2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
$\sin 1^\circ$ в радикалах выразить можно, в квадратичных радикалах нельзя. Правильно?

-- 18.05.2012, 01:20 --

Причем достаточно квадратичных и кубических.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 00:41 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Если в кубических и выразить, геометрически-то все равно не построить. Циркулем и линейкой, конечно. А говорили вроде именно об этом. И насколько я помню, если задачу о трисекции решать через кубическое уравнение, то дискриминант там будет отрицательный, то есть это через комплексные числа.

А, ну да, это очевидно. Если мы знаем $t=\cos \alpha$, и хотим найти $x_0 = \cos \frac{\alpha}{3}$, то нам также подойдут и корни $x_1 = \cos \frac{\alpha + 2 \pi}{3},  x_2 = \cos \frac{\alpha - 2 \pi}{3}$. Значит, кубическое уравнение (каким бы оно там ни было, лень мне его выводить) имеет три вещественных корня. Отсюда следует, что дискриминант его отрицателен!

Соответственно, если Вы умеете при помощи циркуля и линейки без делений строить квадратные корни из отрицательных чисел, а потом еще и кубические корни из комплексных чисел, то трисекцию Вы осуществить способны. Тогда и угол в один градус построить не проблема. Ну а если не умеете, то...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Да, это все понятно, я просто пытался выяснить, о чем спор. Я знаю, что циркулем и линейкой можно строить только углы, синус которых выражается через квадратичные радикалы. $\sin 1^{\circ}$ таким свойством не обладает --- это я тоже знаю :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 03:45 
Аватара пользователя


25/03/08
241
Тут есть тонкость - $\sin 1^{\circ}$ можно представить в виде радикалов от комплексных чисел, но не от в виде радикалов от вещественных чисел, это тут обсуждалось: post112632.html#p112632

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 07:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3823
INGELRII в сообщении #572629 писал(а):
Поделить полный угол на $n$ равных частей можно лишь когда его разложение на простые множители имеет вид $n = 2^k p_1 p_2 ... p_m$, где $k$ - любое целое неотрицательное, и среди простых множителей нет двух одинаковых (то есть $p_1 < p_2 < ... < p_m$).
Это ещё не всё: все $p_k$ должны быть простыми Ферма (плюс, хоть это и подразумевается, стоит уточнить, что речь идёт о построении с помощью циркуля и линейки). Эквивалентная формулировка: значение функции Эйлера $\varphi(n)$ должно быть степенью двойки. Вообще, для построения правильного $n$-угольника достаточно уметь решать уравнения тех простых степеней, которые делят $\varphi(n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 08:23 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ales в сообщении #572588 писал(а):
Остается вопрос: как вычислить синус 1-го градуса (из 360) через радикалы. Не уверен, что это возможно.
Кстати, а зачем? Ну вот не выразите, не построите циркулем и линейкой — это же не означает, что при желании можно найти сколь угодно точное разбиение полного угла на градусы.

-- Пт май 18, 2012 11:25:07 --

Притом никаких особых методов даже изобретать не надо. Можно просто подбирать раствор циркуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 10:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Вообще, тут (в решении задачи построения определённых углов, но не только) есть две стороны - научно-спортивная и прикладная.
Построение циркулем и линейкой исторически имело и прикладную сторону, поскольку правильность этих инструментов проверить легче всего - посмотрев вдоль среза линейки и очертив окружность соответственно. А всякого рода механизмы проверяются сложнее и их точность зависит от качества изготовления, износа и т.п. Но в настоящее время эта задача скорее спортивная, доказывая достижения данного интеллектуального спортсмена.
В прикладном же отношении бывает достаточно приближённого решения, и угол в $1^o$ с достаточной точностью может быть построен теми же циркулем и линейкой, или же устройством типа линейки с засечками точно, не говоря уж о разнообразных трисекторах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Евгений Машеров в сообщении #572719 писал(а):
В прикладном же отношении бывает достаточно приближённого решения, и угол в $1^o$ с достаточной точностью может быть построен теми же циркулем и линейкой, или же устройством типа линейки с засечками точно, не говоря уж о разнообразных трисекторах.

В прикладном отношении никому по трезвому не придет в голову приближенно делить угол на 3 части или строить угол в $1^\circ$ циркулем и линейкой. Лет 20 назад открывали таблицу, например, тангенсов, теперь на компьютере, в маткаде каком-нибудь..
Так что прикладная сторона дела к математике не относится и должна восприниматься как оффтоп

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 12:14 
Аватара пользователя


27/02/12
3882
Речь ведь не об
shwedka в сообщении #572725 писал(а):
Лет 20 назад

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Евгений Машеров в сообщении #572719 писал(а):
Построение циркулем и линейкой исторически имело и прикладную сторону, поскольку правильность этих инструментов проверить легче всего - посмотрев вдоль среза линейки и очертив окружность соответственно. А всякого рода механизмы проверяются сложнее и их точность зависит от качества изготовления, износа и т.п.

