По сути, требуется доказать (вопрос вне нашей темы: а что такое доказательство?), что длину окружности и площадь окружности невозможно определить без интеграла.
Уважаемый
Ales, мне сдается, Вы ломитесь в открытую дверь. Принцип измерения криволинейных фигур прямолинейным масштабом (не метром, конечно, а более мелкой единицей длины) грекам был интуитивно понятен, а это, в сущности, и есть интегральный метод в его содержательном контексте, потому что величина криволинейной фигуры (в частности, окружности)- переменная величина, стремящаяся при дроблении единицы измерения к пределу.
Вот, например, что писал Аристотель о "кривизне" и "прямизне": "... чувственно воспринимаемые линии не таковы, как те, о которых говорит геометр, ибо нет такого чувственно воспринимаемого, что было бы прямым или круглым именно таким образом; ведь окружность соприкасается с линейкой не в одной точке, а так, как указывает Протагор: на некотором отрезке" (Мет. III 2, 998a)
Речь здесь, как видно, идет об относительности понятия "прямая", а если обратиться к Архимеду, то его определение отрезка прямой как "кратчайшей линии" между двумя точками сразу наводит на мысль о том, что абсолютная прямая - это абстракция. Сделать же эту абстракцию интуитивно ясной как раз и помогает замечательный предел, т. е "в малом" все кривые сходятся к некоему общему для всех кривых интенсионалу. В анализе - это бесконечно малая.
И не путайте две РАЗЛИЧНЫЕ вещи.
1. длина кривой ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ как предел. Никаких интегралов.
2. длина кривой МОЖЕТ ВЫЧИСЛЯТЬСЯ с помощью интеграла, но не обязательно. В каких-то случаях может вычисляться и без помощи интеграла.
Здесь я полностью с Вами согласен.