Что такое касательная?

[Профессор Снэйп]

Возник такой методический вопрос: считать ли прямую $y = 0$ касательной к графику функции $y = | x |$ в точке $(0,0)$.

[Александрович]

Вроде бы у этой функции целая куча касательных в заданной точке. $y=0$ принадлежит этой куче. Мой вердикт - считать!

[VAL]

Профессор Снэйп в сообщении #562554 писал(а):

Возник такой методический вопрос: считать ли прямую $y = 0$ касательной к графику функции $y = | x |$ в точке $(0,0)$.

Разумеется, все зависит от того, как определять касательную.

При наиболее "адекватных" определениях никакого касания, конечно, не будет (отношение расстояния от текущей точки на $y = | x |$ до оси абсцисс к расстоянию до начала координат не стремится к нулю при приближении текущей точки к началу координат).

А если нужно (в методических целях ) чтобы было, дать подходящее определение - не проблема.

[Профессор Снэйп]

Александрович в сообщении #562555 писал(а):

Мой вердикт - считать!

А прямую $x = 0$, естественно, не считать При этом прямую $y = 0$, безусловно, следует считать касательной к графику функции $y = x^3$

Хотелось бы увидеть определение касательной. А то все о ней говорят, а определения как такового и нет!

-- Вс апр 22, 2012 12:10:31 --

VAL в сообщении #562556 писал(а):

А если нужно (в методических целях) чтобы было, дать подходящее определение - не проблема.

Так дайте же нам его!

[Александрович]

Профессор Снэйп в сообщении #562557 писал(а):

Александрович в сообщении #562555 писал(а):

Мой вердикт - считать!

А прямую $x = 0$, естественно, не считать

Ну это вы уже сами придумали. Из моего сообщения это не следует.

[miflin]

Профессор Снэйп в сообщении #562557 писал(а):

Так дайте же нам его!

Я не могу дать, но могу повторить то, что говорил нам преподаватель
матанализа на лекциях: касательная - это предельное положение секущей.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #562557 писал(а):

Хотелось бы увидеть определение касательной.

miflin в сообщении #562561 писал(а):

касательная - это предельное положение секущей.

А Ваша прямая -- не касательная, а опорная.

[wallflower]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп, у вас талант.

Профессор Снэйп в сообщении #562364 писал(а):

Если честно, то да, мне на многих форумах удавалось создавать темы, стабильно держащиеся в top10 на протяжении нескольких месяцев, а то и лет. Но я действительно не могу сформулировать, как это делается.

На самом деле вы неявно пользуетесь принципом:

LaTeXScience в сообщении #562527 писал(а):

Меньше конкретики (но не переборщить!) и больше пространства для маневров. Заданная тема должна вызывать всплеск различных мнений. Еще желательно, чтобы порог входа в тему для участников был достаточно низким.

Ведь ежу ясно, что ответ на главный вопрос темы напрямую зависит от определения, а его отвечающим предлагается написать самим.

[VAL]

Профессор Снэйп в сообщении #562557 писал(а):

Хотелось бы увидеть определение касательной. А то все о ней говорят, а определения как такового и нет!

А чем Вас не устраивает то, что я привел в скобках?

Цитата:

VAL в сообщении #562556 писал(а):

А если нужно (в методических целях) чтобы было, дать подходящее определение - не проблема.

Так дайте же нам его!

Ну, например, такие:
Прямая имеет одну общую с кривой, с остальные точки которой лежат по одну сторону от этой прямой;
Прямая является предельным положением секущей при некотором способе устремления двух точек на кривой, определяющих секущую, к предполагаемой точке касания.

Но лично я предпочитаю руководствоваться определением из моего предыдущего поста

На всякий случай привожу его еще раз, освободив от приложения к частному случаю.

Пусть $s$ - кривая (не обязательно плоская), а $M_0$ и $M$ - принадлежащие $s$ точки.
Прямая $a$ является касательной к $s$ в точке $M_0$, если предел отношения расстояния от точки $M$ до прямой $a$ к $|MM_0|$ существует и равен $0$ при стремлении $|MM_0|$ к $0$ (независимо от способа устремления точки $M$ к $M_0$).

[Профессор Снэйп]

miflin в сообщении #562561 писал(а):

матанализа на лекциях: касательная - это предельное положение секущей.

Проблема в том, что это за "предельное положение" такое.

