2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.

Есть ли практическая польза в знании доказательств?
да 79%  79%  [ 37 ]
нет 21%  21%  [ 10 ]
Всего голосов : 47
 
 Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение28.03.2012, 18:08 
Аватара пользователя


06/02/11
58
Здравствуйте. Два вопроса обозначены, собственно, в названии темы.
1. В чём смысл того, чтобы учить доказательства теорем? Причины, которые мне называли, таковы: мы должны понимать, как выводится теорема (однако все готовы поверить на слово, что теорема верна, к тому же если не учить доказательства, будет больше времени на разбор задач с применением этой теоремы), знать математические методы доказательства (два возражения: 1 - на практике у нас очень редко встречаются задачи на доказательства, 2 - всё забывается). Есть ли более убедительные аргументы в пользу знания доказательств? Когда не понимаешь, для чего что-то делаешь, это делается с трудом.
2. В независимости от того, имеет ли знание доказательств практическую пользу или нет, их придётся учить. Вопрос: как это делать? С точки зрения преподавателя, как должен выглядеть этот процесс? В теме topic53330.html писали, что их не надо учить, их надо просто понимать, а если будет понимание, то будет и знание. Так вот, это не выполняется. Я могу около часа разбирать сложное доказательство, понять всё до запятой и на следующий день не помнить ни общего принципа, не последовательности действий. Всё заканчивается тем, что приходится заучивать доказательства, 4-5 раз "воспроизводя" его на листе бумаги по памяти. Процесс схож с заучиванием стихотворения и занимает много времени, что не может нравиться. Может, я просто не знаю специальных методик?
Вопросы назревали давно, но сейчас приобрели особую актуальность в свете приближающегося коллоквиума по алгебре, к которому надо выучить 25+ теорем с доказательствами, многие из которых занимают много больше, чем полстраницы.
Заранее большое спасибо за подробные ответы и конкретные советы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение28.03.2012, 18:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Sledovatel в сообщении #553079 писал(а):
Процесс схож с заучиванием стихотворения


Хорошее стихотворение запоминается легко

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение28.03.2012, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Существуют теоремы, в которых большое значение имеет сам факт, утверждаемый теоремой. И существуют теоремы, в которых большое значение имеет идея доказательства, а факт по сравнению с ней более второстепенен.

Идея доказательства может быть важна, если вы математик, и хотите доказать аналогичную теорему. И она может быть важна, если вы не математик, но хотите применить такую или аналогичную теорему. Не возясь с доказательствами и точными формулировками, но опираясь на интуитивное знание, что некоторый факт верен. Или может быть сделан верным какими-то оговорками, углубляться в которые вас сейчас не интересует.

Sledovatel в сообщении #553079 писал(а):
Я могу около часа разбирать сложное доказательство, понять всё до запятой и на следующий день не помнить ни общего принципа, не последовательности действий.

Это от слабых навыков. Собственно, заучивание доказательств и прочие упражнения - это тренировка нужных навыков. Чем, собственно, надо заниматься не только перед экзаменами, но и весь семестр. Разобрали, забыли - ничего. Разберите ещё раз. На следующий день забудете уже не всё подчистую.

От одного подтягивания на турнике мускулы не появятся. Но от десятков и сотен - появятся.

Sledovatel в сообщении #553079 писал(а):
Вопросы назревали давно, но сейчас приобрели особую актуальность в свете приближающегося коллоквиума по алгебре, к которому надо выучить 25+ теорем с доказательствами, многие из которых занимают много больше, чем полстраницы.

Их стоило учить (а точнее, разбирать, запоминать, применять - применение сильно помогает запоминанию, воспроизводить) задолго до коллоквиума, начиная с того момента, когда их вам дали на лекциях. Сейчас вы, конечно, можете попытаться "нарастить мускулы" за короткий срок, но думаю, вам надо извлечь жизненный урок, и загодя начинать готовиться к последующим коллоквиумам и экзаменам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение28.03.2012, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Относитесь к теоремам как к задачам -- можно же воспроизвести решение задачи, если вчера его прочел

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение28.03.2012, 20:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sledovatel в сообщении #553079 писал(а):
мы должны понимать, как выводится теорема (однако все готовы поверить на слово,

Существует общая логика курса (любого курса). И доказательства -- это кирпичики той логики. Не вникая в доказательства хоть чуть-чуть, Вы ничего и понимать не будете. Просто набора формулировок недостаточно: из него логика не высвечивается. (Т.е. высвечивается, при грамотной их композиции, но и в этом случае -- только для тех, кто этот курс уже знает). Зубрёжка формулировок -- конечно, необходимый элемент обучения, но откровенно недостаточный для понимания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение28.03.2012, 20:56 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Доказательство даже важнее формулировки )

-- Ср мар 28, 2012 23:03:23 --

Sledovatel в сообщении #553079 писал(а):
Я могу около часа разбирать сложное доказательство, понять всё до запятой и на следующий день не помнить ни общего принципа, не последовательности действий.

