Как определяли логарифм и вычислили экспоненту

[Munin]

Дык.

[Евгений Машеров]

Ааа... Ну, если Древнего Египта не было, и вообще ничего не было, то спрашивать, как же, не зная дробей, тамошние жрецы хлеб крестьянам, мобилизованным на работы, делили, как-то неуместно получается.

[Munin]

Ну, вы будто не знаете, как хлеб делить. Одно зёрнышко одному крестьянину, другое другому, и далее по кругу. Остаток, когда зёрнышек не хватает на полный круг, можно просто не учитывать, а можно жрецу себе в рот ссыпать.

[Евгений Машеров]

Так хлеб-то - испечённый! В порядке смелой историко-математической гипотезы - аликвотные дроби у египтян как раз от деления поровну. Проверить, что все $\frac 1 2$, $\frac 1 3$ и $\frac 1 9$ доли хлеба равны между собой легче, чем доказать крестьянину, что положенная каждому из 18 работников доля от 17 хлебов равна $\frac {17} {18}$

[Munin]

Тут тоже рецепт известный: режем каждый из 17 хлебов на 18 частей...

Видел эту ситуацию, доведённую до абсурда. Четыре девочки собираются есть торт, делят его на четыре части. Подходит пятая девочка. Все части переделятся, чтобы делилось на пять. Подходит шестая девочка... :-) В конце концов, торт смололи в миксере.

[Евгений Машеров]

О! А вооружённый передовой рабовладельческой теорией жрец девять хлебов делит пополам (причём старым добрым способом - один делит, второй выбирает), ещё шесть на три (аналогично), и оставшиеся на 9 каждый. И никакого миксера. Только аликвотные дроби.

[Munin]

Что там с "аналогично"? У нас один хлеб, один нож и девять человек. Опишите процедуру :-)

[Евгений Машеров]

Даже две. Точная и приближённая.
Точная: резун мееедленно двигает нож над хлебом, пока не услышит от кого-то "мне!", отрезает по полученной позиции и двигает далее.
Приближённая: по жребию определяют порядок взятия ломтей, резун последний. Приближённая процедура не гарантирует, что никто не заявит, что кому-то досталось больше, но, по крайней мере, резун будет честно стараться резать поровну.

-- 17 май 2012, 14:58 --

Да, и на случай, если почтенный фоменкоид всё ещё здесь. Посмотрел я немного о меркаторовой проекции. Логарифм там появляется в аналитическом доказательстве того, что она равноугольная. Но чисто геометрическое доказательство тоже возможно (подозреваю, что если Меркатор такое доказывал - то именно геометрически).
А вот расчёт координаты точки на карте, зная её долготу и широту, сводится к вычислению тангенса. Который, тангенс, прекрасно табулирован, поскольку востребован в астрономии, навигации, военной инженерии и пр. А если нет таблиц - используют простой механический вычислитель. Шкала углов и линейка (у нас в артиллерии такой гордо назывался "прибор управления огнём", но, разумеется, Меркатор мог его как-то иначе звать).

[Ales]

Munin в сообщении #572143 писал(а):

Ales в сообщении #572076 писал(а):

Но почему ввели деление на 360 градусов и еще на минуты?

См. 60-ричную систему Древнего Вавилона.

Кстати, тоже имеющую достаточно прозрачные корни. Угловой размер Солнца - 0,5 градуса, и оно за день (в равноденствие) делает по небу 360 "шагов" в свой поперечник (лат. gradus - "шаг"). Кроме того, в году 365 дней, а в лунном - 354, эти числа приближённо равны 360. И наконец, Юпитер и Сатурн повторяют свои положения на небе раз в 60 лет (отсюда и китайский 60-летний цикл).

Разумное объяснение. Достаточно углового размера Солнца (и полной Луны).

Хотя не уверен, что было именно так.
Думаю, что причина в том, что $360 = 2 \cdot 2 \cdot2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 $- красивое и удобное число, дели как хочешь.
Также возможно, что сначала градусов было не 360, а $96 = 6 \cdot 16$.
Но это только гадания.


Остается вопрос: как вычислить синус 1-го градуса (из 360) через радикалы. Не уверен, что это возможно.

-- Чт май 17, 2012 22:04:25 --

Евгений Машеров в сообщении #572370 писал(а):

Посмотрел я немного о меркаторовой проекции. Логарифм там появляется в аналитическом доказательстве того, что она равноугольная. Но чисто геометрическое доказательство тоже возможно (подозреваю, что если Меркатор такое доказывал - то именно геометрически).
А вот расчёт координаты точки на карте, зная её долготу и широту, сводится к вычислению тангенса.

Можно ли немного подробнее.
Уверен, что одного тангенса недостаточно. Без логарифма не обойдешься.

-- Чт май 17, 2012 22:33:41 --

Логарифмы не выражаются через функции обратные тригонометрическим,
также как и экспонента не выражается через тригонометрические функции (хотя есть формула Эйлера).
Кубическое уравнение не всегда решается в радикалах (хотя есть формула Кардано),
поэтому нельзя выразить синус угла в 10 градусов через радикалы.
Вещественные функции - это ведь не комплексные.

[Munin]

Ales в сообщении #572588 писал(а):

Остается вопрос: как вычислить синус 1-го градуса (из 360) через радикалы. Не уверен, что это возможно.

Где-то придётся решить уравнение пятой степени (потому что у 360 есть множитель 5). Так что наверняка невозможно.

[Ales]

Munin в сообщении #572602 писал(а):

Ales в сообщении #572588 писал(а):

Остается вопрос: как вычислить синус 1-го градуса (из 360) через радикалы. Не уверен, что это возможно.

Где-то придётся решить уравнение пятой степени (потому что у 360 есть множитель 5). Так что наверняка невозможно.

Пятиконечную звезду можно построить циркулем и линейкой. Поделить круг на 5 частей - не проблема.
Проблема в разделении на 9 частей - не решается это уравнение. Даже в кубических радикалах.

Может быть, какой-нибудь математик что-нибудь посоветует.

[Joker_vD]

По-моему, я на этом форуме видел доказательство невыразимости $\sin1^\circ$ в радикалах, но не уверен...

(Оффтоп)

Ales в сообщении #572588 писал(а):

Уверен, что одного тангенса недостаточно. Без логарифма не обойдешься.

Не люблю я профессора Преображенского, но все-таки фразу про "советы космического масштаба и космической же глупости в присутствии двух людей с высшим образованием" он хорошую сказал. Вот вы уверены, и что? Некоторые до сих пор уверены, что можно круг квадрировать лишь с помощью циркуля и линейки.

[venco]

Синус трёх градусов можно выразить в радикалах:
http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_trig ... ed_polygon

[Munin]

Munin в сообщении #572602 писал(а):

Где-то придётся решить уравнение пятой степени (потому что у 360 есть множитель 5). Так что наверняка невозможно.

Вот и я высказал глупость :-) Скромно думаю, что не космическую.

[INGELRII]

Спросите Гаусса о невозможности выразить в радикалах $\sin 1^\circ$. Честное слово, как будто тут вообще есть о чем дискутировать. Поделить полный угол на $n$ равных частей можно лишь когда его разложение на простые множители имеет вид $n = 2^k p_1 p_2 ... p_m$, где $k$ - любое целое неотрицательное, и среди простых множителей нет двух одинаковых (то есть $p_1 < p_2 < ... < p_m$). Проверка факта, что число $360$ в таком виде не представляется, дается любому желающему в качестве простого домашнего задания