К вопросу о неравенстве инертной и гравитационной массы

[Munin]

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

При изменении масштабного фактора температура меняется как $a^{-1}$,

Нельзя ли вот это поподробней? Пример замечательный, но мне интересно, как он будет выглядеть на стадии доминирования излучения. И на стадии доминирования тёмной энергии, если на то пошло.

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

Мы с Вами очень по разному понимаем термин "система отсчета".

Я ему этого говорил уже неоднократно. Теперь и вы напоролись. Человек выдумал свою собственную терминологию, и упорно её придерживается.

[dinaconst]

Munin в сообщении #548049 писал(а):

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

При изменении масштабного фактора температура меняется как $a^{-1}$,

Нельзя ли вот это поподробней? Пример замечательный, но мне интересно, как он будет выглядеть на стадии доминирования излучения. И на стадии доминирования тёмной энергии, если на то пошло.

Мне тоже тут интересно. Соответствующую полемику постаралась выделить из взаимных "стращалок" системами отсчета.

epros в сообщении #547678 писал(а):

VladTK в сообщении #547652 писал(а):

Если энергия поля равна нулю, то такое поле ни на что не действует.

Это Ваш символ веры? По моим понятиям, увеличение со временем масштабного фактора приводит к покраснению электромагнитного излучения (наблюдаемый эффект), но это не означает, что интегральная энергия электромагнитного поля каким-либо образом меняется.

VladTK в сообщении #547869 писал(а):

epros в сообщении #547678 писал(а):

Это Ваш символ веры? По моим понятиям, увеличение со временем масштабного фактора приводит к покраснению электромагнитного излучения (наблюдаемый эффект), но это не означает, что интегральная энергия электромагнитного поля каким-либо образом меняется.

Это часть моих знаний. Что касается покраснения электромагнитного излучения вследствие увеличения масштабного фактора, но это как раз и означает, что интегральная энергия электромагнитного поля убывает со временем. Можете проверить. Это один из неудобных вопросов классической космологии, на который никто не знает ответа.

epros в сообщении #547888 писал(а):

VladTK в сообщении #547869 писал(а):

Что касается покраснения электромагнитного излучения вследствие увеличения масштабного фактора, но это как раз и означает, что интегральная энергия электромагнитного поля убывает со временем. Можете проверить. Это один из неудобных вопросов классической космологии, на который никто не знает ответа.

Что это за способ проверки Вы мне предлагаете, который приводит к такому явно неверному результату?

VladTK в сообщении #547968 писал(а):

epros в сообщении #547888 писал(а):

Что это за способ проверки Вы мне предлагаете, который приводит к такому явно неверному результату?

Вы стандартный курс космологии читали? Прикиньте зависимость от масштабного фактора электромагнитной энергии, содержащейся в некоторои объеме. А почему Вы считаете, что результат уменьшения электромагнитной энергии с ростом масштабного фактора явно неверен?

epros в сообщении #548019 писал(а):

VladTK в сообщении #547968 писал(а):

Прикиньте зависимость от масштабного фактора электромагнитной энергии, содержащейся в некоторои объеме.

Что значит "в некотором объёме"? Я имел в виду сохранение всей суммарной электромагнитной энергии. Как Вы собираетесь её прикидывать?

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

epros в сообщении #548019 писал(а):

Что значит "в некотором объёме"? Я имел в виду сохранение всей суммарной электромагнитной энергии. Как Вы собираетесь её прикидывать?

Возьмем, например, микроволновое фоновое излучение (МФИ). Плотность энергии такого электромагнитного поля, согласно закону Стефана-Больцмана, пропорциональна $T^4$, где $T$ - температура излучения. Энергия излучения в объеме $V$ пропорциональна $V T^4$. При изменении масштабного фактора температура меняется как $a^{-1}$, а объем как $a^{3}$. Таким образом, энергия поля в объеме $V$ пропорциональна $a^{-1}$. Т.е. при возрастании/убывании масштабного фактора имеем необъяснимое изменение энергии электромагнитного поля.

А во что, по-вашему, упираются попытки объяснения?

[epros]

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

У Петрова как раз написано то, что надо. В том числе приведено выражение для 4-импульса. Читайте - я переписывать Петрова тут не буду.

Стало быть, отказываетесь ответить на простой вопрос, прикрываясь Петровым? И это при том, что, как я подозреваю, ответ более чем строчки текста или одной формулы не заслуживает... Кстати, то, что написано по указанной ссылке у Петрова, с моей точки зрения А) не имеет отношения к написанному Вами, Б) в принципе правильно, В) но на самом деле является не более, чем ритуальной пляской с бубном, призванной доказать, что интеграл от псевдотензора имеет смысл (что и так понятно, без всех этих плясок).

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

Плотность энергии такого электромагнитного поля, согласно закону Стефана-Больцмана, пропорциональна $T^4$

Пример термодинамически равновесного (квазиравновесного) излучения сам по себе крайне неудачен, ибо оное по определению связано с излучающим/поглощающим телом, так что сам факт отсутствия потоков энергии в/из данного тела в нестационарной задаче не очевиден. Поэтому и формула зависимости температуры от масштабного фактора оказывается неочевидной.

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

Под энергией-импульсом Вы понимаете интегральный 4-импульс? Или еще что-то?

