Замечательный предел и нечестное доказательство

[ewert]

Ales в сообщении #567727 писал(а):

Хотя вполне возможно дать строгое доказательство.

Невозможно, поскольку в школе (стандартной) не дают строгой теории вещественных чисел, и никогда (строгой) так и не смогут дать.

Ales в сообщении #567727 писал(а):

кажется, из замечательного предела выводят дифференцируемость тригонометрических функций.
А это свойство используется в теории рядов Фурье.

Ага, и ещё в теории выпекания булочек.

[Ales]

ewert в сообщении #567733 писал(а):

Невозможно, поскольку в школе (стандартной) не дают строгой теории вещественных чисел, и никогда (строгой) так и не смогут дать.

Но его можно дать в 1-ом семестре, или хотя бы на семинарах в качестве серии задач.

[shwedka]

Ales в сообщении #567727 писал(а):

Я вкладывал в понятие "интеграл", немного другой смысл.

Замечательно! Вкладываете в понятие 'интеграл' другой смысл, неизвестно какой, никем не признанный и Вами не сформулированный.
И на основании этой туфты обвиняете тяжко трудящееся и тяжко недооплачиваемое сословие профессоров математики в обмане народных студенческих масс.

[Ales]

shwedka в сообщении #567765 писал(а):

Ales в сообщении #567727 писал(а):

Я вкладывал в понятие "интеграл", немного другой смысл.

Замечательно! Вкладываете в понятие 'интеграл' другой смысл, неизвестно какой, никем не признанный и Вами не сформулированный.
И на основании этой туфты обвиняете тяжко трудящееся и тяжко недооплачиваемое сословие профессоров математики в обмане народных студенческих масс.

Почему же. Я никого не обвиняю.
Понятное дело: нельзя серьезно говорить, что профессора де обманывают студентов.

Но проблема всё таки имеется. Почему бы её не устранить?

[Integrall]

Ales в сообщении #567793 писал(а):

Но проблема всё таки имеется. Почему бы её не устранить?

Вы только не обижайтесь, вы напомнили мне молодого бурбакиста, готового перестроить математику на новый лад. Есть что-то общее между вами и молодым Александром Гротендиком. Я когда-то давно перечитывал его "Урожаи и посевы". Он тоже в юности был "горяч и необуздан", доставал учителей своими "идеями" и ваша проблема его тоже посещала но в более общей формулировке. Он достал бедного Лебега так, что тот старался лишний раз не попадаться ему на глаза. Обвинял учителей в нестрогости, обмане и прочее, и прочая. Чего стоит его уничижающий термин "математический истеблишмент". Когда же он сам стал преподавать, то акценты сменились на аудиторию студентов, не понимающих, не заслуживающих биссера его "гениальных" методологических идей.

Не дают покоя чужие лавры? Хочется встать на эти грабли самому?

[Integrall]

Ales в сообщении #567358 писал(а):

Через интеграл ведь гораздо легче ввести длину и все доказать, нежели возиться с пределами и придумывать разные специальные конструкции для одной лишь окружности.

Шутки, которые шутят физики:
Только неграмотный человек на вопрос "Как найти площадь Ленина?" отвечает
"длину умножить на ширину..." А грамотный знает, что надо взять интеграл по
поверхности!

[Ales]

Integrall в сообщении #567821 писал(а):

Вы только не обижайтесь, вы напомнили мне молодого бурбакиста, готового перестроить математику на новый лад. Есть что-то общее между вами и молодым Александром Гротендиком.

Это скорее комплимент. Чего уж тут обижаться.

Перестроить математику - хорошая идея.
Но наверное, лучше не перестроить, а дополнить разными парадигмами.
Чем больше школ и подходов, тем интереснее.

Математика как искусство: готика не запрещает греческий стиль.

[dmd]

Ales в сообщении #567952 писал(а):

Перестроить математику - хорошая идея.
Но наверное, лучше не перестроить, а дополнить разными парадигмами.
Чем больше школ и подходов, тем интереснее.

Полностью алгебраический подход, абсолютно без пределов и интегралов, может иметь право на существование. Хотя бы потому, что алгебраическое описание - оно нутром ощущаемо, а предельное описание при помощи линеаризаций и спрямлений - увы, абсолютно не воспринимаемо. Школьникам станет гораздо легче понимать основы анализа, количество понявших "нутром" увеличится на порядок, уверен в этом. Предел рубит под корень математическое восприятие школьника. Там, где должна была начаться динамика детского математического внимания, адекватно отслеживающего динамику Вселенной, вводится предел и на этом заканчивается математическое образование для большинства детей. В итоге с математикой остаются только те, кому легко даётся операторное мышление, ментальное перекладывание из пустого в порожнее. Но такие дети не нужны математике, ибо математическое восприятие у них на нуле.

[Integrall]

dmd в сообщении #567991 писал(а):

Полностью алгебраический подход, абсолютно без пределов и интегралов, может иметь право на существование.

