Один вопрос про связность.

[Alex-Yu]

Oleg Zubelevich в сообщении #550149 писал(а):

Изображение

И что? Если намбла это обычная производная, то символы Кристоффеля можно определить именно так. Иначе, безотносительно ко всему прочему, получается довольно странная затея: чтобы определить ковариантную производную нужны символы Кристоффеля, а чтобы определить символы Кристоффеля, нужна ковариантная производная Хотя формально может и правильно. Обычная производная от компоненты базисного вектора это ноль (производная от константы).

В общем случае символы Кристоффеля, конечно, не обязаны выражаться через метрику. Этим и отличаются символы Кристоффеля в римановой геометрии от общего случая произвольной связности.

[Утундрий]

m@x в сообщении #550156 писал(а):

Я как раз и имел ввиду под намблой ковариантную производную

Чудно, с $\[\nabla _i \]$ разобрались. Осталось выяснить, что такое $e_i$.

[Alex-Yu]

*@z@zello* в сообщении #550152 писал(а):

Это верно только для аффинной связности с нулевым кручением. В общем случае нет.

В частном случае утверждение не верно, а в общем -- верно? Это сильно

[m@x]

Утундрий в сообщении #550161 писал(а):

m@x в сообщении #550156 писал(а):

Я как раз и имел ввиду под намблой ковариантную производную

Чудно, с $\[\nabla _i \]$ разобрались. Осталось выяснить, что такое $e_i$.

Базисные вектора. Можно и так записать
$\[\left\langle {{\omega ^i},{\nabla _k}{e_l}} \right\rangle = \Gamma _{lk}^i\]$.

[*@z@zello*]

Утундрий в сообщении #550154 писал(а):

Мне вот любопытно, вы всерьез вознамерились очередным пинусомерием заняться страниц на двадцать, не дожидаясь реакций ТС? Темка-то, промежду нами говоря, вполне себе учебненькая и тому кто первый вывалит стандартный закон преобразования коэффициентов связности вполне могут впаять предупреждение. Но это только обостряет процесс мерянья пинусами, не правда ли?

Вперед, напишите. Жду.

[Alex-Yu]

Alex-Yu в сообщении #550140 писал(а):

Вот если под намблой понимать обычную производную, то символы Кристоффеля можно определить именно так. Иначе это не символы Кристоффеля.

Тут я, пардон, немножко перепутал обозначения: смволы Кристоффеля можно определить так:

$$ \frac{\partial {\bf e}_k}{\partial x^i}=\Gamma^j_{ki}{\bf e}_j $$

рассматривая базисные векторы ${\bf e}_j$ не в компонентах, а как самостоятельные объекты (что изображается полужирным шрифтом). Тогда:

$$ \frac{\partial {\bf A}}{\partial x^i}=\frac{\partial A^k {\bf e}_k}{\partial x^i}= \frac{\partial A^k}{\partial x^i}{\bf e}_k + A^k \frac{\partial {\bf e}_k}{\partial x^i} $$

А последний член можно, естественно, разложить по базисным векторам.

$$ \frac{\partial {\bf e}_k}{\partial x^i}=\Gamma_{ki}^j{\bf e}_j $$

Что дает:

$$ \frac{\partial {\bf A}}{\partial x^i}=\frac{\partial A^k}{\partial x^i}{\bf e}_k + A^k \Gamma^j_{ki}{\bf e}_j $$

Возможен такой, несколько необычный, подход, в котором кристоффели появляются в результате дифференцирования произведения. Но это чисто риманова геометрия.

[*@z@zello*]

Цитата:

$$ \frac{\partial {\bf e}_k}{\partial x^i}=\Gamma^j_{ki}{\bf e}_j $$

Такой формулы не существует.

[Утундрий]

*@z@zello* в сообщении #550168 писал(а):

Вперед, напишите. Жду.

