45 
Аватара пользователя


25/03/08
241
Тут есть тонкость - $\sin 1^{\circ}$ можно представить в виде радикалов от комплексных чисел, но не от в виде радикалов от вещественных чисел, это тут обсуждалось: post112632.html#p112632

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 07:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
INGELRII в сообщении #572629 писал(а):
Поделить полный угол на $n$ равных частей можно лишь когда его разложение на простые множители имеет вид $n = 2^k p_1 p_2 ... p_m$, где $k$ - любое целое неотрицательное, и среди простых множителей нет двух одинаковых (то есть $p_1 < p_2 < ... < p_m$).
Это ещё не всё: все $p_k$ должны быть простыми Ферма (плюс, хоть это и подразумевается, стоит уточнить, что речь идёт о построении с помощью циркуля и линейки). Эквивалентная формулировка: значение функции Эйлера $\varphi(n)$ должно быть степенью двойки. Вообще, для построения правильного $n$-угольника достаточно уметь решать уравнения тех простых степеней, которые делят $\varphi(n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 08:23 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ales в сообщении #572588 писал(а):
Остается вопрос: как вычислить синус 1-го градуса (из 360) через радикалы. Не уверен, что это возможно.
Кстати, а зачем? Ну вот не выразите, не построите циркулем и линейкой — это же не означает, что при желании можно найти сколь угодно точное разбиение полного угла на градусы.

-- Пт май 18, 2012 11:25:07 --

Притом никаких особых методов даже изобретать не надо. Можно просто подбирать раствор циркуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 10:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9627
Москва
Вообще, тут (в решении задачи построения определённых углов, но не только) есть две стороны - научно-спортивная и прикладная.
Построение циркулем и линейкой исторически имело и прикладную сторону, поскольку правильность этих инструментов проверить легче всего - посмотрев вдоль среза линейки и очертив окружность соответственно. А всякого рода механизмы проверяются сложнее и их точность зависит от качества изготовления, износа и т.п. Но в настоящее время эта задача скорее спортивная, доказывая достижения данного интеллектуального спортсмена.
В прикладном же отношении бывает достаточно приближённого решения, и угол в $1^o$ с достаточной точностью может быть построен теми же циркулем и линейкой, или же устройством типа линейки с засечками точно, не говоря уж о разнообразных трисекторах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Евгений Машеров в сообщении #572719 писал(а):
В прикладном же отношении бывает достаточно приближённого решения, и угол в $1^o$ с достаточной точностью может быть построен теми же циркулем и линейкой, или же устройством типа линейки с засечками точно, не говоря уж о разнообразных трисекторах.

В прикладном отношении никому по трезвому не придет в голову приближенно делить угол на 3 части или строить угол в $1^\circ$ циркулем и линейкой. Лет 20 назад открывали таблицу, например, тангенсов, теперь на компьютере, в маткаде каком-нибудь..
Так что прикладная сторона дела к математике не относится и должна восприниматься как оффтоп

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 12:14 
Аватара пользователя


27/02/12
3734
Речь ведь не об
shwedka в сообщении #572725 писал(а):
Лет 20 назад

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Евгений Машеров в сообщении #572719 писал(а):
Построение циркулем и линейкой исторически имело и прикладную сторону, поскольку правильность этих инструментов проверить легче всего - посмотрев вдоль среза линейки и очертив окружность соответственно. А всякого рода механизмы проверяются сложнее и их точность зависит от качества изготовления, износа и т.п.

Вообще, насколько я слышал, построения циркулем и линейкой всегда имели ценность преимущественно теоретическую. В реальности как раз всегда пытались развивать разнообразные средства и механизмы для измерений, а уж с их неточностью мирились, или пытались изготавливать точнее (вообще, вопросы точности в науке появились и поднялись сильно после 17 века, Галилей погрешностей не анализировал). Первейшие примеры таких инструментов появились в древности: мерная верёвка с узлами, линейка с делениями, транспортир (любые круги и дуги для измерения углов). Традиционная для геометрии, с античности и до возникновения матанализа, тема - исследование кривых, нарисованных разными механизмами. Это и эллипс, и циклоида, и астроида, и архимедова спираль (не помню, как насчёт логарифмической). Про роль секстанта и квадранта и заикаться не вижу смысла, а ведь для этого их надо было математически изучать.