Интегральная или локальная - какая разница? Тензором второго ранга обычно описывают дифференциальную величину (плотность). Но если Вы хотите, то можно домножить его на дифференциальную форму $dV_i$ и получить вектор.

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

А если он расположен в гигапарсеке от частицы и рядом с ней нет никаких приборов? Типа как астрономы квазары рассматривают.

Если измеряется именно скорость относительно СО, значит есть какие-то соображения, позволяющие привязаться именно к этой СО. Например, если СО связана с макро-кластерами галактик, то у нас появляется формула, связывающая Хаббловское красное смещение с расстоянием, а значит, обнаружив отклонение данного конкретного объекта от этой формулы, мы сможем найти его радиальную скорость относительно данной СО.

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

Наблюдатель видит, что координаты частицы меняются (скажем его приборы фиксируют этот факт).

Кстати, никаких координат наблюдатели не "видят", ибо координаты - это числа, присваиваемые точкам пространства-времени достаточно произвольным образом.

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

Между прочим, мое определение "скорости относительно СО" как скорости относительно локального наблюдателя совпадает с тем что дали Вы. Так что это отношение координат, дополненное еще отношением компонент метрического тензора, вполне корректно. Но Вы этого предпочли не заметить...

Не вижу. Я вижу только отношение каких-то координат, которые Вы взяли я не понимаю откуда.

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

Но когда посмотрите на свои приборы, то увидите совсем другое.

На какие приборы? Вы же конкретно ничего не объясняете. Что именно измеряет Ваш удалённый наблюдатель? Изменение видимых угловых размеров объекта? Или Допплеровский сдвиг частоты отражённого локационного сигнала? Или что-то ещё?

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

Когда Вы пишите "тело отсчёта - расширяющееся" я сразу впадаю в ступор.

С чего бы это? Вы так любите абсолютно твёрдые тела (которых, кстати, не бывает)?

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

По мне так просто среди всех наблюдателей данной СО есть наблюдатель, от которого отсчитываются все расстояния

Чтобы начать отсчитывать расстояния, нужно сначала построить СО на всём протяжении того пути, по которому они будут отсчитываться. Расстояния в СО Шварцшильда и расстояния в СО радиального свободного падения (radial infall) - это не одно и то же. И расстояния по экватору во вращающейся и в невращающейся СО - не одно и то же.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #548049 писал(а):

Человек выдумал свою собственную терминологию, и упорно её придерживается.

Это всё же лучше, чем доказывать свою правоту цитатами из учебников, которые сам не понял. Особенно это раздражает, когда процитированное ни в чём не противоречит тому, что оспаривается.

[dinaconst]

epros в сообщении #547939 писал(а):

schekn в сообщении #547914 писал(а):

если придерживаться мнению Синга, что «тензор кривизны Римана и есть гравитационное поле»

Тензор Римана, увы, не описывает никакого силового поля: В том смысле, что ускорения материальных точек определяются не им.

Мое впечатление от знакомства с книгой Синга: это один из тех немногих авторов, которые рекомендуют не связывать гравитационные явления с действием каких-то ни было силовых полей. Он, как мне показалось, даже настаивает на этом. И в процитированных его словах мне, например, не видится никакого намека на необходимость связи слов "гравитационное поле" с каким-то ни было силовым воздействием (силовым полем). Мне кажется, Синг имел ввиду лишь то, что риманова кривизна - полевая величина, и ответственна, в известном смысле, за особенность тех явлений, которые мы относим к гравитационным. И только.

epros в сообщении #547939 писал(а):

schekn в сообщении #547914 писал(а):

то по характеру движения двух соседних точек в одной СО можно определить есть гравитация или нет

По характеру движения соседних точек около центра массивного блина невозможно (или практически невозможно) определить отличия от линейно ускоренной СО.

"Невозможно" следует, мне кажется, зачеркнуть, все-таки. А "практически невозможно" вынести из скобок. Ваше возражение на утверждение schekn, стремящегося (в каком-то смысле и почему-то) разделить гравитацию и инерцию, в таком случае, конечно, теряет "солидность" (одно дело - невозможно и другое дело - практически). Но, зато, мне кажется, это будет, что называется корректно.

epros в сообщении #547939 писал(а):

Мне очень странно, что Вы отказываетесь считать силу, заставляющую камни падать на поверхность массивного блина, за тяготение этого блина.

В том месте, откуда schekn Вами цитируется, я не углядела именно такого его отказа.

[schekn]

[quote="epros в сообщении #547939"

Цитата:

Попробую теперь я, что ли, пообъяснять... В решении для тяготеющей плоскости никаких точек нет, ибо мы сшиваем полупространство с полупространством . В итоге метрика всего многообразия выглядит так:



(сравните с тем, что Вы написали).

В данном случае я рассматривал задачу, на которую меня отослал Someone , которая была 4 года назад (в его письме была ссылка) - это решение уравнений Гильберта-Эйнштейна в плоско-симметричном случае, а не ту, на которую Вы сейчас ссылаетесь и которая была воспроизведена подробно в этой теме. Это один из аргументов Someone, что такое решение возможно. Тут не столько даже дело в детерминанте, сколько в том, что в пустом пространстве неожиданно появилось решение с особенностью на плоскости z=0. И надо понять , что это: особенность выбора системы отсчета, или лишнее нефизическое решение.
Я понимаю, что ставлю слишком нудные условия, но если кто-то из Вас при решении уравнений Г-Э. получит тонкостенный блин конечных размеров вдоль оси z, то это меня убедит. А пока мне кажется, что это решение надо отбросить, поскольку оно из другого мира (вселенной). А в нашем мире надо оставить решение - пространство Минковского. (почему -то не отобразились формулы при копировании?)