Вообще, насколько я слышал, построения циркулем и линейкой всегда имели ценность преимущественно теоретическую. В реальности как раз всегда пытались развивать разнообразные средства и механизмы для измерений, а уж с их неточностью мирились, или пытались изготавливать точнее (вообще, вопросы точности в науке появились и поднялись сильно после 17 века, Галилей погрешностей не анализировал). Первейшие примеры таких инструментов появились в древности: мерная верёвка с узлами, линейка с делениями, транспортир (любые круги и дуги для измерения углов). Традиционная для геометрии, с античности и до возникновения матанализа, тема - исследование кривых, нарисованных разными механизмами. Это и эллипс, и циклоида, и астроида, и архимедова спираль (не помню, как насчёт логарифмической). Про роль секстанта и квадранта и заикаться не вижу смысла, а ведь для этого их надо было математически изучать.

Практически циркуль и линейка ценны разве что тем, что легко воспроизводимы в условиях отсутствия вообще каких-либо инструментов. Но и эта ценность относительная: сделать мерную верёвку или мерную линейку ненамного труднее, а точность инструментов, сделанных из подручных средств, оставляет желать лучшего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Ну, так мы говорим не о "сейчас" или даже 20 (пусть и 200) лет назад, а о возможностях математики XVI-XVII веков? Или даже греческой, египетской и вавилонской?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Евгений Машеров в сообщении #572913 писал(а):
Ну, так мы говорим не о "сейчас" или даже 20 (пусть и 200) лет назад, а о возможностях математики XVI-XVII веков? Или даже греческой, египетской и вавилонской?

Я - да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение18.05.2012, 22:32 


20/12/09
1527
arseniiv в сообщении #572692 писал(а):
Ales в сообщении #572588 писал(а):
Остается вопрос: как вычислить синус 1-го градуса (из 360) через радикалы. Не уверен, что это возможно.
Кстати, а зачем? Ну вот не выразите, не построите циркулем и линейкой — это же не означает, что при желании можно найти сколь угодно точное разбиение полного угла на градусы.

-- Пт май 18, 2012 11:25:07 --

Притом никаких особых методов даже изобретать не надо. Можно просто подбирать раствор циркуля.


В книге Магницкого изложены способы извлечения корней - радикалов разных степеней.
Способ похож на формулу бинома.

Но ничего не сказано про приближенные решения алгебраических уравнений - метод Ньютона и т.п.
Такие методы, кажется, невозможны без знания дифференциального исчисления.

Можно было старыми методами найти синус угла, если он выражается через радикалы.
А если надо найти синус одного градуса из 360, то нужен уже анализ.

Циркуль и линейка с моей точки зрения не так важны.

-- Пт май 18, 2012 22:41:26 --

Хотя можно просто разделить синус 3 градусов на три - и будет синус одного градуса.

-- Пт май 18, 2012 23:02:11 --

Joker_vD в сообщении #572611 писал(а):
Вот вы уверены, и что?

То, что никто не сможет алгебраически выразить логарифм через тангенсы и арктангенсы (не прибегая к комплексным числам).

Но зато карту Меркатора можно и вправду сделать без логарифма (я был не прав).
И даже тангенсов не надо.
Надо просто знать широты портов и разных мест, и локсодромы, соединяющие точки,
то есть румбы, под которыми надо плыть из порта в порт.
Тогда можно построить локальную карту и потом глобальные карты.
Вроде даже тогда и долгота не нужна.

Или не так?
Может быть и не так. Похоже точности маловато: румбов только 8 в прямом угле.

-- Пт май 18, 2012 23:29:34 --

g______d в сообщении #572633 писал(а):
$\sin 1^\circ$ в радикалах выразить можно, в квадратичных радикалах нельзя. Правильно?

-- 18.05.2012, 01:20 --

Причем достаточно квадратичных и кубических.


Верно ли, что если синус можно выразить в радикалах (от действительных чисел), то это будут квадратные корни.
Получается задача на деление угла циркулем и линейкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение19.05.2012, 09:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ales в сообщении #573070 писал(а):
Хотя можно просто разделить синус 3 градусов на три - и будет синус одного градуса.

Будет. Но только в военное время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение19.05.2012, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
И даже в мирное. Погрешность 0.04%. Но погрешность. То есть точное решение надо искать, но для тех же артиллеристов или навигаторов, или строителей - точность удовлетворительна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 115 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group