Замечательный предел и нечестное доказательство

[Ales]

shwedka в сообщении #567072 писал(а):

Для ограниченного сверху множества -- конечное число. Для неограниченного сверху множества -- принимается за (плюс) бесконечность. По определению.

Плюс бесконечность - это значит, что нет верхней грани и соответственно длины.

Понятия спрямляемость и длина кривой - это только логические заготовки,
пока нет критерия спрямляемости и пока не исследовано какие кривые спрямляемы, в них нет содержания.

Integrall в сообщении #567214 писал(а):

Было бы здорово увидеть ваше доказательство для произвольной непрерывной кривой.

А разве такое доказательство не является заведомо неверным. В чем же тогда интерес?

-- Пт май 04, 2012 22:14:16 --

Integrall в сообщении #567214 писал(а):

огород городить из производных и интегралов

А что, разве интеграл такой сложный инструмент?
Не сложнее, наверное, непрерывной, но не дифференцируемой функции?

-- Пт май 04, 2012 22:17:20 --

Через интеграл ведь гораздо легче ввести длину и все доказать, нежели возиться с пределами и придумывать разные специальные конструкции для одной лишь окружности.
Хотя для студентов 1-го курса такие упражнения полезны.

[g______d]

Ales в сообщении #567358 писал(а):

Не сложнее, наверное, непрерывной, но не дифференцируемой функции?

Длина кривой естественно определена в произвольном метрическом пространстве. Откуда там дифференцируемость брать?

[ewert]

Ales в сообщении #567358 писал(а):

Через интеграл ведь гораздо легче ввести длину и все доказать, нежели

Вводите интеграл в первом классе -- и доказывайте через него таблицу умножения.

Только сперва на минутку гляньте, как тема называется.

[g______d]

Ales в сообщении #567358 писал(а):

Через интеграл ведь гораздо легче ввести длину и все доказать, нежели возиться с пределами и придумывать разные специальные конструкции для одной лишь окружности.

Угу, только хорошо бы еще дифференциальные формы знать к тому моменту.

Кроме того, как бонус, вопрос: как доказывать инвариантность относительно перепараметризации? Обязательно ли две разные гладкие параметризации гладко эквивалентны? Например, две кусочно гладкие уж точно вряд ли. В некоторых ситуациях полезно знать, что есть определение, инвариантное относительно всех непрерывных перепараметризаций.

[shwedka]

Ales в сообщении #567358 писал(а):

Плюс бесконечность - это значит, что нет верхней грани и соответственно длины.

не значит.

Ales в сообщении #567358 писал(а):

Понятия спрямляемость и длина кривой - это только логические заготовки,
пока нет критерия спрямляемости и пока не исследовано какие кривые спрямляемы, в них нет содержания.

Не нравится - не ешьте. Но математика так работает всегда. Определяются понятия. Потом, иногда очень трудно и долго, находятся проверяемые критерии удовлетворения этим определениям.

Ales в сообщении #567358 писал(а):

Через интеграл ведь гораздо легче ввести длину и все доказать

Вы как-то снизили штиль. Начиналось с Вашего утверждения, что без интеграла ввести длину невозможно.
Как-то не удалось дождаться Вашего доказательства этого Вашего утверждения. Теперь, оказывается, -- всего лишь вопрос Вашего персонального удобства.

А про 'все доказать' - Вы пока что ни одного доказательства предъявить не смогли.

Ales в сообщении #567358 писал(а):

придумывать разные специальные конструкции для одной лишь окружности.

Это Вы сочиняете. Какая такая конструкция придумана для одной окружности?

Вы уже задолжали много доказательств. Может, хоть что-нибудь докажете? А то трепа от Вас много.

[ewert]

g______d в сообщении #567365 писал(а):

В некоторых ситуациях полезно знать, что есть определение, инвариантное относительно всех непрерывных перепараметризаций.

Но только не в этой. В этой конкретно -- параметризации вообще праздны, не говоря уж о том, что невозможны.

-- Пт май 04, 2012 23:55:49 --

shwedka в сообщении #567368 писал(а):

Какая такая конструкция придумана для одной окружности?

Стандартная. Основанная в идейном отношении, конечно, на супремумах-инфимумах, но использующая при этом специфику именно окружности. И позволяющая тем самым минимизировать малоуместные (хоть и неизбежные) на школьный момент абстракции.