Попробуйте почитать доказательства в разных источниках, сравните их, подумайте, может что-то в доказательстве можно упростить. Не привязывайтесь к конкретному тексту доказательства, а попытайтесь понять логику его построения. Полезно подумать, все ли условия теоремы использованы, в каком именно месте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение28.03.2012, 21:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #553150 писал(а):
Доказательство даже важнее формулировки )

Это когда как. Навскидку пара примеров (из практически значимых).

1). Теорема Пикара (насчёт того, что что аналитическая функция принимает все значения, кроме, может, одного; ну с любыми прибамбасами и в любом варианте). Интуитивно вполне воспринимаема, доказательство же -- в любом случае крайне занудно.

2). Ещё одна теорема Пикара, но совсем из другой оперы -- насчёт существования и единственности решений дифференциальных уравнений. Совершенно очевидно обосновывается (на неформальном уровне) методом Эйлера. Но ни в коем случае не доказывается, нет! Формальное доказательство -- это опять же в любом варианте некоторое занудство.

И в обоих случаях занудство -- не содержит в себе чего-то особо уж принципиального. (Правда, ко второму случаю это относится меньше.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение28.03.2012, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422

(Оффтоп)

ewert в сообщении #553157 писал(а):
2). Ещё одна теорема Пикара, но совсем из другой оперы -- насчёт существования и единственности решений дифференциальных уравнений. Совершенно очевидно обосновывается (на неформальном уровне) методом Эйлера. Но ни в коем случае не доказывается, нет! Формальное доказательство -- это опять же в любом варианте некоторое занудство.
У нас, насколько я помню, именно через метод Эйлера и доказывали. Ну то есть доказывали, что он сходится и предел будет решением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение28.03.2012, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб

(Оффтоп)

ewert в сообщении #553157 писал(а):
Ещё одна теорема Пикара, но совсем из другой оперы -- насчёт существования и единственности решений дифференциальных уравнений. Совершенно очевидно обосновывается (на неформальном уровне) методом Эйлера. Но ни в коем случае не доказывается, нет! Формальное доказательство -- это опять же в любом варианте некоторое занудство.



эту теорему можно доказать исходя из принципа сжимающих отображений -- концептуально

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение28.03.2012, 23:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #553220 писал(а):
эту теорему можно доказать исходя из принципа сжимающих отображений -- концептуально

можно, конечно; и даже ровно так и нужно. Однако же это -- именно занудство. На уровне же правдоподобного размахивания руками -- всё сводится просто к простейшей формуле Тейлора.


-- Чт мар 29, 2012 00:23:04 --

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #553183 писал(а):
У нас, насколько я помню, именно через метод Эйлера и доказывали.

А это, кстати, -- не лучший вариант. Т.е. через сжимающие отображения -- и впрямь не в пример концептуальнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение28.03.2012, 23:23 
Заслуженный участник


13/12/05
4518

(Оффтоп)

ewert в сообщении #553228 писал(а):
На уровне же правдоподобного размахивания руками

Это не математика, а черти что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение28.03.2012, 23:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #553231 писал(а):
Это не математика, а черти что.

Это -- пиджин-математика; и это -- ровно то, что нужно прикладникам. Когда математика хотя бы делает вид, что она строгая, не отрываясь при этом от приложений и хотя бы намекая на возможности своего формального обоснования, буде это понадобится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение29.03.2012, 03:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

ewert в сообщении #553239 писал(а):
и это -- ровно то, что нужно прикладникам.

Презирая то, что нужно прикладникам, разбираться в этом вы не станете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение29.03.2012, 04:52 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Доказательства не надо заучивать! В них надо досконально разбираться, тогда они запомнятся сами. Если этого вдруг не происходит, то, скорее всего, разбор доказательства подменяется имитацией сего действия.

У меня лучше всего получалось действовать следующим образом. Прочитав очередную формулировку теоремы, я первым делом пытался доказать её самостоятельно. Если не получалось, начинал постепенно читать доказательство, строчка за строчкой, и после прочтения каждой фразы возобновлял попытки самостоятельного доказательства.

Парадоксально, но факт: лучше всего запоминались теоремы, которые на лекциях читали "как попало". Просто для того, чтобы понять их доказательства, приходилось прилагать неимоверные умственные усилия :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
Сообщение29.03.2012, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Профессор Снэйп в сообщении #553277 писал(а):
У меня лучше всего получалось действовать следующим образом. Прочитав очередную формулировку теоремы, я первым делом пытался доказать её самостоятельно. Если не получалось, начинал постепенно читать доказательство, строчка за строчкой, и после прочтения каждой фразы возобновлял попытки самостоятельного доказательства.

Наиболее трудоёмкий, но наиболее качественный подход. ППКС.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group