К вопросу о неравенстве инертной и гравитационной массы

[Munin]

VladTK в сообщении #546939 писал(а):

Слагаемое... относится не к правой, а к левой части этого уравнения.

Этому утверждению можно придать какой-нибудь содержательный смысл?

[dinaconst]

Someone в сообщении #546926 писал(а):

Если $f^k$ - 4-сила, то почему $f_g^k=-m\Gamma^k_{ij}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}$ - не 4-сила?

Someone в сообщении #547037 писал(а):

Виноват, неправильно спросил. И, конечно, имел в виду не Вас.
Вопрос имелся в виду такой: если $f^k$ - сила, то почему $f_g^k$ - не сила?

Вопрос, похоже, был мне. Я "усредняю" ваш вопрос по двум вашим вариантам. Получается, вроде бы, так: если $f^k$ - 4-сила, то почему $f_g^k=-m\Gamma^k_{ij}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}$ - не сила, пусть и не 4-х?
Как ответить на такой вопрос? Не знаю. Только, если вопросом на вопрос - а почему сила?

Someone в сообщении #547037 писал(а):

А "фиктивная" она или "не фиктивная" - это менее существенно, чем кажется.

Получается, вроде бы, что ее фиктивность Вы признаете, но не считаете это существенным. Наверное, так можно смотреть на это дело. Но смотрите, что у меня получается из наших последних обсуждений.
Я уточнения VladTK в ваш адрес считаю вполне своевременными. Но делая эти уточнения, он, по моим представлениям, наступает, как говорится, на горло собственной песне: с одной стороны объявляет фиктивность $f_g^k$ как силы, с другой стороны, говоря о воздействии гравитации на физические системы, связывает это воздействие, как я понимаю, именно с $f_g^k$. Я, с одной стороны, вроде бы, понимаю, что под воздействием гравитации или отсутствием такого воздействия, он, по-видимому, имеет в виду наличие или отсутствие $f_g^k$ в соответствующих уравнениях и более ничего. С другой стороны, я совершенно не понимаю, зачем вообще связывать $f_g^k$ с каким-то воздействием какой-то гравитации? Что это дает? Какой в этом смысл? Ваша позиция в этом вопросе, на мой взгляд, более "радикальна". Вы, как я понимаю, трактуете $f_g^k$ как силу. Причем силу, не существенно отличающуюся от $f^k$. Но, ведь, в уравнении

$$m\frac{d^2x^k}{ds^2}=-m\Gamma^k_{ij}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^j}{ds}+f^k,$$

наличие или отсутствие $f^k$ соответствует разным физическим ситуациям, а наличие или отсутствие $f_g^k$ означает лишь "баловство" с координатами.
В общем, я в тупике. Почему гравитационные явления нельзя не связывать ни с какой-либо силой, ни с каким-либо воздействием на физические системы? Чем это грозит?

-- Вс мар 11, 2012 01:33:16 --

VladTK в сообщении #546939 писал(а):

В первом случае (при выключенном гравитацинном взаимодействии Земли и спутника) спутник летит прямолинейно и равномерно по геодезической пространства-времени Минковского (как и Земля).

Поняла, поняла.

VladTK в сообщении #546939 писал(а):

dinaconst в сообщении #546895 писал(а):

Эти слова, как я считаю, только символизируют переход от рассмотрения одних геометрических условий к рассмотрению других.

Слова "включение" и т.д. действительно должны быть в кавычках, поскольку ничего подобного в реальности мы проделать не можем. Но чисто математически это вполне себе понятная процедура.

Если под гравитационным воздействием Вы предлагаете понимать связь метрики и выбора СК с кинематикой свободного пробного тела, то все свои непонятки к Вам я отзываю.

[VladTK]

Munin в сообщении #547125 писал(а):

VladTK в сообщении #546939 писал(а):

Слагаемое... относится не к правой, а к левой части этого уравнения.

Этому утверждению можно придать какой-нибудь содержательный смысл?

Думаю, да. В пространстве-времени Минковского в полевой формулировке ОТО удается отделить эффекты инерции от гравитации. Эффекты инерции (определяемые как раз $f^k_g$) относятся при этом к левой части уравнений движения частицы, а в правой части остается гравитационная 4-сила. Эта сила является истинным общековариантным 4-вектором и ортогональна 4-скорости. У меня есть статейка по этому поводу.

Замечу, что я слегка обманул dinaconst когда написал "...Но вид уравнения движения от этого не меняется. Меняется смысл связностей..." Строго говоря, при переходе от Минковского к Риману происходит не только замена связностей, но и замена 4-скоростей. Действительно, по определению 4-скорости

$$ u^k=\frac{dx^k}{ds} $$

Но в пространстве-времени Минковского

$$ ds^2=\eta_{ik} dx^i dx^k $$

а в Римане

$$ ds^2=g_{ik} dx^i dx^k $$

т.е. мы имеем разные элементы интервала. Соответственно и 4-скорости в разных пространствах у одной и той же частицы разные. Между этими 4-скоростями имеется простая взаимосвязь, выявляемая в полевой гравитации.

