Что такое касательная?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #562576 писал(а):

Вроде логично считать прямую $x = 0$ касательной к графику этой функции в точке $(0,0)$. Однако производная по $x$ в этой точке не существует!

Перепишите кривую в виде $x=y^2\mathrm{sign}(y)$ -- и будет щастье.

Профессор Снэйп в сообщении #562576 писал(а):

но ведь Вы определяете касательную как предел семейства прямых!

Нет.

-- Вс апр 22, 2012 11:40:00 --

VAL в сообщении #562572 писал(а):

Похоже, Вам, и в самом деле, захотелось пофлеймить.

Профессор Снэйп в сообщении #562551 писал(а):

Между тем мне, особенно на выходных, необходимо, чтоб на форуме с утра были новые интересные материалы объёмом примерно на одну бутылку пива.

Ну а когда нет -- приходится создавать.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #562579 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #562576 писал(а):

но ведь Вы определяете касательную как предел семейства прямых!

Нет.

Это я не Вам писал, а VAL.

-- Вс апр 22, 2012 13:48:24 --

ewert в сообщении #562579 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #562576 писал(а):

Вроде логично считать прямую $x = 0$ касательной к графику этой функции в точке $(0,0)$. Однако производная по $x$ в этой точке не существует!

Перепишите кривую в виде $x=y^2\mathrm{sign}(y)$ -- и будет щастье.

Какая разница?

Давайте поставим вопрос ребром. Пусть $C \subseteq \mathbb{R}^n$ - некоторое множество, являющееся "кривой" (что это в точности значит, определить, конечно, проблематично). И пусть $r_0 \in C$. Пусть теперь $l$ - прямая в $\mathbb{R}^n$, содержащая $r_0$. Что означает фраза "$l$ является касательной к $C$ в точке $r_0$"?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #562583 писал(а):

Это я не Вам писал, а VAL.

Напрасно -- он ведь Вам непосредственно на это заранее и ответил:

VAL в сообщении #562575 писал(а):

А чем Вам не хватает метрики на множестве точек?

-- Вс апр 22, 2012 11:50:11 --

Профессор Снэйп в сообщении #562583 писал(а):

некоторое множество, являющееся "кривой" (что это в точности значит, определить, конечно, проблематично).

Тогда всё очевидно: нет объекта -- нет к нему и касательной.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #562585 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #562583 писал(а):

Это я не Вам писал, а VAL.

Напрасно -- он ведь Вам непосредственно на это заранее и ответил:

VAL в сообщении #562575 писал(а):

А чем Вам не хватает метрики на множестве точек?

-- Вс апр 22, 2012 11:50:11 --

Профессор Снэйп в сообщении #562583 писал(а):

некоторое множество, являющееся "кривой" (что это в точности значит, определить, конечно, проблематично).

Тогда всё очевидно: нет объекта -- нет к нему и касательной.

А я ему ответил, что не понимаю, при чём здесь метрика на множестве точек. И попросил расшифровать широко распространённую фразу "касательная есть предел секущей".

Если уважаемые спорщики обратят внимание на то, в каком разделе я завёл тему, то этот раздел называется "Вопросы преподавания". Я не спорю с тем, что понятие касательной для современной математики неактуально. Но, тем не менее, в старших классах средней школы и на младших курсах университетов про эти самые касательные говорят много и даже решают задачи на их нахождение. Вот и захотелось определиться, что это, собственно, такое.

(Оффтоп)

Когда-то (довольно давно) мне пришлось преподавать математику в ФМШ. Я тогда, в силу своей молодости, принялся проводить последовательно бурбакистский подход и начал спотыкаться об определения некоторых элементарных вещей. Таких как "треугольник" или "касательная"...

[VAL]

ewert в сообщении #562570 писал(а):

VAL в сообщении #562568 писал(а):

Прямая $a$ является касательной к $s$ в точке $M_0$, если предел отношения расстояния от точки $M$ до прямой $a$ к $|MM_0|$ существует и равен $0$ при стремлении $|MM_0|$ к $0$ (независимо от способа устремления точки $M$ к $M_0$).

Можно, но лучше идейнее: касательная -- это которая описывается уравнением $\vec r(t)=\vec f(t_0)+\vec f'(t_0)\cdot(t-t_0)$.

А чем это идейнее? На мой взгляд, у меня идейнее Поскольку дифференцируемость в $t_0$ в явном виде не предполагается.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #562588 писал(а):

А я ему ответил, что не понимаю, при чём здесь метрика на множестве точек.

А Вы перечитайте определение VAL ещё раз -- у него решительно никаких семейств прямых нет, а есть вот именно лишь "метрика на множестве точек".

