Группа вращений тетраэдра

[arseniiv]

Задана, всё та же композиция. Просто она может вывести из множества отражений.

[Unconnected]

А, вот в чём дело. Ну да. Два отражения могут превратиться в поворот.. но неужели (ради интереса) не могут стать отражением? А вот композиция поворотов останется поворотом. Интересно, с первого взгляда можно подумать, что отражения-повороты суть одно и тоже, а вон какие нюансы..

Итого, выяснили что отражения не подгруппа. Что-то мне кажется, что эта группа изоморфна $S_4$, т.е. вершины могут перетасоваться как угодно, и элементов выходит 16, где-то ещё один затерялся.

[apriv]

Unconnected в сообщении #571058 писал(а):

А, вот в чём дело. Ну да. Два отражения могут превратиться в поворот.. но неужели (ради интереса) не могут стать отражением? А вот композиция поворотов останется поворотом. Интересно, с первого взгляда можно подумать, что отражения-повороты суть одно и тоже, а вон какие нюансы..

Нельзя подумать: повороты сохраняют ориентацию, а отражения не очень. Ну и в школе проходят, что композиция двух осевых симметрий на плоскости является поворотом.

-- 15.05.2012, 02:08 --

Unconnected в сообщении #571058 писал(а):

Итого, выяснили что отражения не подгруппа. Что-то мне кажется, что эта группа изоморфна $S_4$, т.е. вершины могут перетасоваться как угодно, и элементов выходит 16, где-то ещё один затерялся.

Боже, почему 16? Мы же уже выяснили, что оно делится на 12. Так сколько же есть способов перетасовать 4 вершины как угодно?

[arseniiv]

Unconnected в сообщении #571058 писал(а):

Что-то мне кажется, что эта группа изоморфна $S_4$, т.е. вершины могут перетасоваться как угодно

Как это? А откуда тогда берутся стереоизомеры? (Не все.)

[Unconnected]

Цитата:

Боже, почему 16? Мы же уже выяснили, что оно делится на 12. Так сколько же есть способов перетасовать 4 вершины как угодно?

Ой, опечатка, $4!$, $24$ конечно. Наверное, надо ещё что-то сказать по поводу возможности перетасовать как угодно.. мол, можно перетащить вершину в любую другую, чтобы другие не двигались.

[apriv]

Unconnected в сообщении #571069 писал(а):

Наверное, надо ещё что-то сказать по поводу возможности перетасовать как угодно.. мол, можно перетащить вершину в любую другую, чтобы другие не двигались.

Это, очевидно, нельзя сделать: та вершина, в которую Вы перетащили заданную, никак не может остаться на месте.

[Unconnected]

Ну, я имел в виду поменять местами две, чтоб другие не двигались, вот. Это можно сделать (по-моему даже просто отражениями, без поворотов).

[apriv]

Unconnected в сообщении #571074 писал(а):

Ну, я имел в виду поменять местами две, чтоб другие не двигались, вот. Это можно сделать (по-моему даже просто отражениями, без поворотов).

Можно, конечно, но из этого пока не очень-то следует, что группа совпадает с $S_4$.

[arseniiv]

Можно? Только с отражениями.

А, речь ещё обо всей группе симметрий?

[apriv]

arseniiv в сообщении #571076 писал(а):

Можно? Только с отражениями.

Поменять местами ровно две вершины, конечно, можно одним отражением, в чем вопрос?

[arseniiv]

(Уже поправил предыдущее.) Думал, отражения нельзя использовать.

[Unconnected]

Ну, если перенумеровать вершины тетраэдра, и сделать отображение в симметрическую группу (номер вершины в соответствующую позицию, обходить всегда в одном порядке), то равенство для гомоморфизма вроде должно выполняться, и биективность. Только как формально показать, не знаю.

[apriv]

Unconnected в сообщении #571087 писал(а):

Ну, если перенумеровать вершины тетраэдра, и сделать отображение в симметрическую группу (номер вершины в соответствующую позицию, обходить всегда в одном порядке), то равенство для гомоморфизма вроде должно выполняться, и биективность. Только как формально показать, не знаю.

Пока что Вы показали, что любая перестановка из $S_4$ реализуется как симметрия тетраэдра. Осталось доказать, что для любой перестановки (на самом деле, достаточно для какой-то одной) такая симметрия ровно одна.

[arseniiv]

Не легче ли применить теорему Кэли?

[Unconnected]

Цитата:

Пока что Вы показали, что любая перестановка из $S_4$ реализуется как симметрия тетраэдра. Осталось доказать, что для любой перестановки (на самом деле, достаточно для какой-то одной) такая симметрия ровно одна.

Вот с этим проблема.. Ну можно конечно показать, что для нейтральной подстановки только одна симметрия, попробовав все другие. А почему этого достаточно (если только для одной показать)?