Вот если под намблой понимать обычную производную, то символы Кристоффеля можно определить именно так. Иначе это не символы Кристоффеля.
Тут я, пардон, немножко перепутал обозначения: смволы Кристоффеля можно определить так:
рассматривая базисные векторы
не в компонентах, а как самостоятельные объекты (что изображается полужирным шрифтом). Тогда:
А последний член можно, естественно, разложить по базисным векторам.
Что дает:
Возможен такой, несколько необычный, подход, в котором кристоффели появляются в результате дифференцирования произведения. Но это чисто риманова геометрия.
19.03.2012, 22:39 
Хотя формально может и правильно. Обычная производная от компоненты базисного вектора это ноль (производная от константы).
![$\[\nabla _i \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/8/6885a4c27feb1e69edb42399dc0e57d482.png "$\[\nabla _i \]$")
разобрались. Осталось выяснить, что такое 
.![$\[\left\langle {{\omega ^i},{\nabla _k}{e_l}} \right\rangle = \Gamma _{lk}^i\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/c/1acc8a300c74b84ab8de67e53c7cd48382.png "$\[\left\langle {{\omega ^i},{\nabla _k}{e_l}} \right\rangle = \Gamma _{lk}^i\]$")
.![$\[
\begin{gathered}
u^{\tilde \alpha } \equiv x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } u^\alpha \hfill \\
u_{;\mu }^\alpha \equiv u_{,\mu }^\alpha + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha u^\nu \hfill \\
u_{;\tilde \mu }^{\tilde \alpha } \equiv x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu u_{;\mu }^\alpha \hfill \\
\Rightarrow \hfill \\
u_{;\tilde \mu }^{\tilde \alpha } = u_{,\tilde \mu }^{\tilde \alpha } + \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } u^{\tilde \nu } \hfill \\
x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu \left( {u_{,\mu }^\alpha + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha u^\nu } \right) = \left( {x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } u^\alpha } \right)_{,\mu } x_{,\tilde \mu }^\mu + \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } x_{,\nu }^{\tilde \nu } u^\nu \hfill \\
\Rightarrow \hfill \\
x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu \Gamma _{\mu \nu }^\alpha = x_{,\nu \mu }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu + \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } x_{,\nu }^{\tilde \nu } \hfill \\
\Rightarrow \hfill \\
\Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } = x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } \left( {x_{,\tilde \mu }^\mu x_{,\tilde \nu }^\nu \Gamma _{\mu \nu }^\alpha + x_{,\tilde \mu \tilde \nu }^\alpha } \right) \hfill \\
\end{gathered}
\]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/4/d34d686c6d5bc7a7d0119bf73a5dda4c82.png "$\[
\begin{gathered}
u^{\tilde \alpha } \equiv x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } u^\alpha \hfill \\
u_{;\mu }^\alpha \equiv u_{,\mu }^\alpha + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha u^\nu \hfill \\
u_{;\tilde \mu }^{\tilde \alpha } \equiv x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu u_{;\mu }^\alpha \hfill \\
\Rightarrow \hfill \\
u_{;\tilde \mu }^{\tilde \alpha } = u_{,\tilde \mu }^{\tilde \alpha } + \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } u^{\tilde \nu } \hfill \\
x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu \left( {u_{,\mu }^\alpha + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha u^\nu } \right) = \left( {x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } u^\alpha } \right)_{,\mu } x_{,\tilde \mu }^\mu + \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } x_{,\nu }^{\tilde \nu } u^\nu \hfill \\
\Rightarrow \hfill \\
x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu \Gamma _{\mu \nu }^\alpha = x_{,\nu \mu }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu + \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } x_{,\nu }^{\tilde \nu } \hfill \\
\Rightarrow \hfill \\
\Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } = x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } \left( {x_{,\tilde \mu }^\mu x_{,\tilde \nu }^\nu \Gamma _{\mu \nu }^\alpha + x_{,\tilde \mu \tilde \nu }^\alpha } \right) \hfill \\
\end{gathered}
\]
$")
как абстрактную величину, лежащую в слое (для фиксированной точки базы). Так?![$\[{\mathbf{e}}_j \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/7/9b7511639b51ed6fbe4c5852dc1dae1182.png "$\[{\mathbf{e}}_j \]$")
не в компонентах, а как самостоятельные объекты 
вектором касательного пространства действительно нельзя, иначе высказывание заведомо ложно. Однако, высказывание вполне можно сделать истинным (и более того - содержательным!) если только считать эти весторы принадлежащими... Ну, чему?![$\[{u^\alpha }_{;\mu } = {u^\alpha }_{,\mu } + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha {u^\nu }\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/9/bf9cd59928df5cde81b63572a721142482.png "$\[{u^\alpha }_{;\mu } = {u^\alpha }_{,\mu } + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha {u^\nu }\]$")