Вашими бы устами мед пить. А как же практическая деятельность? Как без производной и предельного перехода построить, к примеру, касательную к заданной кривой? Как обьяснить мгновенную скорость, как учить механике?

-- 06.05.2012, 16:17 --

Ales в сообщении #567952 писал(а):

Но наверное, лучше не перестроить, а дополнить разными парадигмами.

начните как всегда с малого, а сначала помогите наивному школьному доказательству стать "строгим", располагая лишь самым минимумом. Пусть нам известно:
- полнота дествительных чисел,
- понятие предельного перехода,
- понятие точной нижней и верхней граней,
- теорема о зажатой монотонной последовательности.

Показать, что окружность спрямляема и поэтому
(а) имеет конечную длинну,
(б) вычисленная длинна не зависит от сходящ. метода (выбора хорд) и, поэтому может быть найдена через предел периметров вписанных правильных n-угольников.

Хорошая задача для общего развития.

[dmd]

Integrall в сообщении #568002 писал(а):

А как же практическая деятельность? Как без производной и предельного перехода построить, к примеру, касательную к заданной кривой? Как обьяснить мгновенную скорость, как учить механике?

Так на практику алгебраический подход и ориентирован в первую очередь. Когда я говорил "интуитивно ощущаемо", то имел ввиду в первую очередь самостоятельную практическую интерпретацию почти без подсказки учителя. В случае с предельным переходом нужно сто раз объяснить, и лишь в одном случае из ста до кого-то дойдёт смысл, да и то наиболее вероятно это будет операторный "доход", ребёнок просто выучивается пользоваться операторами, так и не включивши понимания. В алгебраическом анализе все необходимые элементы будут присутствовать: производные и первообразные функции, их мгновенные состояния и прозрачные геометрические интерпретации. Не будет только предела и соответственно операторов предельного перехода - дифференциала и интеграла, ибо всё без них должно быть прозрачно понятно.

[Ales]

Integrall в сообщении #568002 писал(а):

Хорошая задача для общего развития.

Я уже здесь написал как надо:
"Определить длину окружности специальным образом через предел периметра вписанных $2^n $-угольников. А площадь круга - предел площади $2^n $-угольников.
Доказать что эти пределы существуют и связаны $S = \frac {RL} 2$.
Показать, что можно то же самое сделать для вписанных правильных n-угольников и для неправильных многоугольников с условием, что длина каждой стороны стремится к нулю.
Ввести число $\pi$.
Ввести синус, как функцию от длины дуги.
Потом из определения длины получить первый замечательный предел."

[Integrall]

dmd в сообщении #568047 писал(а):

Так на практику алгебраический подход и ориентирован в первую очередь.

хорошо, тогда постройте касательную алгебраическими методами, например, к эллипсу $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ в точке $(x_0, y_0)$.

-- 06.05.2012, 18:22 --

Ales в сообщении #568055 писал(а):

"Определить длину окружности специальным образом через предел периметра вписанных -угольников.

это как не надо делать. Подумайте где ваше заблуждение.

[Ales]

dmd в сообщении #567991 писал(а):

Полностью алгебраический подход

У меня такая идея: отказаться от понятия действительное число, функция, производная, предел, ряд.
Моя математика взамен предлагает величины, дифференциалы величин, приближение, хорошо приближающий многочлен.

Кстати, любое обыкновенное дифференциальное уравнение (система), доступное математикам, сводится к системе вида $dx_i = P_i^n(x)dt$, где $P_i^n(x) $ - многочлены степени $n$ от нескольких переменных $x_1,...$.
Так что нет особого смысла развивать теорию функций, если надо решать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

К сожалению, уравнения с частными производными - гораздо более сложный объект.
Поэтому теория функций и современный анализ возникли при изучении уравнения колебания струны.

-- Вс май 06, 2012 19:39:45 --

Integrall в сообщении #568056 писал(а):

это как не надо делать. Подумайте где ваше заблуждение.

Не вижу заблуждений. Может быть это Вы заблуждаетесь?
Как раз так и надо определять: всегда можно разделить окружность на $2^n$ равных частей циркулем и линейкой.

[g______d]

Integrall в сообщении #568056 писал(а):

хорошо, тогда постройте касательную алгебраическими методами, например, к эллипсу $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ в точке $(x_0, y_0)$.

Это как раз можно,

http://en.wikipedia.org/wiki/Zariski_tangent_space

[Ales]

Кстати операция взятия дифференциала не такая уж сложная.

По сути анализ добавляет к алгебре всего две операции: взятие дифференциала и интеграл.

Кроме операций сложения: $x+y$, умножения $x \cdot y$, появляется $dx$ и $\int ydx$.
И правила простые: $d(x+y)=dx+dy, d(xy) = (x+dx)(y+dy)-xy = xdy+ydx$, $\int dx = x + const$.