Цитата:

По характеру движения соседних точек около центра массивного блина невозможно (или практически невозможно) определить отличия от линейно ускоренной СО. Мне очень странно, что Вы отказываетесь считать силу, заставляющую камни падать на поверхность массивного блина, за тяготение этого блина.

Я отказываюсь принять Ваш "блин" как корректное решение уравнений Гильберта-Эйнштейна.

[VladTK]

Munin в сообщении #548049 писал(а):

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

При изменении масштабного фактора температура меняется как $a^{-1}$,

Нельзя ли вот это поподробней? Пример замечательный, но мне интересно, как он будет выглядеть на стадии доминирования излучения. И на стадии доминирования тёмной энергии, если на то пошло.

Я в космологии не силен. Но насколько я понял ЛЛ-2 (текст перед формулой (114.5) ), зависимость частоты (а вместе с ней и температуры) от масштабного фактора определена изотропностью пространства-времени, а не уравнением состояния доминирующего источника гравитации. Т.е. обратная зависимость температуры от масштабного фактора останется на любой стадии. На разных стадиях меняется лишь временная зависимость масштабного фактора. Также и с объемом. Поэтому я думаю, энергия электромагнитного поля будет всегда обратно пропорциональна масштабному фактору.

dinaconst в сообщении #548117 писал(а):

А во что, по-вашему, упираются попытки объяснения?

Известно во что - в отсутствие соответствующих симметрий пространства-времени. Л.Д.Фадеев так пишет по этому поводу в своей статье "Проблема энергии в теории тяготения Эйнштейна" http://ufn.ru/ru/articles/1982/3/c/

Цитата:

Вопрос об определении основных интегралов движения — энергии, импульса и момента импульса — возник сразу после окончательной формулировки теории тяготения Эйнштейном и Гильбертом в конце 1915 г. и в существенном был решен Эйнштейном к 1918 г. (см. *). Его предложение первоначально вызвало много вопросов и возражений у современников, среди которых были Лоренц, Леви-Чивита, Шрёдингер и др . Эта дискуссия хорошо отражена в известном обзоре Паули. Однако ситуация постепенно прояснилась и сформировалась концепция, вошедшая в учебники и монографии (см., например, 2~5), которую можно сформулировать следующим образом:

1. Энергию (а также другие основные интегралы движения) гравитационного поля, взаимодействующего с системой масс и полей материи, можно ввести в случае если пространство-время асимптотически плоское, т. е. совпадает с пространством Минковского асимптотически на пространственной бесконечности.

2. Энергия гравитационного поля не локализуема, т. е. не существует однозначно определенной плотности энергии.

Асимптотическое условие пункта 1 заменяет однородность по времени в обычной релятивистской теории поля. Оно позволяет определить динамический сдвиг по времени как сдвиг относительно наблюдателя, расположенного далеко от тяготеющей материи, и связать с ним энергию.
В противоположность этому в космологических моделях нет естественного сдвига по времени и соответственно нет понятия энергии.

Собственно мой пример и возник как подтверждение этих слов Фадеева.

epros в сообщении #548212 писал(а):

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

У Петрова как раз написано то, что надо. В том числе приведено выражение для 4-импульса. Читайте - я переписывать Петрова тут не буду.

Стало быть, отказываетесь ответить на простой вопрос, прикрываясь Петровым? И это при том, что, как я подозреваю, ответ более чем строчки текста или одной формулы не заслуживает...

Да. Все сводится к одной строчке с формулами. Но как я погляжу на Вас, epros, похоже с моей стороны это пустые хлопоты.

epros в сообщении #548212 писал(а):

...Кстати, то, что написано по указанной ссылке у Петрова, с моей точки зрения А) не имеет отношения к написанному Вами, Б) в принципе правильно, В) но на самом деле является не более, чем ритуальной пляской с бубном, призванной доказать, что интеграл от псевдотензора имеет смысл (что и так понятно, без всех этих плясок).

А) Если бы Вы знали работы Фока, Вам стало бы сейчас стыдно.
Б) Безусловно.
В) Согласен насчет пляски с бубном. А вот со смыслом интеграла от псевдотензора абсолютно не согласен. Даже не уверен, что его Киллингово поле спасет.

epros в сообщении #548212 писал(а):

Пример термодинамически равновесного (квазиравновесного) излучения сам по себе крайне неудачен, ибо оное по определению связано с излучающим/поглощающим телом, так что сам факт отсутствия потоков энергии в/из данного тела в нестационарной задаче не очевиден. Поэтому и формула зависимости температуры от масштабного фактора оказывается неочевидной.

И с каким сейчас излучающим/поглощающим телом связано МФИ? Не занимайтесь ерундой. Лучше ответьте, если можете, на вопрос почему меняется энергия электромагнитного поля с изменением масштабного фактора?

epros в сообщении #548212 писал(а):

Если измеряется именно скорость относительно СО, значит есть какие-то соображения, позволяющие привязаться именно к этой СО. Например, если СО связана с макро-кластерами галактик, то у нас появляется формула, связывающая Хаббловское красное смещение с расстоянием, а значит, обнаружив отклонение данного конкретного объекта от этой формулы, мы сможем найти его радиальную скорость относительно данной СО.