Профессор Снэйп в сообщении #562588 писал(а):

Но, тем не менее, в старших классах средней школы и на младших курсах университетов про эти самые касательные говорят много и даже решают задачи на их нахождение. Вот и захотелось определиться, что это, собственно, такое.

Определение касательной как предельного положения секущей в точности эквивалентно определению производной.

-- Вс апр 22, 2012 12:10:36 --

(Оффтоп)

VAL в сообщении #562592 писал(а):

А чем это идейнее?

Тем, что менее блохоловисто (или ловлеблохисто -- не знаю, как правильнее).

[VAL]

Профессор Снэйп в сообщении #562576 писал(а):

VAL в сообщении #562575 писал(а):

А чем Вам не хватает метрики на множестве точек?

Пардон, но ведь Вы определяете касательную как предел семейства прямых! Если я не прав, то расшифруйте мне точный смысл фразы "предельное положение секущей".

А где Вы видели у меня эту фразу? Разумеется, не в "альтернативных определениях", специально подогнанных под нужный ответ.

[Профессор Снэйп]

VAL в сообщении #562596 писал(а):

А где Вы видели у меня эту фразу? Разумеется, не в "альтернативных определениях", специально подогнанных под нужный ответ.

Так я вроде написал, что по поводу Вашего "основного" определения пока подводных камней не вижу, но буду их искать.

[epros]

По-моему, тема исчерпала себя, как только было сказано про предельный случай секущих. Если нужно что-то расшифровать, то это нетрудно сделать: «Секущая» - это прямая, пересекающая кривую в двух точках. «Предельный случай» означает, что существует последовательность секущих, предел расстояния между точками сечения для которых равен нулю. Как видите, никаких метрик на множестве прямых не вводится, используются только расстояния между точками.

Хорошо это определение также тем, что не требует гладкости от кривой в точке касания.

[ewert]

epros в сообщении #562607 писал(а):

«Предельный случай» означает, что существует последовательность секущих, предел расстояния между точками сечения для которых равен нулю.

Нет. Во-первых, не последовательность. Во-вторых, при чём тут "расстояния между точками сечения".

[epros]

ewert в сообщении #562609 писал(а):

Нет. Во-первых, не последовательность. Во-вторых, при чём тут "расстояния между точками сечения".

Во-первых, почему бы и не последовательность? Во-вторых, расстояния между точками сечения - это всего лишь способ убедиться в том, что последовательность «правильная». Остаётся ещё интересный схоластический вопрос о том, соответствует ли последовательность некой конкретной прямой, кою можно считать её «предельным случаем». Но, как я понимаю, он так или иначе разрешим.

[ewert]

epros в сообщении #562616 писал(а):

Во-первых, почему бы и не последовательность?

Потому, что тогда, например, у $x\,\sin x$ в нуле окажется касательная.

epros в сообщении #562616 писал(а):

Во-вторых, расстояния между точками сечения - это всего лишь способ убедиться в том, что последовательность «правильная».

Пусть, пусть она "правильная". Но при чём тут касательность?...

[epros]

ewert в сообщении #562621 писал(а):

epros в сообщении #562616 писал(а):

Во-первых, почему бы и не последовательность?

Потому, что тогда, например, у $x\,\sin x$ в нуле окажется касательная.

А разве не может оказаться? Или может Вы хотели сказать про $\frac{\sin(x)}{x}$, имея в виду, что функция в этой точке не определена? В последнем, кстати, я тоже не вижу проблемы.

ewert в сообщении #562621 писал(а):

epros в сообщении #562616 писал(а):

Во-вторых, расстояния между точками сечения - это всего лишь способ убедиться в том, что последовательность «правильная».

Пусть, пусть она "правильная". Но при чём тут касательность?...

А разве ни при чём? По-моему, выбрав достаточно малое $\varepsilon$, можно спокойно считать, что любая секущая с меньшим расстоянием между точками сечения «достаточно похожа» на одну из «касательных».

[ewert]

epros в сообщении #562633 писал(а):

А разве не может оказаться?

Я не очень удачно выразился: у этой функции в нуле было бы бесконечно много касательных. Собственно, любая прямая с наклоном, не превосходящим единицы, была бы касательной.

epros в сообщении #562633 писал(а):

любая секущая с меньшим расстоянием между точками сечения «достаточно похожа» на одну из «касательных».

Чем похожа?... Разве что тем, что тоже прямая. Вы ведь про наклоны ни слова даже не намекнули.

[Padawan]

На множестве прямых легко вводится метрика -- угол между прямыми.