Как определяли логарифм и вычислили экспоненту

[arseniiv]

(Оффтоп)

Скобочки забыыли! Вокруг дробей.

[Евгений Машеров]

Собственно, тема музыки не столь оффтопична в логарифмической. Отношения частот нот и разности порядковых номеров.

[Ales]

Евгений Машеров в сообщении #571606 писал(а):

Что до Меркатора - то тот факт, что формулы преобразования координат на сфере в координаты на карте в одноименной ему проекции выражаемы через логарифм, отнюдь не означает, что он логарифмами пользовался.

По крайней мере, никто внятно не может объяснить, как он такую карту составил.
Для меня это достаточно, чтобы сомневаться в реальности первого Меркатора.

-- Ср май 16, 2012 22:24:39 --

Евгений Машеров в сообщении #571606 писал(а):

Понимаете ли, "Арифметика" Магницкого не отражает современный ему уровень математики. Она отражает современный ему уровень преподавания математики в средних школах (если быть более точным в аналогиях - в ПТУ, поскольку Навигацкая или Артиллерийская школы были профессиональными учебными заведениями).
Поэтому-то в ней ряд вещей приведен упрощённо и/или приближённо. Скажем, значение $\frac {22} 7=3.142857\dots$ отличается от истинного на 0.00126... или на 0.04%. Что достаточно даже с точки зрения большинства современных инженерных приложений, тем более тогдашних (на всякий случай напомню, что в некоторых современных артиллерийских расчётах указанное число $\pi$ принимают равным 3.0 в России, 3.2 в Германии, и только шведы берут 3.15, что, видимо, и объясняет непобедимость шведской армии последние 200 лет).

Не факт, что число Пи, вообще понималось в современном смысле.
Поэтому, возможно, для Магницкого не было большой разницы в точности приближения.
Метод годился для бочек и ядер - и отлично.

[arseniiv]

Что вы понимаете под вообще понималось в современном смысле? Абсолютно непрозрачно.

[Ales]

Nilenbert в сообщении #571523 писал(а):

Русский перевод этой работы Гюйгенса есть в книге: Рудио Ф. О квадратуре, круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса составленной Ф.Рудио. В ней как раз описано как вычислять приближённые значения числа $\pi$.

Спасибо за хорошую ссылку.

Меня интересуют вопросы реконструкции старых математических методов.

Например, число Пи можно было вычислить со сколь угодно хорошей точностью через последовательность квадратных корней, если делить прямой угол на $2^n$.

Но почему ввели деление на 360 градусов и еще на минуты?
Ведь надо делить круг на 9 частей.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% ... 0%B8%D0%BA
А разделить угол на три части и на пять частей - проблема.

-- Ср май 16, 2012 22:58:11 --

arseniiv в сообщении #572064 писал(а):

Что вы понимаете под вообще понималось в современном смысле? Абсолютно непрозрачно.

Понимаю следующее:

Люди того времени думали по-другому и вкладывали другие смыслы.
Например, была пропорция - длина окружности к диаметру.
Эту пропорцию можно было записать через числа, например, 22:7 или 31415:10000.
Но не было никакого числа Пи. Числа были только натуральные.

[arseniiv]

У да, в семнадцатом веке чисел-дробей ещё не было.

[Ales]

arseniiv в сообщении #572082 писал(а):

У да, в семнадцатом веке чисел-дробей ещё не было.

Похоже, что дроби появились как раз в 17 веке.
(Десятичные дроби с разделителем только в 18 веке.)
У Магницкого дроби уже есть, называются "ломаные числа".
Но поскольку книга составлена по разным источникам,
то часть книги содержит математику, в которой ещё нет дробей.
То есть дроби - новое изобретение для того времени.

-- Ср май 16, 2012 23:13:24 --

Думаю, что учебник Магницкого не фальсификат, и действительно напечатан в 1706 году.

[arseniiv]

Боюсь, вы не умеете работать с источниками. В Древнем Египте уже использовались дроби, хоть и аликвотные только.