Неее. Это теория, которая может оказаться весьма далекой от реалий. Я вел речь о практических возможностях наблюдателя.

epros в сообщении #548212 писал(а):

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

Между прочим, мое определение "скорости относительно СО" как скорости относительно локального наблюдателя совпадает с тем что дали Вы. Так что это отношение координат, дополненное еще отношением компонент метрического тензора, вполне корректно. Но Вы этого предпочли не заметить...

Не вижу. Я вижу только отношение каких-то координат, которые Вы взяли я не понимаю откуда.

Если интересно, то я их взял из книги И.Д.Новикова, В.П.Фролова "Физика черных дыр" (формулы (2.3.5) и (2.3.7) ). Приведенные мной формулы - это реальные скорости свободно падающей частицы, одновременно измеренные указанными наблюдателями.

Мы кстати, уклонились от первоначального вопроса, вызвавшего эту дисскусию по скорости. К чему я все это писал - а к тому что если частиц будет две и более, то как измерять их сумму квадратов "скоростей относительно СО"? Суммировать квадраты скоростей может только один наблюдатель. Но он же может реально измерить "скорость относительно СО" только одной частицы, которая пролетает мимо него. Для остальных частиц он в лучшем случае измерит только относительную скорость, которая не является "скоростью относительно СО". Туфта короче какая-то получается.

epros в сообщении #548212 писал(а):

На какие приборы? Вы же конкретно ничего не объясняете. Что именно измеряет Ваш удалённый наблюдатель? Изменение видимых угловых размеров объекта? Или Допплеровский сдвиг частоты отражённого локационного сигнала? Или что-то ещё?

Вы забыли чем мы интересуемся? Скоростью. Так что подходит любой метод ее измерения, доступный наблюдателю.

epros в сообщении #548212 писал(а):

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

Когда Вы пишите "тело отсчёта - расширяющееся" я сразу впадаю в ступор.

С чего бы это?
Вы так любите абсолютно твёрдые тела (которых, кстати, не бывает)?

Где Вы видели у меня упоминания об абсолютно твёрдом теле? Я работаю с наблюдателями СО и их размеры, форма и т.д. абсолютно не важны для той физики, которой я интересуюсь.

epros в сообщении #548212 писал(а):

Чтобы начать отсчитывать расстояния, нужно сначала построить СО на всём протяжении того пути, по которому они будут отсчитываться. Расстояния в СО Шварцшильда и расстояния в СО радиального свободного падения (radial infall) - это не одно и то же. И расстояния по экватору во вращающейся и в невращающейся СО - не одно и то же.

Я же говорю, что мы ооочень по разному понимаем термин "система отсчета". Что я понимаю под этим термином написано в книге Ю.С. Владимирова "Системы отсчета в теории гравитации". Желаете - вышлю на любой удобный для Вас адрес. Кстати, в этой книге Вы найдете очень серьезные аргументы для спора с Someone-ом по движению частиц с моментом в ОТО.

[Someone]

schekn в сообщении #547914 писал(а):

В сообщении 2008 года Вы искали плоскоско-симметричные метрики из решения уравнений Гильберта-Эйнштейна и нашли метрику когда тензор кривизны равен 0.
$ds^2= z^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$ (а).
Надо заметить, что $detg_i_k= -z^2$ и равен 0 при z=0.

Какое отношение это имеет к той метрике, которую я называл "полем гравитирующей плоскости"? Там $\det g$ не равен нулю нигде. Но обе метрики являются решением одних и тех же уравнений, что легко проверить, подставив их в уравнения, приведённые в том сообщении, на которое Вы ссылаетесь.

schekn в сообщении #548320 писал(а):

В данном случае я рассматривал задачу, на которую меня отослал Someone , которая была 4 года назад (в его письме была ссылка) - это решение уравнений Гильберта-Эйнштейна в плоско-симметричном случае, а не ту, на которую Вы сейчас ссылаетесь и которая была воспроизведена подробно в этой теме. Это один из аргументов Someone, что такое решение возможно. ... Я отказываюсь принять Ваш "блин" как корректное решение уравнений Гильберта-Эйнштейна.

То есть, Вы утверждаете, что Ваши оппоненты умышленно врут, подсовывая вместо решения уравнений ОТО произвольно придуманную метрику? А собственноручно подставить её в уравнения и проверить свои сомнения Вам слабó?

-- Ср мар 14, 2012 22:18:15 --

epros в сообщении #547160 писал(а):

Someone в сообщении #546063 писал(а):

Извините, но речь всё время идёт о точечной частице. К протяжённому телу принцип эквивалентности неприменим. Так что никаких нетривиальных распределений массы там не будет.

Точечных частиц в буквальном смысле не бывает. Есть теоретическое понятие "материальная точка" - это нечто достаточно малое сравнительно со всем, что нас интересует, и к тому же симметричное во всех смыслах, которые нас интересуют. Т.е. материальная точка - это заведомо объект с нулевым моментом импульса. Если речь о таком объекте, то у меня нет возражений против того, что он не взаимодействует с градиентами гравимагнитного поля.

Но вообще-то я говорил о частице (любой малости), обладающей ненулевым моментом импульса.