(Оффтоп)

$\[ \begin{gathered} u^{\tilde \alpha } \equiv x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } u^\alpha \hfill \\ u_{;\mu }^\alpha \equiv u_{,\mu }^\alpha + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha u^\nu \hfill \\ u_{;\tilde \mu }^{\tilde \alpha } \equiv x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu u_{;\mu }^\alpha \hfill \\ \Rightarrow \hfill \\ u_{;\tilde \mu }^{\tilde \alpha } = u_{,\tilde \mu }^{\tilde \alpha } + \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } u^{\tilde \nu } \hfill \\ x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu \left( {u_{,\mu }^\alpha + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha u^\nu } \right) = \left( {x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } u^\alpha } \right)_{,\mu } x_{,\tilde \mu }^\mu + \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } x_{,\nu }^{\tilde \nu } u^\nu \hfill \\ \Rightarrow \hfill \\ x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu \Gamma _{\mu \nu }^\alpha = x_{,\nu \mu }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu + \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } x_{,\nu }^{\tilde \nu } \hfill \\ \Rightarrow \hfill \\ \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } = x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } \left( {x_{,\tilde \mu }^\mu x_{,\tilde \nu }^\nu \Gamma _{\mu \nu }^\alpha + x_{,\tilde \mu \tilde \nu }^\alpha } \right) \hfill \\ \end{gathered} \] $

*@z@zello* в сообщении #550171 писал(а):

Такой формулы не существует.

Такая формула существует и эта формула верна.

[Munin]

(Оффтоп)

Стакан попкорна ушёл. Жду, когда заговорят про связность на расслоении.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #550174 писал(а):

Жду, когда заговорят про связность на расслоении.

Ну... Чего захотели А как там, кстати, различать тензоры и не тензоры? Это вообще можно? Слабоват я на счет расслоений, как-то без них обычно можно обойтись. Хотя что это такое понятно.

Впрочем, наверное то, что я выше написал и можно понимать в терминах расслоений. Просто понимая ${\bf e}_k$ как абстрактную величину, лежащую в слое (для фиксированной точки базы). Так?

[Утундрий]

Alex-Yu в сообщении #550169 писал(а):

рассматривая базисные векторы $\[{\mathbf{e}}_j \]$ не в компонентах, а как самостоятельные объекты

Между прочим, чудесный пример получившей широкое распространения привычки говорить что угодно, только не правду Считать $e_j$ вектором касательного пространства действительно нельзя, иначе высказывание заведомо ложно. Однако, высказывание вполне можно сделать истинным (и более того - содержательным!) если только считать эти весторы принадлежащими... Ну, чему?

[*@z@zello*]

Вот эту формулу выведите, пожалуйста,

$\[{u^\alpha }_{;\mu } = {u^\alpha }_{,\mu } + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha {u^\nu }\]$

Утундрий в сообщении #550173 писал(а):

Такая формула существует и эта формула верна.

Не-а.

[Alex-Yu]

Утундрий в сообщении #550177 писал(а):

Считать $e_j$ вектором касательного пространства действительно нельзя

В каждой точке касательное пространство свое. Вы о чем?

[Munin]

(Alex-Yu)

Alex-Yu в сообщении #550175 писал(а):

А как там, кстати, различать тензоры и не тензоры? Это вообще можно?

Там различаются векторы вертикальные - в слое - и горизонтальные - в базе. Соответственно, можно как угодно резвиться с их тензорными произведениями. И обычная аффинная связность на римановом многообразии - одновременно является связностью на касательном расслоении. Правда, в случае касательного расслояния термины "вертикальный" и "горизонтальный" становятся немножко контринтуитивными. Дальше, для любой связности (вот не помню, что там насчёт её тензорности) вводится кривизна. И оказывается, например, что электрическое поле - это тоже кривизна, как и гравитационное.

Как-то так. А вот строго в формулах это изобразить - я лучше из зрительного зала с попкорном понаблюдаю...

[m@x]

Я, что-то, так и не понял. Связность, вообще, это тензор или не тензор. Определение, ведь, дается через ковариантную производную. А, у Ландау, показано, что сами коэффициенты преобразуются по нелинейному закону и не образуют тензора.