Признак Дирихле. Док-во.

[Sudoku San]

Здравствуйте!
Требовалось доказать признак Дирихле используя минимум знаний.
Нашёл док-во, приведённое ниже, но в нём мне остались непонятны некоторые моменты, возможно ли их пояснить?
$\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\sin nx}{n} $ ,$x$-фиксировано, $x\ne pk$, $a_n=\sin nx; b_n=\frac{1}{n} \searrow 0$

$$\mid \sin x + \sin 2x +...+ \sin nx\mid=\frac{\mid 2 \sin \frac{x}{2} \sin x+2 \sin \frac{x}{2} \sin 2x+...+2 \sin \frac{x}{2} \sin nx\mid}{2\mid \sin \frac {x}{2}\mid}=$$

Если правильно понял, здесь умножаем и делим на $2 \sin \frac {x}{2}$ ,но как выбралось на что умножать-делить? Затем вроде воспользовались ф-ой разности косинусов $ \cos x - \cos y =-2 \sin \frac {x+y}{2} \sin \frac {x-y}{2} $ в обратную сторону (правда в ф-ле знак перед $2 \sin \frac {x+y}{2}$ другой, но вероятно это допустимо).

$$=\frac{\mid \cos \frac {x}{2}-\cos \frac{3}{2}x+\cos \frac{3}{2}x-\cos \frac{5}{2}x+...+\cos (\left n- \frac{1}{2})\right x - (\left n+ \frac{1}{2})\right x \mid}{2\mid \sin \frac {x}{2}\mid} =\frac{\mid \cos \frac {x}{2} - \cos (\left n+ \frac{1}{2})\right x \mid}{2\mid \sin \frac {x}{2}\mid} \leqslant $$

Привели подобные слагаемые и сравнениваем с $ \frac{1}{\lvert\sin {\frac{x}{2}}\rvert}$-почему с ним (по какому признаку или теореме)?

$$\leqslant \frac{1}{\lvert\sin {\frac{x}{2}}\rvert}\Rightarrow \forall \, x \, \text {сходится} \sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\sin nx}{n} ,\ \text {аналогично ряд} \sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\cos nx}{n} \text{сходится.}$$

Почему $\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\sin nx}{n} \ \text {и} \sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\cos nx}{n} $ аналогичны?


Докажем, что эти ряды сходятся условно:
$\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\mid\sin nx\mid}{n} $
Так как $\frac{\mid\sin nx\mid}{n} \geqslant \frac{\sin^2 nx}{n}$, рассмотри следующий ряд:
По какому признаку сравниваются эти ряды

$$\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\sin^2 nx}{n} = \sum^\infty\limits_{n=1}\frac{1-\cos 2nx}{n}=\frac12\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{1}{n}+\frac12\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\cos 2nx}{n}$$

Ряд $\frac12\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\cos 2nx}{n} \text {сходится, но т.к. ряд} \frac12\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{1}{n} \text{расходится, то и} \sum^\infty\limits_{n=1}\frac{1-\cos 2nx}{n} \text{расходится}$

Значит, ряд $\sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\mid\sin nx\mid}{n} \text {-расходится} \Rightarrow$ \text {ряд} \sum^\infty\limits_{n=1}\frac{\sin nx}{n} \text{сходится условно.}
Или может можно провести доказательство как-то проще?

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Вернул.

(История вопроса с другого форума)

Sudoku San писал(а):

у нас вообщем-то этого даже в программе нет, но преподаватель сказал, давайте я вам дам, а кто докажет тому плюсик)

Human писал(а):

Сначала простое умножение и деление на $2\sin\frac x 2$, затем применение формулы преобразования произведения в сумму, приведение подобных и, наконец, оценка разности косинусов двойкой.

[ewert]

(Оффтоп)

Sudoku San в сообщении #559499 писал(а):

Требовалось доказать признак Дирихле

да не доказать, а попросту применить.

В наше время нас учили отличать Наташу Болконскую от Андрея Ростова...

[Human]

О, уже и здесь этот вопрос появился.

(Оффтоп)

Toucan
Зачем Вы меня пропалили?

[Toucan]

(Оффтоп)

Human в сообщении #559772 писал(а):

Toucan
Зачем Вы меня пропалили?

Это не я, это Вы сами спалились.
Могли бы просто поудивляться: "Это ж надо ж! На каком-то другом, совершенно неизвестном мне форуме есть какой-то другой, совершенно неизвестный мне человек с таким похожим ником!". Никто бы и не догадался.