Группа вращений тетраэдра

[Unconnected]

3 симметрии? Маловато, конечно(

[ИСН]

Как их может быть меньше 12, если к ним относятся вращения, которых 12?

[Unconnected]

Значит, 15! Да?

[ИСН]

Вы слышали когда-нибудь о подгруппах?

[Unconnected]

Да. Подозреваю, что вращения и отражения - две подгруппы группы симметрий.

[apriv]

Unconnected в сообщении #570981 писал(а):

Да. Подозреваю, что вращения и отражения - две подгруппы группы симметрий.

Подозреваю, что отражения не могут образовывать подгруппу ни при каком раскладе.

[ИСН]

2 Unconnected:
Советую Вам говорить короткими фразами, потому что длинные порождают ненужные разветвления разговора, которые хотя и полезны в общем плане, но отодвигают решение конкретного вопроса в асимптотическую даль.
1. Что известно про порядок группы и порядок подгруппы? Какая между ними связь?
2. Что такое подгруппа? Можно ли сформулировать какой-то чеклист свойств: раз, два, три, все выполняются - значит, подгруппа? А сформулировав, можно ли приложить его к...

-- Пн, 2012-05-14, 23:21 --

Передумал, отменяю совет, спрашивайте что угодно. Может, до конца не доедем, зато приятно проведём время.

[Unconnected]

$|G|=|H| \cdot |G:H|$ , где $H$ - подгруппа $G$, а $[G:H]$ это количество классов смежности, теорема Лагранжа.
А подгруппа это подмножество множества группы, где задана бинарная операция, есть ассоциативность, обратный и нейтральный для каждого элемента. Кстати, я кажется понял, почему отражения не подгруппа - ассоциативности нету! А я думал, есть.
Таак, тогда наверное Лагранжем посчитать и попробую..

[ИСН]

1. Вот то-то. Что мы можем сказать про числа 12 и 15 (в качестве порядков подгруппы и группы, соответственно)?
2. Как это нету ассоциативности???

[Unconnected]

1. Надо 12 умножить на что-то, чтоб стало 15, но так же не бывает.. значит, не 15.
2. Ну если например пронумеровать вершины основания, и применить два отражения в разном порядке, то в итоге вершины будут по разному пронумерованы.. (надеюсь, сейчас не окажется, что всё едино и ничего нумеровать не надо )

[ИСН]

1. Ага, к этому я и вёл.
2. Ну да, так, а при чём тут ассоциативность? Вы её с коммутативностью не путаете случайно?

[Unconnected]

2. Тьфу, всё, ассоциативность появилась. Вообще обычно не путаю, это сегодня что-то нашло.) И что, теперь считать смежные классы?

[ИСН]

Нет, проверять аксиомы группы. Образуют ли вращения подгруппу? Образуют ли её отражения?

[Unconnected]

Вращения образуют. Отражения: ассоциативность есть, нейтральный есть (всё остается на месте), обратный вроде тоже есть. Но выше говорили, что это не подгруппа(

[apriv]

Unconnected в сообщении #571015 писал(а):

Вращения образуют. Отражения: ассоциативность есть, нейтральный есть (всё остается на месте), обратный вроде тоже есть. Но выше говорили, что это не подгруппа(

Ассоциативность чего, а? Какая операция на отражениях задана?