[Ales]

arseniiv в сообщении #572092 писал(а):

Боюсь, вы не умеете работать с источниками. В Древнем Египте уже использовались дроби, хоть и аликвотные только.

Сомневаюсь, что эти папирусы такие уж древние.
Скорее всего, они изготовлены в 19 или 20 веке.
Так что Ваше возражение не принимается.

[Свободный Художник]

Евгений Машеров в сообщении #571606 писал(а):

Да, и на всякий случай.
Николаус Меркатор и Герардус Меркатор это не один человек. И не родственники.
И даже не однофамильцы. Фамилия первого - Кауфманн, второго - Кремер. Но, хотя буквально фамилия первого означает "купец", а второго "мелочный торговец", оба они, латинизируя для солидности свои фамилии, взяли латинское слово, означавшее "скупщик".
Ну и Николаус Меркатор изобрёл не натуральные логарифмы, а слово "натуральные логарифмы", сами по себе они были известны. Кроме самого слова, он предложил ряд для их вычисления, взамен составления таблиц повторяющимся умножением, и вообще популяризовал концепцию.
Кстати, раз тут уже упоминают музыку - он изобрёл один из вариантов темперированного клавира, 53-тонную октаву, не нашедшую (если не считать экспериментов некоторых композиторов) практического применения из-за сложности.

Munin в сообщении #571651 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #571606 писал(а):

Кстати, раз тут уже упоминают музыку - он изобрёл один из вариантов темперированного клавира, 53-тонную октаву

Что-то число некруглое, не 48, не 54...

По ссылкам ниже лежит культовая книга Гуго Римана “Акустика с точки зрения музыкальной науки”.
(Пер. с нем. Н. Кашкина. М., типо-лит. К. Александрова, 1898)
Книга разрезана на две части. Часть 1:
http://www.px-pict.com/books/Riemann/acoustics_1.pdf
(с самого начала до 83 стр.)

Часть 2:
http://www.px-pict.com/books/Riemann/acoustics_2.pdf
(от стр. 84 до самого конца; оглавление всей книги находится в конце этого файла)
------------------------------------------------
В параграфе шестом приводятся сведения о 53-х ступенной темперации.
Параграф третий посвящен обоснованию использования логарифмов в музыкознании.

[arseniiv]

Ales в сообщении #572098 писал(а):

Скорее всего, они изготовлены в 19 или 20 веке.

Ладно, не буду спорить с idée fixe.

[Ales]

arseniiv в сообщении #572104 писал(а):

Ales в сообщении #572098 писал(а):

Скорее всего, они изготовлены в 19 или 20 веке.

Ладно, не буду спорить с idée fixe.

Согласен: абсолютно бессмысленно спорить.
Нужны общие основания.

Можно принять за основание древнеегипетскую математику, и тогда будет ясно, что дроби были известны задолго до 17 века.
А можно, например, считать, что до 1600 года дроби были неизвестны и поэтому все документы,
содержащие сведения о дробях созданы после 1600 года.

-- Ср май 16, 2012 23:47:17 --

К тому же этот спор совсем не по теме.

Тема: как люди придумали логарифмы, для чего использовали и как считали первые таблицы?

[venco]

Ales в сообщении #572107 писал(а):

Тема: как люди придумали логарифмы, для чего использовали и как считали первые таблицы?

Очевидно, нашли логарифмическую линейку в Розуэлле.
Соответственно, все документы, содержащие сведения о логарифмах, созданы после 1947 года. Всё остальное - подделка.

[Munin]

Ales в сообщении #572076 писал(а):

Но почему ввели деление на 360 градусов и еще на минуты?

См. 60-ричную систему Древнего Вавилона.

Кстати, тоже имеющую достаточно прозрачные корни. Угловой размер Солнца - 0,5 градуса, и оно за день (в равноденствие) делает по небу 360 "шагов" в свой поперечник (лат. gradus - "шаг"). Кроме того, в году 365 дней, а в лунном - 354, эти числа приближённо равны 360. И наконец, Юпитер и Сатурн повторяют свои положения на небе раз в 60 лет (отсюда и китайский 60-летний цикл).

[Евгений Машеров]

Фоменкоид, что ли?