Выражение синуса 10 градусов (sin pi/18)

[ShMaxG]

Можно ли выразить число

\[\sin 10^ \circ \]

в виде выражения с конечным числом арифметических действий и возведения в рациональную степень рациональных положительных чисел? Если да, то как.

[T-Mac]

Не очень понятно
Это значит числом

Добавлено спустя 1 минуту 39 секунд:

Можно через формулу тройного аргумента

[Brukvalub]

Начните с синуса 30 градусов и сведите задачу к отысканию корня кубического уравнения.

[ShMaxG]

Например:

\[\sin 18^ \circ = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4}\]

Да, получаю кубическое уравнение, у которого 3 действительных корня. По формуле Кардано там будет мнимая единица под кубическими корнями. Но ответ, я забыл сказать, нужно выразить так, чтобы в него не входили мнимые единицы - все числа - вещественные.

[T-Mac]

Уравнение имеет как минемум одно действительное решение

Добавлено спустя 4 минуты 3 секунды:

А точнее два и оба лежат левее и правее -1 и 1 !

[Brukvalub]

T-Mac писал(а):

Уравнение имеет одно действительное решение

Скажу честно - мне было лень это проверять... Но, если я поверю этому, то измышления:

ShMaxG писал(а):

По формуле Кардано там будет мнимая единица под кубическими корнями.

становятся необоснованными. Как-то (если мне не изменяет память) worm2 указывал, что в случае одного корня формула Кардано "забывает" выходить в комплексную плоскость и ведет себя в рамках приличий

[ShMaxG]

Получим уравнение

\[ 8t^3 - 6t + 1 = 0 \]

, которое имеет 3 действительных корня.

[Brukvalub]

Вот и верь после этого людям...T-Mac обманул меня, и продолжает обманывать...

T-Mac писал(а):

Уравнение имеет как минемум одно действительное решение

Добавлено спустя 4 минуты 3 секунды:

А точнее два и оба лежат левее и правее -1 и 1 !

[T-Mac]

Да глупость написал
Уравнение действительно имеет три корня, причем два из них точно не подходят, так как один меньше 0, а другой больше 1/2

[ИСН]

Господа, но ведь с самого начала очевидно, что если у нас есть кубическое уравнение на косинус (или там синус) трети угла, то оно обязано иметь три действительных корня, причём все - на отрезке $[-1,1]$.

[T-Mac]

Да это так

[tolstopuz]

ShMaxG писал(а):

Да, получаю кубическое уравнение, у которого 3 действительных корня. По формуле Кардано там будет мнимая единица под кубическими корнями. Но ответ, я забыл сказать, нужно выразить так, чтобы в него не входили мнимые единицы - все числа - вещественные.

Неприводимое кубическое уравнение с тремя действительными корнями не решается в вещественных радикалах.

[ShMaxG]

Так задача не в решении уравнения. Задача в нахождении синуса.

[Бодигрим]

Цитата:

Но ответ, я забыл сказать, нужно выразить так, чтобы в него не входили мнимые единицы - все числа - вещественные.

В формуле Кардано у вас все числа вполне себе действительные. Вас никто не просит находить квадратные корни. Ведь $(-1)^{1/2}$ - это возведение действительного числа в дробную степень. По-моему, вполне подходит под условия задачи.

[ShMaxG]

Ну вот, скажем, мы получили такое выражение числа. Нам нужно проверить, верно ли оно с помощью обычного, не научного, калькулятора. Вы не посчитаете

\[ \left( { - 1} \right)^{1/2} \]

при его помощи. Т.е. задача состоит в том, чтобы написать число в виде выражения с конечным числом арифметических действий, возведения в рациональную степень положительных чисел.