Зачем и каким образом учить доказательства теорем?

[xmaister]

(Оффтоп)

Интересно, существуют ли теоремы, формулировки которых нельзя запомнить не зная доказательства?

[mserg]

Попробую ответить на вопрос «Зачем». Так сказать, мысли в слух, или поток сознания. Если что - коллеги меня поправят.

Наука описывает реальный мир с помощью моделей.

Модель – это приближенное описание реальности, в которой несущественные в рассматриваемом контексте детали отброшены.

Для описания модели необходим язык. В науке наиболее «популярен» математический язык, а также суть производные от математического языки.

Формальный язык, каковым является математический, определяется набором букво-закорючек и формальными правилами их использования. При создании модели реальность описывается с помощью конструкций языка.

Математика «старается» предложить такие «конструкции», с помощью которых можно было бы эффективно описывать реальность и исследовать ее. В основании математики лежат начальные аксиомы, а доказательства связывают математические теории в единое целое, обеспечивая в известной мере целостность и непротиворечивость математического аппарата.

Т.к. начальными аксиомами прямо пользоваться на практике проблематично, математика «придумывает» определения, которыми было бы «удобнее» описывать мир:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0% ... 0%B8%D0%B5

Наиболее значимые математические «результаты» в новых терминах формулируют в виде основных теорем и пришиваются к «большой математике» с помощью доказательств:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0%BC%D0%B0

Все, наверное, знают пасьянс «косынка». Есть некоторый случайный расклад карт, который нужно перевести в упорядоченный расклад определенного вида. На перемещение карт существуют ограничения – правила игры.

Доказательство теоремы – это что-то подобное, - веселая увлекательная головоломка, только манипуляции по достижению теоремы происходят на уровне допустимых правил математического языка (аксиом и ранее доказанных теорем).

На мой взгляд, знать нужно определения и основные теоремы. Ну, может быть еще ориентированный граф – что из чего «выводилось». А доказательства знать не нужно. Нужно понимать, как «построена» математика и приобрести навыки – тогда математика будет рабочим инструментом при построении и анализе моделей.
Доказательство известных теорем – это упражнение по приобретению навыка. Вот и практикующие преподаватели пишут примерно о том же. Если вместо навыка как производить доказательства будут «знания» доказательства конкретных теорем, то дело плохо.

[Sledovatel]

mserg в сообщении #554212 писал(а):

Доказательство известных теорем – это упражнение по приобретению навыка. Вот и практикующие преподаватели пишут примерно о том же. Если вместо навыка как производить доказательства будут «знания» доказательства конкретных теорем, то дело плохо.

Значит, дело плохо.

[apriv]

Padawan в сообщении #553150 писал(а):

Доказательство даже важнее формулировки )

Ну уж нет: как правило, определения важнее, чем формулировки теорем, а формулировки важнее, чем доказательства. При правильном выборе определений и при правильных формулировках каждое доказательство становится очевидным.

[Sonic86]

apriv в сообщении #556627 писал(а):

При правильном выборе определений и при правильных формулировках каждое доказательство становится очевидным.

Быть может не всегда Например, теорема Дирихле о простых. Иногда более удобные определения появляются не сразу даже после первого доказательства...
Или Вы только о теоремах университетских курсов? А то я вообще говорю...

[Профессор Снэйп]

apriv в сообщении #556627 писал(а):

При правильном выборе определений и при правильных формулировках каждое доказательство становится очевидным.

Вам в раздел к ферматикам надо Предложите правильные определения степени, суммы и получите очевидное доказательство ВТФ.

[Padawan]

Часто бывает, что формулировку фиг вспомнишь, пока схему доказательства мысленно не воспроизведешь.

-- Чт апр 05, 2012 23:43:19 --

xmaister в сообщении #553908 писал(а):

Интересно, существуют ли теоремы, формулировки которых нельзя запомнить не зная доказательства?

Ну вот простой пример из топологии: непрерывная инъекция компакта в хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм. Если не помнить доказательство, то слово хаусдорфово легко потерять. Из таких вот кусочков -- элементов различных доказательств и составляется понимание какой-либо теории.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #556743 писал(а):

Часто бывает, что формулировку фиг вспомнишь, пока схему доказательства мысленно не воспроизведешь.

Ага, есть такое. Особенно когда в формулировке присутствует много разных ограничений на объекты. Все эти ограничения естественным образом выплывают из доказательства, а если доказательства не знать, то они начинают казаться нелепым набором усложнений. Типа чтоб тем, кто перед экзаменами зазубривает формулировки, жизнь малиной не казалась.

[zbl]

Я голосовал за "нет".
"Доказательства в математике играют ту же роль, что правописание в поэзии", В. И. Арнольд.