[shwedka]

ewert в сообщении #567369 писал(а):

на школьный момент

Конечно, это так, для школьников. А чуть они повзрослеют, нам, профессорам, приходится насаждать среди них амнезию, чтобы они забыли услышанное в школе.

[ewert]

shwedka в сообщении #567377 писал(а):

А чуть они повзрослеют, нам, профессорам, приходится насаждать среди них амнезию, чтобы они забыли услышанное в школе.

А вот не надо этого. При грамотном преподавании в школе (не строгом, а именно грамотном -- строгость там просто объективно невозможна) всё, что требуется на следующем этапе -- это лишь согласовать уже имеющиеся у них на этот момент вполне разумные, пусть и формально не отточенные соображения с дальнейшей формальной схемой.

[shwedka]

ewert в сообщении #567380 писал(а):

При грамотном преподавании в школе

А Вы с таким встречались? В Швеции это исключено.

[ewert]

shwedka в сообщении #567382 писал(а):

В Швеции это исключено.

В Швеции -- не знаю. В России -- вполне возможно. Во всяком случае, достаточно типично, когда ребёнок надрессирован на понятие вещественного числа, пусть и не знает в точности, что это такое (а последнее, напомню, в школе и невозможно). Это уже позволяет ему формально с ними манипулировать, и даже инстинктивно ощущать, чем вещественные числа отличаются от рациональных. Осознание же формальностей -- этап следующий; возможный лишь после накопления опыта его общения с пусть условно, но практическими задачами.

[shwedka]

ewert в сообщении #567387 писал(а):

shwedka в сообщении #567382 писал(а):

В Швеции это исключено.

В Швеции -- не знаю. В России -- вполне возможно. Во всяком случае, достаточно типично, когда ребёнок надрессирован на понятие вещественного числа, пусть и не знает в точности, что это такое (а последнее, напомню, в школе и невозможно). Это уже позволяет ему формально с ними манипулировать, и даже инстинктивно ощущать, чем вещественные числа отличаются от рациональных. Осознание же формальностей -- этап следующий; возможный лишь после накопления опыта его общения с пусть условно, но практическими задачами.

Идеалист Вы, коллега!

[g______d]

ewert в сообщении #567380 писал(а):

А вот не надо этого. При грамотном преподавании в школе (не строгом, а именно грамотном -- строгость там просто объективно невозможна) всё, что требуется на следующем этапе -- это лишь согласовать уже имеющиеся у них на этот момент вполне разумные, пусть и формально не отточенные соображения с дальнейшей формальной схемой.

В России в физматшколе более чем возможно сделать все это строго. Знаю несколько школ, в которых дается несколько строгих определений вещественных чисел и доказывается их эквивалентность.

И, в общем, ребенку с серьезной склонностью к математике и живущему в большом городе довольно сложно в такую школу не попасть.

[Integrall]

g______d в сообщении #567407 писал(а):

И, в общем, ребенку с серьезной склонностью к математике и живущему в большом городе довольно сложно в такую школу не попасть.

Беда вся в том, что чем больше город, чем меньше вероятность нахождения в нем ребенка с серьезной склонностью к математике. (Тоже самое можно утверждать про либерально-демократические страны). А.Н.Колмагоров в своё время добился открытия школы-интерната для таких детей из провинции. Сейчас этот опыт переняли китайцы. Поэтому они последнее время занимают первые места на международных школьных олимпиадах.

[g______d]

Integrall в сообщении #567438 писал(а):

Беда вся в том, что чем больше город, чем меньше вероятность нахождения в нем ребенка с серьезной склонностью к математике.

(Оффтоп)

Вероятность маленькая, но мат. ожидание при этом довольно ощутимое. Кроме того, отправлять ребенка в другой город не каждый может себе позволить (а потом же еще университет).

[Ales]

shwedka в сообщении #567368 писал(а):

Я вкладывал в понятие "интеграл", немного другой смысл.
Если придерживаться Вашего понимания термина "интеграл", то мое утверждение ложно.
Но с моей точки зрения оно истинно.
Но моя точка зрения отличается от общепринятой, которая скорее совпадает с Вашей.


В любом случае главное в теме то, что первый замечательный предел вводят не совсем строго.
Хотя вполне возможно дать строгое доказательство.

Кроме того, кажется, из замечательного предела выводят дифференцируемость тригонометрических функций.
А это свойство используется в теории рядов Фурье.