[VladTK]

Кстати, по вопросу с MOND. Я думаю здесь еще далеко от полной ясности кто прав. Вот Abell 520 - пример, трудно объяснимый для темной материи:
http://www.nasa.gov/mission_pages/hubble/science/dark-matter-core.html

[В. Войтик]

Someone в сообщении #547037 писал(а):

Вопрос имелся в виду такой: если $f^k$ - сила, то почему $f_g^k$ - не сила?
А "фиктивная" она или "не фиктивная" - это менее существенно, чем кажется.

$u_{k}f^k=0$ , а $u_{k}f_g^k \ne 0$

-- Вс мар 11, 2012 09:56:45 --

VladTK в сообщении #546413 писал(а):

Допустим у нас есть другой наблюдатель (СО-2), в другой точке пространства. Причем измерения первого наблюдателя показывают, что координаты второго наблюдателя неизменны во времени. Скажите, как второй наблюдатель соотносится с СО-1 первого наблюдателя? Т.е. СО-1 и СО-2 это разные СО или одна и та же?

Вопрос не ко мне, но попытаюсь ответить. В общем случае - разные. Хотя бы потому, что второй наблюдатель находясь в одном положении в системе координат первого наблюдателя, может иметь произвольное собственное вращение.

[epros]

Someone в сообщении #546063 писал(а):

Извините, но речь всё время идёт о точечной частице. К протяжённому телу принцип эквивалентности неприменим. Так что никаких нетривиальных распределений массы там не будет.

Точечных частиц в буквальном смысле не бывает. Есть теоретическое понятие "материальная точка" - это нечто достаточно малое сравнительно со всем, что нас интересует, и к тому же симметричное во всех смыслах, которые нас интересуют. Т.е. материальная точка - это заведомо объект с нулевым моментом импульса. Если речь о таком объекте, то у меня нет возражений против того, что он не взаимодействует с градиентами гравимагнитного поля.

Но вообще-то я говорил о частице (любой малости), обладающей ненулевым моментом импульса.

Someone в сообщении #546063 писал(а):

Вайнберг в § 6 Главы 9 говорит, что такие же уравнения получаются, если рассмотреть протяжённое вращающееся тело, а затем устремить его размеры к нулю.

Устремить можно разными способами. Можно так, чтобы сохранялась угловая скорость - тогда отношение момента к массе в пределе окажется нулевым. Это соответствует частице с нулевым спином и речь не об этом. А можно так, что получится конечное отношение момента к массе. И такие - достаточно малые частицы с существенно ненулевым спином - в природе существуют.

Хочу ещё раз подчеркнуть, что если прямо утверждается, что в локальной ИСО частица со спином обязана двигаться по прямой, то я буду вынужден на это возразить, независимо от степени авторитетности учебника. Этот случай нетрудно рассмотреть на примере двух материальных точек (малых частиц без спина), связанных почти невесомой достаточно короткой нитью. Если эту систему раскрутить до достаточно больших угловых скоростей, то мы получим модель частицы со спином. В ИСО на каждую из пары этих материальных точек действует только сила натяжения нити, система в целом оказывается неподвижной. Но если Вы рассмотрите гравимагнитное поле, нулевое в центре, но с ненулевым градиентом (СО при этом не перестанет быть локально инерциальной!), то Вы убедитесь, что на систему будет действовать несбалансированная сила. И формула для этой силы полностью эквивалентна формуле для силы, с которой градиент поля (электрического или магнитного) действует на диполь (соответственно, электрический или магнитный).

Обратите внимание: Из той самой формулы движения материальной точки в гравитационном поле, которую Вы полагаете применимой к любой частице, получается, что центр вращающейся системы из двух материальных точек движется НЕ в соответствии с этой формулой. Даже не смотря на то, что размеры системы сколь угодно малы.

Munin в сообщении #546094 писал(а):

Что частицы со спином ведут себя, как Someone формулами написал, а не как вы без формул заливаете.

Ну, ну. Посмотрим, до чего может довести аргументация с помощью цитирования учебников, без подключения мыслительного процесса.

schekn в сообщении #546077 писал(а):

Цитата:

3) Сопоставив (1) и (2), можем ли мы сделать вывод, что около центра блина с высокой точностью "сил гравитации" нет, а есть только "силы инерции"?

С определенной степени точности.

Мне очень странно думать, что ускорение свободного падения в сторону центра массивного блина на 99.99% обусловлено какими-то силами инерции, но не тяготением блина. Получается, что сил тяготения по Вашим понятиям в природе вовсе не бывает?