Извините, пробное тело, пробная частица - это объект, который в силу малости не влияет на исследуемое поле и не чувствует неоднородности поля (в МТУ, § 38.3, пробное тело определяется как тело, для которого, в частности, взаимодействием мультипольных моментов с неоднородностями гравитационного поля можно пренебречь). Принцип эквивалентности является локальным: речь идёт о настолько малой области, чтобы поле можно было считать однородным. В локальной лоренцевой системе отсчёта в данной точке метрика имеет вид $ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$, а все производные от $g_{ik}$ равны нулю. Откуда там градиенты? Остаются только эффекты, связанные с кривизной, но они имеют второй порядок малости по отношению к размерам области, и при достаточно малых размерах становятся не наблюдаемыми.

epros в сообщении #547160 писал(а):

Someone в сообщении #546063 писал(а):

Вайнберг в § 6 Главы 9 говорит, что такие же уравнения получаются, если рассмотреть протяжённое вращающееся тело, а затем устремить его размеры к нулю.

Устремить можно разными способами. Можно так, чтобы сохранялась угловая скорость - тогда отношение момента к массе в пределе окажется нулевым. Это соответствует частице с нулевым спином и речь не об этом. А можно так, что получится конечное отношение момента к массе. И такие - достаточно малые частицы с существенно ненулевым спином - в природе существуют.

Параграф, на который я ссылаюсь, называется "Прецессия движущегося по орбите гироскопа". Можно ли изучать прецессию гироскопа, считая его момент импульса равным нулю?

epros в сообщении #547160 писал(а):

Хочу ещё раз подчеркнуть, что если прямо утверждается, что в локальной ИСО частица со спином обязана двигаться по прямой, то я буду вынужден на это возразить, независимо от степени авторитетности учебника.

Вы неправильно понимаете принцип эквивалентности, только и всего.

epros в сообщении #547160 писал(а):

Этот случай нетрудно рассмотреть на примере двух материальных точек (малых частиц без спина), связанных почти невесомой достаточно короткой нитью.

Какое отношение это имеет к принципу эквивалентности? Никакого. Если неоднородностью поля в пределах данной системы тел пренебречь нельзя, то принцип эквивалентности к этой системе не применяется.

(Оффтоп)

Вообще, мне эта дискуссия сильно надоела. Я уже имел возможность убедиться в Вашем упрямстве, поэтому продолжать обсуждение не буду.

[dinaconst]

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

Я в космологии не силен. Поэтому я думаю, энергия электромагнитного поля будет всегда обратно пропорциональна масштабному фактору.

(Оффтоп)

Шутка.

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

dinaconst в сообщении #548117 писал(а):

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

Т.е. при возрастании/убывании масштабного фактора имеем необъяснимое изменение энергии электромагнитного поля.

А во что, по-вашему, упираются попытки объяснения?

Известно во что - в отсутствие соответствующих симметрий пространства-времени.
Л.Д.Фадеев так пишет по этому поводу в своей статье "Проблема энергии в теории тяготения Эйнштейна" http://ufn.ru/ru/articles/1982/3/c/

Цитата:

Однако ситуация постепенно прояснилась и сформировалась концепция, вошедшая в учебники и монографии (см., например, 2~5), которую можно сформулировать следующим образом:
1. Энергию (а также другие основные интегралы движения) гравитационного поля, ...
2. Энергия гравитационного поля ...

Собственно мой пример и возник как подтверждение этих слов Фадеева.

У Фаддеева про гравитацию, а у Вас про "необъяснимое изменение энергии электромагнитного поля". По-этому, ход вашей мысли мне не очень ясен.

(Оффтоп)

Несмотря на то, что в космологии я тоже ни бум-бум.

Но, при всем - при том, мне думается, что объяснение вашего
"необъяснимого" следует искать именно в масштабных особенностях пространства-времени.

[Someone]

VladTK в сообщении #548043 писал(а):

Возьмем, например, микроволновое фоновое излучение (МФИ). Плотность энергии такого электромагнитного поля, согласно закону Стефана-Больцмана, пропорциональна $T^4$, где $T$ - температура излучения. Энергия излучения в объеме $V$ пропорциональна $V T^4$. При изменении масштабного фактора температура меняется как $a^{-1}$, а объем как $a^{3}$. Таким образом, энергия поля в объеме $V$ пропорциональна $a^{-1}$. Т.е. при возрастании/убывании масштабного фактора имеем необъяснимое изменение энергии электромагнитного поля.

Чего там "необъяснимого"? Представьте себе невесомую замкнутую оболочку, внутри которой заключено тепловое излучение, находящееся в равновесии с оболочкой. Излучение, как известно, оказывает давление на оболочку. Если оболочка расширяется, то излучение совершает работу и охлаждается. Теперь вообразите, что вся расширяющаяся Вселенная разгорожена такими оболочками на малые области, расширяющиеся пропорционально масштабному фактору. Тогда внутри каждой области излучение будет расширяться и охлаждаться.

-- Ср мар 14, 2012 23:30:19 --

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

Я в космологии не силен. Но насколько я понял ЛЛ-2 (текст перед формулой (114.5) ), зависимость частоты (а вместе с ней и температуры) от масштабного фактора определена изотропностью пространства-времени, а не уравнением состояния доминирующего источника гравитации.