Практически циркуль и линейка ценны разве что тем, что легко воспроизводимы в условиях отсутствия вообще каких-либо инструментов. Но и эта ценность относительная: сделать мерную верёвку или мерную линейку ненамного труднее, а точность инструментов, сделанных из подручных средств, оставляет желать лучшего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9627
Москва
Ну, так мы говорим не о "сейчас" или даже 20 (пусть и 200) лет назад, а о возможностях математики XVI-XVII веков? Или даже греческой, египетской и вавилонской?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Евгений Машеров в сообщении #572913 писал(а):
Ну, так мы говорим не о "сейчас" или даже 20 (пусть и 200) лет назад, а о возможностях математики XVI-XVII веков? Или даже греческой, египетской и вавилонской?

Я - да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 22:32 


20/12/09
1527
arseniiv в сообщении #572692 писал(а):
Ales в сообщении #572588 писал(а):
Остается вопрос: как вычислить синус 1-го градуса (из 360) через радикалы. Не уверен, что это возможно.
Кстати, а зачем? Ну вот не выразите, не построите циркулем и линейкой — это же не означает, что при желании можно найти сколь угодно точное разбиение полного угла на градусы.

-- Пт май 18, 2012 11:25:07 --

Притом никаких особых методов даже изобретать не надо. Можно просто подбирать раствор циркуля.


В книге Магницкого изложены способы извлечения корней - радикалов разных степеней.
Способ похож на формулу бинома.

Но ничего не сказано про приближенные решения алгебраических уравнений - метод Ньютона и т.п.
Такие методы, кажется, невозможны без знания дифференциального исчисления.

Можно было старыми методами найти синус угла, если он выражается через радикалы.
А если надо найти синус одного градуса из 360, то нужен уже анализ.

Циркуль и линейка с моей точки зрения не так важны.

-- Пт май 18, 2012 22:41:26 --

Хотя можно просто разделить синус 3 градусов на три - и будет синус одного градуса.

-- Пт май 18, 2012 23:02:11 --

Joker_vD в сообщении #572611 писал(а):
Вот вы уверены, и что?

То, что никто не сможет алгебраически выразить логарифм через тангенсы и арктангенсы (не прибегая к комплексным числам).

Но зато карту Меркатора можно и вправду сделать без логарифма (я был не прав).
И даже тангенсов не надо.
Надо просто знать широты портов и разных мест, и локсодромы, соединяющие точки,
то есть румбы, под которыми надо плыть из порта в порт.
Тогда можно построить локальную карту и потом глобальные карты.
Вроде даже тогда и долгота не нужна.

Или не так?
Может быть и не так. Похоже точности маловато: румбов только 8 в прямом угле.

-- Пт май 18, 2012 23:29:34 --

g______d в сообщении #572633 писал(а):
$\sin 1^\circ$ в радикалах выразить можно, в квадратичных радикалах нельзя. Правильно?

-- 18.05.2012, 01:20 --

Причем достаточно квадратичных и кубических.


Верно ли, что если синус можно выразить в радикалах (от действительных чисел), то это будут квадратные корни.
Получается задача на деление угла циркулем и линейкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение19.05.2012, 09:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ales в сообщении #573070 писал(а):
Хотя можно просто разделить синус 3 градусов на три - и будет синус одного градуса.

Будет. Но только в военное время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение19.05.2012, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9627
Москва
И даже в мирное. Погрешность 0.04%. Но погрешность. То есть точное решение надо искать, но для тех же артиллеристов или навигаторов, или строителей - точность удовлетворительна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 115 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group