[В. Войтик]

epros в сообщении #547160 писал(а):

Обратите внимание: Из той самой формулы движения материальной точки в гравитационном поле, которую Вы полагаете применимой к любой частице, получается, что центр вращающейся системы из двух материальных точек движется НЕ в соответствии с этой формулой. Даже не смотря на то, что размеры системы сколь угодно малы.

Вообще говоря странно получается. В одном и том же месте находятся две частицы. Одна из них обладает внутренним моментом, а другая - нет. Данные частицы двигаются разным образом.

-- Вс мар 11, 2012 10:27:23 --

Можно ли сделать отсюда вывод, что движение частицы определяется не геометрией, а физическим полем?

[epros]

В. Войтик в сообщении #547161 писал(а):

Вообще говоря странно получается. В одном и том же месте находятся две частицы. Одна из них обладает внутренним моментом, а другая - нет. Данные частицы двигаются разным образом.

Это не странно, поскольку аккуратной формулировке принципа эквивалентности это не противоречит.

В. Войтик в сообщении #547161 писал(а):

Можно ли сделать отсюда вывод, что движение частицы определяется не геометрией, а физическим полем?

Геометрия и физическое поле - это два разных описания одного и того же. Корректная формулировка принципа эквивалентности как раз и говорит об этом: Что поле сил тяготения эквивалентно полю сил инерции. Силы инерции - это то, что по определению устранимо выбором СО. Но эта устранимость, вообще говоря, только точечная. Если мы определим поле таких сил, то нельзя утверждать, что его можно будет всюду устранить одним преобразованием. Это поле и будет "гравитацией".

[VladTK]

В. Войтик в сообщении #547157 писал(а):

Вопрос не ко мне, но попытаюсь ответить. В общем случае - разные. Хотя бы потому, что второй наблюдатель находясь в одном положении в системе координат первого наблюдателя, может иметь произвольное собственное вращение.

Подразумевается, что постоянны все координаты второго наблюдателя, характеризующие его механическое движение. Т.е. второй наблюдатель находится в состоянии покоя относительно первого наблюдателя (ну и наоборот). Относятся ли эти наблюдатели к одной СО?

[epros]

VladTK в сообщении #546413 писал(а):

Даже в пространстве-времени Минковского тензоры из разных точек, строго говоря, несоизмеримы (в произвольных координатах).

Соизмеримы в том смысле, что можно перенести их в одну точку и проверить, равны они или нет. Этот механизм приобретает ценность в криволинейных координатах, когда покомпонентное сравнение теряет смысл.

VladTK в сообщении #546413 писал(а):

Существование 10 векторных полей Киллинга в Минковском обеспечивает нас возможностью "оскалярить" интегральные законы сохранения и, таким образом, снять проблему несоизмеримости.

Уточните пожалуйста, что Вы собиратетесь "оскалярить"? Энергия и импульс в пространстве Минковского, насколько я помню, описываются компонентами вектора, а не скалярами. Рассчитывая интегральную энергию, Вы на самом деле складываете не скаляры, а нулевые компоненты векторов, заданных в разных точках.

Это я к тому, что раз уж Вам удалось "оскалярить" такую вещь, то почему бы нам не "оскалярить" квадраты трёхмерных скоростей относительно заданного тела отсчёта? По крайней мере, в отличие от энергии, эта величина ни от чего не зависит.

VladTK в сообщении #546413 писал(а):

epros, терминология ОТО давно устоялась и не нужно придумывать здесь что-то свое.

Вы же и демонстрируете, что оказывается не для всех устоялась. Меня, например, не удивляет, что если никаких сил на пробные частицы не действует, то и энергия поля в даной СО равна нулю. То, что могут быть какие-то иные проявления метрических свойств пространства-времени, никого ни к чему не обязывает. Хотите называть эти проявления "гравитацией" - пожалуйста, я не против. Но ниоткуда не следует, что такая "гравитация" обязана обладать энергией.

VladTK в сообщении #546413 писал(а):

Хуже всего, то что я Вас продолжаю не понимать. Нельзя ли поразвернутей с формулами.

Что там развёртывать? Я же сказал, что уравнения поля (Эйнштейна) менять не надо. Вы же не меняете уравнения Максвелла, если Вам придёт в голову идея добавить к вектору Пойнтинга некий бездивергентный поток энергии? Вот, скажем, Вы хотите добавить к энергии-импульсу тяготеющей материи некую величину $X^{ijk}_{,k}$. Т.е. теперь за энергию-имульс вещества мы считаем не $T^{ij}$, а $T^{ij} + X^{ijk}_{,k}$. Пожалуйста, никаких проблем. Только не надо при этом менять уравнения Эйнштейна. Если Вас смущает, что в правой части стоит не та величина, то запишите их в такой форме:

$R^{ij} - \frac{1}{2} g^{ij} R + X^{ijk}_{,k} = T^{ij} + X^{ijk}_{,k}$

Теперь в правой части стоит "правильная" величина.