Ситуация следующая: есть параметрическое семейство прямых $\{ l_x \}_{x \in U}$, проходящих через некоторую точку $(x_0, y_0)$, где $U$ - подходящая "окрестность" $x_0$ (слово "окрестность" я взял в кавычки, поскольку бывают "односторонние" касательные", да и более сложные случаи тоже бывают). Термином "касательная" предлагается обозначать прямую $l = \lim_{x \to x_0} l_x$. Ну а что такое этот предел? Получается, для начала надо вводить метрику (или хотя бы топологию) на множестве прямых

-- Вс апр 22, 2012 13:13:57 --

VAL в сообщении #562568 писал(а):

Прямая имеет одну общую с кривой, с остальные точки которой лежат по одну сторону от этой прямой;

Посмотрите на графики функций $y = | x |$ и $y = x^3$. Какие у них касательные в точке $(0,0)$?

VAL в сообщении #562568 писал(а):

Прямая является предельным положением секущей...

Уже написал выше.

[ewert]

VAL в сообщении #562568 писал(а):

Прямая $a$ является касательной к $s$ в точке $M_0$, если предел отношения расстояния от точки $M$ до прямой $a$ к $|MM_0|$ существует и равен $0$ при стремлении $|MM_0|$ к $0$ (независимо от способа устремления точки $M$ к $M_0$).

Можно, но лучше идейнее: касательная -- это которая описывается уравнением $\vec r(t)=\vec f(t_0)+\vec f'(t_0)\cdot(t-t_0)$.

[VAL]

Профессор Снэйп в сообщении #562569 писал(а):

VAL в сообщении #562568 писал(а):

Прямая имеет одну общую с кривой, с остальные точки которой лежат по одну сторону от этой прямой;

Посмотрите на графики функций $y = | x |$ и $y = x^3$. Какие у них касательные в точке $(0,0)$?

Смотря как определять касательную.

Цитата:

VAL в сообщении #562568 писал(а):

Прямая является предельным положением секущей...

Уже написал выше.

Похоже, Вам, и в самом деле, захотелось пофлеймить.
Я ведь уже высказал свое отношение к процитированным "определениям".

[Профессор Снэйп]

VAL в сообщении #562568 писал(а):

Но лично я предпочитаю руководствоваться определением из моего предыдущего поста

На всякий случай привожу его еще раз, освободив от приложения к частному случаю.

Пусть $s$ - кривая (не обязательно плоская), а $M_0$ и $M$ - принадлежащие $s$ точки.
Прямая $a$ является касательной к $s$ в точке $M_0$, если предел отношения расстояния от точки $M$ до прямой $a$ к $|MM_0|$ существует и равен $0$ при стремлении $|MM_0|$ к $0$ (независимо от способа устремления точки $M$ к $M_0$).

Вроде пока двусмысленностей не вижу. Но не уверен, что их нет. Надо всё строго определять и доказывать, что если "касательная" существует, то она единственна, и что она существует во всех "естественных" случаях. Последнее довольно расплывчато...

Вот ещё пример. Возьмём график функции

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin (1/x), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} $$

Насколько естественно считать прямую $y = 0$ касательной к графику этой функции в точке $(0,0)$?

[VAL]

Профессор Снэйп в сообщении #562569 писал(а):

Ситуация следующая: есть параметрическое семейство прямых $\{ l_x \}_{x \in U}$, проходящих через некоторую точку $(x_0, y_0)$, где $U$ - подходящая "окрестность" $x_0$ (слово "окрестность" я взял в кавычки, поскольку бывают "односторонние" касательные", да и более сложные случаи тоже бывают). Термином "касательная" предлагается обозначать прямую $l = \lim_{x \to x_0} l_x$. Ну а что такое этот предел? Получается, для начала надо вводить метрику (или хотя бы топологию) на множестве прямых

А чем Вам не хватает метрики на множестве точек?
Ее вполне достаточно, чтобы ввести не только понятие касательной (не обязательно прямой), но и порядка касания.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #562570 писал(а):

Можно, но лучше идейнее: касательная -- это которая описывается уравнением $\vec r(t)=\vec f(t_0)+\vec f'(t_0)\cdot(t-t_0)$.

Как насчёт функции

$$ y = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \geqslant 0 \\ -\sqrt{-x}, & x < 0 \end{cases} $$

Вроде логично считать прямую $x = 0$ касательной к графику этой функции в точке $(0,0)$. Однако производная по $x$ в этой точке не существует!

Или Вы за параметрическое задание кривой? Но тут вообще куча подводных камней! Параметризации ведь бывают разные. Или Вы считаете, что прежде чем давать определение касательной, надо определять класс "хороших" параметризаций?

-- Вс апр 22, 2012 13:31:34 --

VAL в сообщении #562575 писал(а):

А чем Вам не хватает метрики на множестве точек?

Пардон, но ведь Вы определяете касательную как предел семейства прямых! Если я не прав, то расшифруйте мне точный смысл фразы "предельное положение секущей".