Зависимость плотности энергии от масштабного фактора определяется уравнением состояния. Для пыли (давление равно нулю) получается $\varepsilon a^3=\mathrm{Const}$, для излучения (давление равно $\frac{\varepsilon}3$) получается $\varepsilon a^4=\mathrm{Const}$. В первом случае пыль при расширении не совершает работы, так как давление равно нулю, и плотность падает обратно пропорционально объёму, а во втором случае расширяющееся излучение совершает работу, и плотность падает быстрее.

[Munin]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #548387 писал(а):

Вообще, мне эта дискуссия сильно надоела. Я уже имел возможность убедиться в Вашем упрямстве, поэтому продолжать обсуждение не буду.

Могу попкорном поделиться.

Someone в сообщении #548427 писал(а):

В первом случае пыль при расширении не совершает работы, так как давление равно нулю, и плотность падает обратно пропорционально объёму, а во втором случае расширяющееся излучение совершает работу, и плотность падает быстрее.

Вот оно что. Врубился. То есть уравнение состояния самого излучения играет роль, так? Логично.

[Paganel]

Я как-то не так представляю себе поле гравитирующей плоскости. Решение, сконструированное Someone в посте post541454.html#p541454, мне не нравится, и сейчас я объясню - почему.

Давайте посмотрим на источник поля, т.е. на тензор энергии-импульса $T_{ij} = R_{ij} - \frac{R}{2}g_{ij}$. Этот источник локализован в плоскости $z=0$ и пропорционален $\delta(z)$. В классе метрик

$$ds^2 = e^\lambda dt^2 - e^\mu (dx^2+dy^2) - e^\nu dz^2,$$

где функции $\lambda$, $\mu$ и $\nu$ зависят только от $z$, при $z=0$ обращаются в 0 и испытывают там скачок первой производной, сингулярная часть $T_{ij}$ определяется членами $T_{00} = -\mu''$ и $T_{11} = T_{22} = \frac{1}{2}(\lambda'' + \mu'')$ (последняя неисчезающая компонента тензора $T_{33}$ при $z=0$ не сингулярна). Соответственно, сингулярная часть шпура этого тензора равна $T = -\lambda'' - 2\mu''$.

Для решения (6) Someone с $\mu=0$,

$$ds^2 = (1+g|z|)^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2,$$

плотность энергии $T_{00}$ равна нулю. От нуля отличны только натяжения $T_{11} = T_{22} = 2g\delta(z)$ (положительное давление). Шпур такого тензора $T = -4g\delta(z)$ отрицателен (если $g>0$). Кажется, считается, что источников с такими характеристиками не существует. По этой причине решение Someone, хотя и удовлетворяет уравнениям поля, вряд ли может рассматриваться как поле притяжения материальных тел, рассредоточенных на плоскости. (Оно может описывать антигравитационный случай при $g<0$ ?!).

Второе решение, выписанное Someone в посте post130377.html#p130377 (вслед за Таубом), но впоследствии отброшенное, отвечает (в немного других обозначениях)

$$ds^2 = \frac{dt^2 - dz^2}{\sqrt{1-4g|z|}} - (1-4g|z|) (dx^2 + dy^2).$$

Его отличие от (6) при малых $z$ состоит в наличии ненулевого $\mu$. Благодаря этому отмеченные неправильности в $T_{ij}$ исчезают. Теперь плотность энергии $T_{00} = 8g\delta(z)$ величина положительная. Натяжения $T_{11} = T_{22} = -2g\delta(z)$ имеют знак отрицательного давления, которое не разрушает положительность шпура $T = 12g\delta(z)$.

Я бы предпочел думать о гравитирующей плоскости как о генераторе поля во втором варианте, в варианте с положительной плотностью энергии. Это поле описывает внутренность черной дыры, охватывающей плоскость с двух сторон, с горизонтами, расположенными при $z=\pm 1/4g$. Это даже не горизонт, а просто граница мира, за которой ничего нет.

[Someone]

Paganel в сообщении #548450 писал(а):

Давайте посмотрим на источник поля, т.е. на тензор энергии-импульса...

Я в курсе, что источник в этом решении весьма экзотический (мне почему-то кажется, что этот вопрос даже где-то обсуждался с моим участием, причём, мне такой источник сильно не нравился, как и Вам сейчас; но я не нашёл это обсуждение), но мы ведь не собираемся реально строить эту самую бесконечную плоскость. Это просто пример решения, в котором кривизна пространства-времени всюду вне источника равна нулю, хотя гравитационное поле по своим проявлениям явно "настоящее".

[epros]

schekn в сообщении #548320 писал(а):

Я понимаю, что ставлю слишком нудные условия, но если кто-то из Вас при решении уравнений Г-Э. получит тонкостенный блин конечных размеров вдоль оси z, то это меня убедит. А пока мне кажется, что это решение надо отбросить, поскольку оно из другого мира (вселенной).

Я Вам приводил пример метрики:

$ds^2 = (|z|+1)^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$

которая является решением уравнений ОТО для ТЭИ равного нулю повсюду, кроме плоскости $z=0$, в чём можно убедиться непосредственным вычислением.

Почему мы должны "отбрасывать" это решение? Его смысл в том, что оно с хорошим приближением описывает тонкий блин большого радиуса: Чем тоньше блин и чем больше его радиус, тем лучше приближение.

schekn в сообщении #548320 писал(а):

Я отказываюсь принять Ваш "блин" как корректное решение уравнений Гильберта-Эйнштейна.

