И

- это все-таки векторный индекс. Четыре величины

, как показано у Фока, образуют так называемый свободный 4-вектор.
Называйте как хотите, но определённая Вами величина:

преобразуется как скаляр. Если, конечно,

- это тензорная плотность, а

- ковариантное векторное поле. Мне объяснить почему или бесполезно?
Бесполезно. Я просто знаю правильный ответ, а потому или поверьте мне на слово или проверьте.
Нет. Это компонента 4-вектора.
Очень печально, что Вы не поняли того, что сами написали. Поток векторной плотности через гиперповерхность не может быть ничем иным, кроме скаляра. А скалярное произведение тензорной плотности

на векторное поле

- это векторная плотность.
Совершено верно. Я потому и вел раннее речь про векторное поле

. Но мы имеем 4 скаляра (4 потока векторного поля через гиперповерхность), которые вместе образуют 4-вектор! Вы этого не поняли.
Чтобы корректно посчитать энергию требуется взять выражение для тензора энергии-импульса, Киллингова вектора в декартовых координатах, преобразовать их в ускоренную СО и выполнить интегрирование по объему. Думаю все сойдется. Я тут прикинул, выражения получаются довольно громоздкими...
Уже ничего не сошлось. Как же Вам ещё объяснить? ...
Может быть Вам формулу для

в явном виде расписать? Пожалуйста.
В лабораторной ИСО:
![$T^{0 0} = mc^2 \sqrt{1 + \left{(}\frac{x^0}{r}\right{)}^2} \delta[x^1 - \sqrt{r^2 + (x^0)^2}] \delta(x^2) \delta(x^3)$ $T^{0 0} = mc^2 \sqrt{1 + \left{(}\frac{x^0}{r}\right{)}^2} \delta[x^1 - \sqrt{r^2 + (x^0)^2}] \delta(x^2) \delta(x^3)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/4/3442edea02554d392830df961391b28382.png)
,
![$T^{0 1} = T^{1 0} = mc \, \frac{x^0}{r} \delta[x^1 - \sqrt{r^2 + (x^0)^2}] \delta(x^2) \delta(x^3)$ $T^{0 1} = T^{1 0} = mc \, \frac{x^0}{r} \delta[x^1 - \sqrt{r^2 + (x^0)^2}] \delta(x^2) \delta(x^3)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/b/77bd13833ed71b0a1aa68a7d7dbded6082.png)
,
остальные нулевые.
В равноускоренной СО:

,
остальные нулевые.
Можете убедиться, что переход от первых ко вторым - по формулам дважды контравариантной тензорной плотности. Поле

в ИСО Вы уже расписали, перейти в равноускоренную СО - тривиально. То, что оно
существенно зависит от

, очевидно.
Я вот по утру на свежую голову сел, прикинул и все сошлось :)
Давайте сначала запишем все необходимые величины в ИСО. Энергия, как я ее определил, имеет вид

Найдем вектор

. Вектор Киллинга для энергии, как я уже писал, равен
Таким образом, вектор

. Именно его и нужно преобразовать в ускоренную СО (УСО), чтобы получить выражение для энергии в этой СО.
Тензор энергии-импульса точечной частицы равен

где

- инвариантная плотность массы частицы,

- ее 4-скорость и

- элемент мировой линии частицы. Опущу нудные промежутучные вычисления (они следуют из Вашего закона движения точечной частицы) и запишу сразу результаты для 4-скорости, производной интервала и вектора




Можете убедиться, что из такого вектора

следует Ваша энергия частицы в ИСО.
Преобразуем теперь этот вектор в УСО. Имеем

Выполняем преобразование и получаем

Интегрируем нулевую компоненту и получаем

Убедительно?
Хотел бы поправиться. При метрике
путешествию из области

в область

препятствует не комплексность метрики, от которой легко избавиться переходом к

и к

.
Главное - на границе обращается в ноль детерминант метрики (в последнем случае он равен

).
Геометрически задача сшивки мировых линий при

и

выглядит такой же, как и для внешней и внутренней областей шварцшильдовской черной дыры. Существенная разница, однако, состоит в том, что площадь сшиваемой поверхности в метрике Тауба равна нулю (как следствие

). Фактически, два пространства Тауба соприкасаются не по протяженой поверхности, а только в одной точке. Это делает невозможным однозначное продолжение мировых линий из одной области в другую и означает, что

является не просто горизонтом, а именно границей мира.
Интересно. epros получил решение сшиванием по линии двух обрезанных пространств Минковского в Меллеровской СО. А Вы тут вообще точкой обошлись.