Дифференциальные формы

[alcoholist]

Munin в сообщении #559179 писал(а):

А для непривыкшего к обозначениям, подскажите, как это читается?

$\Lambda^{k+1}TM$ -- внешняя степень векторного расслоения $TM$ (множество его сечений -- антисимметрических контрвариантные тензоров $T^{i_0\ldots i_k}$ -- обозначается $\Gamma(\Lambda^{k+1}TM)$)

Впрочем, не существует такого $\xi\in \Gamma(\Lambda^{k}TM)$, что $d\omega(X_0,\ldots,X_k)=\omega(\xi)$

к примеру $d\omega(X,Y)=X\omega(Y)-Y\omega(X)-\omega([X,Y])$

как уже отмечалось, $d$ не является линейным, если рассматривать пространство форм $\Omega^{k}(M)$ как $C^{\infty}(M)$-модуль

[Munin]

Спасибо. Попробую это вкурить...

[Aliara]

alcoholist в сообщении #559116 писал(а):

Aliara в сообщении #559092 писал(а):

Нижнее обозначение у Зорича не вводится

может быть, у Зорича $d\varphi$ -- "касательное отображение" (дифференциал отображения)

Точно могу сказать, что он вводит определение касательного отображения, но страниц на 200 раньше и без этого обозначения. Затем подобное обозначение встречается при более подробном им рассмотрении дифференциальных форм, но через 3 главы дальше. То ли решение подобной задачи не предполагает использование касательного отображения, то ли я невнимательно читала.
Прикладываю небольшой отрезок текста, где вводится верхнее обозначение.

[alcoholist]

Aliara в сообщении #559528 писал(а):

Точно могу сказать, что он вводит определение касательного отображения

ну да, это оно и есть $\varphi_*=\varphi'$
у Зорича написано в точности ($p=1$)

alcoholist в сообщении #559034 писал(а):

$$ \varphi^*\omega(X)=\omega(\varphi_*X) $$

Значит смотрите на определение $\varphi'$ (которое должно быть в учебнике раньше) и вычисляйте $\varphi^*dx$

[Aliara]

Еще несколько вопросов, пока раздумываю, что с этим делать:
1. $\varphi'$ - это производная (или ее аналог)? А то мне думалось, что это просто отображение со штрихом

2. Запись $(u, v) \mapsto (u\cdot v, 1)=(x, y)$ можно ли переписать как $x(u,v)=uv, y(u,v)=1$ или я написала бред?

[alcoholist]

Aliara в сообщении #559593 писал(а):

1. $\varphi'$ - это производная (или ее аналог)? А то мне думалось, что это просто отображение со штрихом

ищите определение в Зориче

Aliara в сообщении #559593 писал(а):

2. Запись $(u, v) \mapsto (u\cdot v, 1)=(x, y)$ можно ли переписать как $x(u,v)=uv, y(u,v)=1$ или я написала бред?

нужно

[Aliara]

Определение нашла. Что-то мне подсказывает, что я не вижу какой-то очевидной вещи.
Ладно, попробую поэтапно

$$\varphi^*dx=d(\varphi^*x(u,v))$$

[alcoholist]

Aliara в сообщении #560363 писал(а):

$$\varphi^*dx=d(\varphi^*x(u,v))$$

Для форм-кограниц можно, разумеется, и так (даже проще)...

так чему равно $\varphi^*x(u,v)$?

[Aliara]

Если по определению, то вроде как так:

$$\varphi^*x(u,v)=x(\varphi(u,v))(\varphi'(u,v)\tau)$$

[alcoholist]

откуда производные? что за $\tau$?

$\varphi^*x$ -- это просто функция от $u$ и $v$

-- Вс апр 15, 2012 23:16:56 --

Если $\varphi:A\to B$ и $f:B\to\mathbb{R}$, то $\varphi^*f: A\to\mathbb{R}$ и $\varphi^*f(a)=f(\varphi(b))$

[Aliara]

Производные и тау из определения, которое дала выше

$$\varphi^*x=x(uv,1)=uv$$

Так?

[alcoholist]

Aliara в сообщении #560599 писал(а):

Производные и тау из определения, которое дала выше

никакого $\tau$ и производных при переносе функций нету

вот ведь правильно написали:

Aliara в сообщении #560599 писал(а):

$$\varphi^*x=x(uv,1)=uv$$

тут никакого $\tau$:)

[Aliara]

Тогда

$$\varphi^*(dx)=udv+vdu$$

$$\varphi^*(dy)=0$$

$$\varphi^*(ydx)=udv+vdu$$

[alcoholist]

да

[Aliara]

Огромное спасибо вам.