Это почему же? Я что, должен Вам расписать точное уравнение для блина конечной толщины и радиуса, чтобы Вы поверили в то, что такое решение действительно имеет место? Не смотря на то, что оно, скорее всего, не выражается в аналитической форме, т.е. может исследоваться только численными методами?

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

Да. Все сводится к одной строчке с формулами. Но как я погляжу на Вас, epros, похоже с моей стороны это пустые хлопоты.

А Вы бы не "глядели", а просто записали эту формулу, да и все дела. Ибо я не понимаю, как Вы собираетесь получить вектор интегральной энергии-импульса из поля $T^{i j} \xi_j$. По моим понятиям $P^i = \int\limits^{}_{V} T^{i j} dV_i = \int\int\int T^{i j} e_{j 1 2 3} dx^1 dx^2 dx^3$, где $e_{j k l m}$ - символ Леви-Чивиты. Я вижу аналог этого интеграла в том месте у Петрова, на которое Вы дали ссылку, но я не понимаю, куда мне пристягнуть этот интеграл к Вашему полю $T^{i j} \xi_j$.

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

А) Если бы Вы знали работы Фока, Вам стало бы сейчас стыдно.

Я знаю, что Фок не очень понимал и не любил ОТО. Так что вместо ссылок на авторитет его работ, лучше бы Вы ответили мне и всё. Мы тут что "крутизной" меряемся или может быть всё же просто стараемся прийти к какому-то взаимопониманию?

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

В) Согласен насчет пляски с бубном. А вот со смыслом интеграла от псевдотензора абсолютно не согласен.

Слова про смысл (точнее, он использовал слово "роль") - Петрова, а не мои.

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

И с каким сейчас излучающим/поглощающим телом связано МФИ?

Это Вы сами себе что ли вопрос задаёте? Формулу Больцмана - применимую только для равновесного излучения - употребили Вы, а не я. Напоминаю, что плотность энергии излучения меняется с температурой (по четвёртой степени) именно из-за постоянного поглощения/переизлучения.

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

Неее. Это теория, которая может оказаться весьма далекой от реалий. Я вел речь о практических возможностях наблюдателя.

О каких именно практических возможностях? Вы же ничего конкретного не говорите. Это я как раз сказал о практических возможностях - измерить красное смещение.

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

Если интересно, то я их взял из книги И.Д.Новикова, В.П.Фролова "Физика черных дыр" (формулы (2.3.5) и (2.3.7) ). Приведенные мной формулы - это реальные скорости свободно падающей частицы, одновременно измеренные указанными наблюдателями.

Конкретнее пожалуйста. Что такое "реальные скорости"? Я ранее определял скорость как отношение пройденного расстояния $\sqrt{(\frac{g_{0 \alpha} g_{0 \beta}}{g_{0 0}} - g_{\alpha \beta}) dx^{\alpha} dx^{\beta}}$ к промежутку местного времени $\sqrt{g_{0 0}} dx^0$. И эта величина очевидным образом от точки наблюдения не зависит. Если же наблюдатель "реально измеряет" что-то другое, то это означает, что он что-то другое понимает под "скоростью".

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

Но он же может реально измерить "скорость относительно СО" только одной частицы, которая пролетает мимо него. Для остальных частиц он в лучшем случае измерит только относительную скорость, которая не является "скоростью относительно СО".

Нет, это неверно. До наблюдателя доходят сигналы об удалённых событиях и, анализируя их, он в состоянии делать выводы о том, что там происходит. Просто выводы о значении тех или иных величин нужно делать в соответствии с правильными определениями этих величин.

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

Вы забыли чем мы интересуемся? Скоростью. Так что подходит любой метод ее измерения, доступный наблюдателю.

Нет, не любой. Нужно указать что-то конкретное. А если любой, то эдак можно измерить отношение количества раздавленных тараканов к количеству ударов сердца.

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

Где Вы видели у меня упоминания об абсолютно твёрдом теле? Я работаю с наблюдателями СО и их размеры, форма и т.д. абсолютно не важны для той физики, которой я интересуюсь.

А что тогда вызывает у Вас ступор? Вы возражаете против того, что тело отсчёта может быть пространственно распределённым? Или против чего?

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

Я же говорю, что мы ооочень по разному понимаем термин "система отсчета". Что я понимаю под этим термином написано в книге Ю.С. Владимирова "Системы отсчета в теории гравитации". Желаете - вышлю на любой удобный для Вас адрес.

В рабочее время у меня нет удобного адреса Лучше попробуйте изложить Ваше понимание здесь (можно - цитатами из Владимирова, только объяснений этих цитат я жду от Вас, а не от Владимирова). У меня есть сильное подозрение, что имеет место одно из двух:
1) Либо на самом деле мы говорим об одном и том же.
2) Либо кто-то чего-то не понял.


По моим понятиям попытки в общем случае в задачах ОТО (включая нестационарные решения) построить какие-то жёсткие СО, стараясь как-то зафиксировать расстояния до наблюдателя, заведомо бесперспективны. СО должна быть связана с пространственно-распределённым телом отсчёта, на движение частей которого вообще говоря не накладывается никаких специфических ограничений. А уже после того, как мы определились с телом отсчёта и с понятием "одновременности", можно начинать измерять расстояния и промежутки времени.

[VladTK]

dinaconst в сообщении #548421 писал(а):

У Фаддеева про гравитацию, а у Вас про "необъяснимое изменение энергии электромагнитного поля". По-этому, ход вашей мысли мне не очень ясен.