У меня на первых курсах проблем с доказательствами не было по причине хорошей памяти (круглые пятёрки).
Но я их просто запоминал без труда при том, полагая, что они мне совсем не нужны.
Мне нужен был факт, что утверждение верно, а не то, почему оно верно.

А вот потом я столкнулся с тем, зачем мне нужны доказательства.
Оказывается, доказательство нужно вовсе не для того, чтобы убедить сомневающихся в верности утверждения.
Оно нужно, чтобы чётко выделить условия, при которых утверждение верно (включая точный смысл понятий).
На практике прежде, чем применять теорему, нужно узнать, применима ли она тут.
Вот тогда дело сводится к раскопкам типа, есть ли у нас тут те факты, которые должны иметь место быть, чтобы теорема была у нас тут верна.
И вот тогда даже не одно доказательство интересно, а вообще все возможные способы доказательства.
Каждый способ доказательства -- это набор фактов, которые у нас тут должны быть, чтобы теорема была тут верна, а, есть ли они или нет тут, проверить, в общем-то, денег даже бывает стоит.
Поэтому доказательства приобретают меркантильный, так сказать, интерес.
В способе доказательства ещё отражено, насколько одни факты, из которых следует теорема, существеннее других.
Не интересное для математиков обобщение теоремы, опять же, даже может экономить или стоить денег.

Понимание доказательства -- это понимание из каких фактов она следует и как именно эти факты определяют её верность.
Проще всего запомнить доказательство, чётко выделив эти факты, и их "пощупав", то есть придумать пример, когда теорема не верна.
Сумма углов треугольника равна 180-ти градусам? всегда ли? что нужно изменить, чтобы она была меньше 180-ти градусов?
Это пример, первый пришедший на ум...

[Padawan]

zbl
Все правильно, согласен. Почему же Вы тогда проголосовали за "нет" ?

[zbl]

Padawan в сообщении #556829 писал(а):

Почему же Вы тогда проголосовали за "нет" ?

В знании доказательства пользы нет, как и в любом знании вообще.
Польза только в понимании.
Другое дело, что без знания пониманию взяться почти неоткуда.

[apriv]

Sonic86 в сообщении #556653 писал(а):

apriv в сообщении #556627 писал(а):

При правильном выборе определений и при правильных формулировках каждое доказательство становится очевидным.

Быть может не всегда Например, теорема Дирихле о простых.

Я говорю о том, что должно быть в перспективе: не во всех областях пока достигнута нужная степень понимания. По поводу теоремы плотности Чеботарева я не специалист: вроде бы, от теории полей классов стало лучше, но не сильно, а вот от программы Лэнглэндса может стать и сильно лучше.

[LaTeXScience]

alcoholist в сообщении #553097 писал(а):

Относитесь к теоремам как к задачам -- можно же воспроизвести решение задачи, если вчера его прочел

А если пять лет назад?

Профессор Снэйп в сообщении #553277 писал(а):

Доказательства не надо заучивать! В них надо досконально разбираться, тогда они запомнятся сами.

И так же успешно потом забудутся.

Имхо, запоминать не нужно, нужно учиться быстро находить решения (любыми способами) и быть способным доказать (своими мозгами или с помощью программ-ассистентов), что найденное решение является правильным.

[Профессор Снэйп]

LaTeXScience в сообщении #556942 писал(а):

И так же успешно потом забудутся.

А вот и нет. С момента, когда я сдавал экзамены по матану, прошло 20 лет, а я некоторые доказательства до сих пор помню. Хотя по своей специальности с матаном никакого дела не имею.

Все доказательства из университетского курса - часть общематематической культуры. И я считаю, что мне, как профессиональному математику, желательно их знать.

Вот совсем недавно случай был. Родил довольно изящное доказательство одной теоремы из теории нумераций. Аналогичные вещи у коллег выглядели сильно громоздко и доказывали более слабые факты. А потом, когда я ехал в маршрутке домой, понял, что моя конструкция на самом деле напоминает конструкцию интеграла Лебега. То есть у меня в подсознательной памяти это где-то отложилось и в нужный момент вылезло. И оказалось полезным. Хотя моя область весьма далека от матана. Но математика едина!

[Sonic86]

apriv в сообщении #556907 писал(а):

Я говорю о том, что должно быть в перспективе: не во всех областях пока достигнута нужная степень понимания. По поводу теоремы плотности Чеботарева я не специалист: вроде бы, от теории полей классов стало лучше, но не сильно, а вот от программы Лэнглэндса может стать и сильно лучше.

Ага, может Только все равно между утверждением и инструментом доказательства может лежать пропасть, порой огромная (вот еще пример: континуум-гипотеза).