Здравствуйте!
Требовалось доказать признак Дирихле используя минимум знаний.
Нашёл док-во, приведённое ниже, но в нём мне остались непонятны некоторые моменты, возможно ли их пояснить?
![$\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\sin nx}{n} $ ,$x$ $\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\sin nx}{n} $ ,$x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/0/100c86acf2871eaa05eec224d12294c082.png)
-фиксировано,
![$x\ne pk$ $x\ne pk$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/7/727241c62a96d5c61b20813bc2b0650882.png)
,
![$a_n=\sin nx; b_n=\frac{1}{n} \searrow 0$ $a_n=\sin nx; b_n=\frac{1}{n} \searrow 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/2/dd21b18e8cbf956db509370421b0bed782.png)
![$$\mid \sin x + \sin 2x +...+ \sin nx\mid=\frac{\mid 2 \sin \frac{x}{2} \sin x+2 \sin \frac{x}{2} \sin 2x+...+2 \sin \frac{x}{2} \sin nx\mid}{2\mid \sin \frac {x}{2}\mid}=$$ $$\mid \sin x + \sin 2x +...+ \sin nx\mid=\frac{\mid 2 \sin \frac{x}{2} \sin x+2 \sin \frac{x}{2} \sin 2x+...+2 \sin \frac{x}{2} \sin nx\mid}{2\mid \sin \frac {x}{2}\mid}=$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/d/90dc768d79c0c60908054f01a4b8489982.png)
Если правильно понял, здесь умножаем и делим на
![$2 \sin \frac {x}{2}$ $2 \sin \frac {x}{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/b/3ebc2772179f46d4de0816f41483dc3182.png)
,
но как выбралось на что умножать-делить? Затем вроде воспользовались ф-ой разности косинусов
![$ \cos x - \cos y =-2 \sin \frac {x+y}{2} \sin \frac {x-y}{2} $ $ \cos x - \cos y =-2 \sin \frac {x+y}{2} \sin \frac {x-y}{2} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/e/e1e90b3c900cc5287539acf70c9ed00a82.png)
в обратную сторону (правда в ф-ле знак перед
![$2 \sin \frac {x+y}{2}$ $2 \sin \frac {x+y}{2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/f/02f76a3bb26b85e6f0a4c62e242468e882.png)
другой, но вероятно это допустимо).
![$$=\frac{\mid \cos \frac {x}{2}-\cos \frac{3}{2}x+\cos \frac{3}{2}x-\cos \frac{5}{2}x+...+\cos (\left n- \frac{1}{2})\right x - (\left n+ \frac{1}{2})\right x \mid}{2\mid \sin \frac {x}{2}\mid} =\frac{\mid \cos \frac {x}{2} - \cos (\left n+ \frac{1}{2})\right x \mid}{2\mid \sin \frac {x}{2}\mid} \leqslant $$ $$=\frac{\mid \cos \frac {x}{2}-\cos \frac{3}{2}x+\cos \frac{3}{2}x-\cos \frac{5}{2}x+...+\cos (\left n- \frac{1}{2})\right x - (\left n+ \frac{1}{2})\right x \mid}{2\mid \sin \frac {x}{2}\mid} =\frac{\mid \cos \frac {x}{2} - \cos (\left n+ \frac{1}{2})\right x \mid}{2\mid \sin \frac {x}{2}\mid} \leqslant $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/2/fd23e7c41e52b808b0c296cdb76ff05382.png)
Привели подобные слагаемые и сравнениваем с
![$ \frac{1}{\lvert\sin {\frac{x}{2}}\rvert}$ $ \frac{1}{\lvert\sin {\frac{x}{2}}\rvert}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/2/7f20c8819ee203e1494d2f1abe63629482.png)
-почему с ним (
по какому признаку или теореме)?
Почему
аналогичны?
Докажем, что эти ряды сходятся условно:
![$\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\mid\sin nx\mid}{n} $ $\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\mid\sin nx\mid}{n} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/c/26ca33a00a3bf73e8bb74b9b3f1c031382.png)
Так как
![$\frac{\mid\sin nx\mid}{n} \geqslant \frac{\sin^2 nx}{n}$ $\frac{\mid\sin nx\mid}{n} \geqslant \frac{\sin^2 nx}{n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/c/d8c85cd3d355c40b7c4b9ee78ed5d6b782.png)
, рассмотри следующий ряд:
По какому признаку сравниваются эти ряды
![$$\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\sin^2 nx}{n} = \sum^\infty\limits_{n=1}\frac{1-\cos 2nx}{n}=\frac12\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{1}{n}+\frac12\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\cos 2nx}{n}$$ $$\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\sin^2 nx}{n} = \sum^\infty\limits_{n=1}\frac{1-\cos 2nx}{n}=\frac12\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{1}{n}+\frac12\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\cos 2nx}{n}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/7/4b743b6985acfb9cb8dd92f7a34ca50082.png)
Ряд
![$\frac12\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\cos 2nx}{n} \text {сходится, но т.к. ряд} \frac12\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{1}{n} \text{расходится, то и} \sum^\infty\limits_{n=1}\frac{1-\cos 2nx}{n} \text{расходится}$ $\frac12\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\cos 2nx}{n} \text {сходится, но т.к. ряд} \frac12\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{1}{n} \text{расходится, то и} \sum^\infty\limits_{n=1}\frac{1-\cos 2nx}{n} \text{расходится}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/7/c9765738ebbce6b70e83078f2b7b159182.png)
Значит, ряд
![$\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\mid\sin nx\mid}{n} \text {-расходится} \Rightarrow$ \text {ряд} \sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\sin nx}{n} \text{сходится условно.} $\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\mid\sin nx\mid}{n} \text {-расходится} \Rightarrow$ \text {ряд} \sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\sin nx}{n} \text{сходится условно.}](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/e/97efb80d8a93530b2c888ac1537eb63b82.png)
Или может можно провести доказательство как-то проще?