У Фадеева про определение энергии в псевдоримановом пространстве-времени! В том числе и про энергию электромагнитного поля. Поймите, в космологических моделях нет понятия энергии. Уже одно это делает все попытки придать смысл псевдотензору в общем случае бессмысленными. Какие-то частные случаи, типа ассимптотически плоских пространств или пространств с симметриями, еще возможно описать таким образом. Да и то с серьезными оговорками.

Someone в сообщении #548427 писал(а):

Чего там "необъяснимого"? Представьте себе невесомую замкнутую оболочку, внутри которой заключено тепловое излучение, находящееся в равновесии с оболочкой. Излучение, как известно, оказывает давление на оболочку. Если оболочка расширяется, то излучение совершает работу и охлаждается. Теперь вообразите, что вся расширяющаяся Вселенная разгорожена такими оболочками на малые области, расширяющиеся пропорционально масштабному фактору. Тогда внутри каждой области излучение будет расширяться и охлаждаться.

Когда есть оболочка, Вы безусловно правы. А когда ее нет? Над чем (или против чего) совершает работу излучение в этом случае?

Someone в сообщении #548427 писал(а):

Зависимость плотности энергии от масштабного фактора определяется уравнением состояния. Для пыли (давление равно нулю) получается $\varepsilon a^3=\mathrm{Const}$, для излучения (давление равно $\frac{\varepsilon}3$) получается $\varepsilon a^4=\mathrm{Const}$. В первом случае пыль при расширении не совершает работы, так как давление равно нулю, и плотность падает обратно пропорционально объёму, а во втором случае расширяющееся излучение совершает работу, и плотность падает быстрее.

Простите, что-то туплю, как зависимость плотности энергии от масштабного фактора определяется уравнением состояния? Уравнение состояния определяет зависимость давления от плотности энергии $p=p(\varepsilon)$. Как отсюда получить зависимость плотности энергии о масштабного фактора? Через первое начало?

Paganel в сообщении #548450 писал(а):

...Второе решение, выписанное Someone в посте post130377.html#p130377 (вслед за Таубом), но впоследствии отброшенное, отвечает (в немного других обозначениях)

$$ds^2 = \frac{dt^2 - dz^2}{\sqrt{1-4g|z|}} - (1-4g|z|) (dx^2 + dy^2).$$

...

Вы не могли бы показать как Вы получили эту метрику? В ней нет ошибки?

Paganel в сообщении #548450 писал(а):

...Я бы предпочел думать о гравитирующей плоскости как о генераторе поля во втором варианте, в варианте с положительной плотностью энергии. Это поле описывает внутренность черной дыры, охватывающей плоскость с двух сторон, с горизонтами, расположенными при $z=\pm 1/4g$. Это даже не горизонт, а просто граница мира, за которой ничего нет.

Это не горизонт и не граница мира. Просто Ваше преобразование координат не описывает все исходное пространство. Вообще, мне почему-то кажется что второе решение Someone-а относится не к гравитирующей плоскости, а к гравитирующему полупространству.

epros, я отвечу Вам позже.

[epros]

Someone в сообщении #548387 писал(а):

Извините, пробное тело, пробная частица - это объект, который в силу малости не влияет на исследуемое поле и не чувствует неоднородности поля (в МТУ, § 38.3, пробное тело определяется как тело, для которого, в частности, взаимодействием мультипольных моментов с неоднородностями гравитационного поля можно пренебречь).

Под ТАКОЕ определение пробного тела частица с ненулевым спином не подходит. Так что не нужно утверждать, что из принципа эквивалентности якобы следует, что частица со спином обязана двигаться по геодезической.

Someone в сообщении #548387 писал(а):

Откуда там градиенты?

Я исчерпывающим образом объяснил, о градиентах ЧЕГО идёт речь: О градиентах гравимагнитного поля (кое определяется соответствующими символами Кристоффеля). Так что речь идёт о ВТОРЫХ производных метрики по координатам. См. определение локальной ИСО и убедитесь, что обнуление этих величин в локальной ИСО не обещано. Если Вам случайно удастся продемонтрировать, что в решении Керра переходом в локальную ИСО удастся устранить ГРАДИЕНТЫ гравимагнитных сил, то ... я просто вынужден буду Вам аплодировать.

Someone в сообщении #548387 писал(а):

Параграф, на который я ссылаюсь, называется "Прецессия движущегося по орбите гироскопа". Можно ли изучать прецессию гироскопа, считая его момент импульса равным нулю?

Я не понял, против чего Вы возражаете? Я ничего не имею против прецессии гироскопа под действием гравитационного поля. И формула для изменения спина в связи с наличием соответствующих ненулевых символов Кристоффеля (это и есть гравимагнитные силы) - тоже правильная. Но вывод о том, что объект с ненулевым спином движется по геодезической - неправильный.

Someone в сообщении #548387 писал(а):

Какое отношение это имеет к принципу эквивалентности? Никакого. Если неоднородностью поля в пределах данной системы тел пренебречь нельзя, то принцип эквивалентности к этой системе не применяется.

Вопрос был в том, применяется ли соответствующая "формулировка принципа эквивалентности" (о том, что пробная частица движется по геодезической) к частице со спином или нет.

Someone, Вы меня иногда просто удивляете своей неготовностью к конструктивному обсуждению некоторых дискуссионных вопросов.