VladTK в сообщении #546413 писал(а):

Из Вашего ответа следует, что Вы подходите к СО с локальной позиции в следующем смысле. Есть наблюдатель, с которым связана СО (СО-1), и он производит все измерения.

Странные выводы. Я бы сказал наоборот: что я подхожу к понятию СО с "глобальной позиции". Т.е. есть некое пространственно распределённое тело отсчёта (возможно, воображаемое), которое совместно с процедурой определения "одновременности" и определяет СО. Когда мы говорим, что "наблюдатель связан с СО", то имеем в виду всего лишь, что оный локальный объект неподвижен относительно данного тела отсчёта.

VladTK в сообщении #546413 писал(а):

Допустим у нас есть другой наблюдатель (СО-2), в другой точке пространства. Причем измерения первого наблюдателя показывают, что координаты второго наблюдателя неизменны во времени. Скажите, как второй наблюдатель соотносится с СО-1 первого наблюдателя? Т.е. СО-1 и СО-2 это разные СО или одна и таже?

Судя как Вы описали, одна и та же. Но вообще-то с одним наблюдателем может быть связана не одна СО. Хотя для большинства локальных задач различия несущественны.

(Оффтоп)

VladTK в сообщении #546413 писал(а):

P.S. Кстати, если есть проблема с первоисточниками, обращайтесь. У меня есть Ваш адрес на яндексе, так что если надо - сброшу на мыло того же Вайнберга.

Увы, корпоративный емейл тоже под контролем политик безопасности.

[В. Войтик]

epros в сообщении #547166 писал(а):

Геометрия и физическое поле - это два разных описания одного и того же.

Под "физическим полем" я подразумеваю поле обладающее истинным тензором энергии-импульса. В этом я согласен с VladТК.

epros в сообщении #547166 писал(а):

Корректная формулировка принципа эквивалентности как раз и говорит об этом: Что поле сил тяготения эквивалентно полю сил инерции. Силы инерции - это то, что по определению устранимо выбором СО. Но эта устранимость, вообще говоря, только точечная. Если мы определим поле таких сил, то нельзя утверждать, что его можно будет всюду устранить одним преобразованием. Это поле и будет "гравитацией".

Да, конечно вы правы. Но принцип локальной эквивалентности справедлив даже для физического электромагнитного поля, которое, разумеется, не сводится к геометрии. Тогда почему гравитационное поле должно сводится к геометрии?

-- Вс мар 11, 2012 13:07:24 --

VladTK в сообщении #547175 писал(а):

Подразумевается, что постоянны все координаты второго наблюдателя, характеризующие его механическое движение. Т.е. второй наблюдатель находится в состоянии покоя относительно первого наблюдателя (ну и наоборот). Относятся ли эти наблюдатели к одной СО?

Поскольку жёсткие системы отсчёта характеризуются собственным ускорением и угловой скоростью начала отсчёта, то наверное всё-таки нет, поскольку у второго наблюдателя свои собственное ускорение и собственная угловая скорость.

-- Вс мар 11, 2012 13:21:59 --

epros в сообщении #547205 писал(а):

Если Вас смущает, что в правой части стоит не та величина, то запишите их в такой форме:
$R^{ij} - \frac{1}{2} g^{ij} R + X^{ijk}_{,k} = T^{ij} + X^{ijk}_{,k}$
Теперь в правой части стоит "правильная" величина.

А разве существует такая метрика $g'_{ik}$, которая удовлетворяет
$R^{ij} - \frac{1}{2} g^{ij} R + X^{ijk}_{,k} = R'^{ij} - \frac{1}{2} g'^{ij} R'$

[epros]

В. Войтик в сообщении #547212 писал(а):

Но принцип локальной эквивалентности справедлив даже для физического электромагнитного поля, которое, разумеется, не сводится к геометрии.

Не понял. В каком это смысле?

В. Войтик в сообщении #547212 писал(а):

А разве существует такая метрика $g'_{ik}$, которая удовлетворяет
$R^{ij} - \frac{1}{2} g^{ij} R + X^{ijk}_{,k} = R'^{ij} - \frac{1}{2} g'^{ij} R'$

Зачем это? Добавление "виртуальных" (бездивергентных) потоков энергии-импульса не должно никак отражаться на решениях уравнений поля, т.е. на метрике. При этом левая часть уравнений как раз может меняться как угодно.

[В. Войтик]

epros в сообщении #547233 писал(а):

В. Войтик в сообщении #547212 писал(а):

Но принцип локальной эквивалентности справедлив даже для физического электромагнитного поля, которое, разумеется, не сводится к геометрии.

Не понял. В каком это смысле?

Сформулирую этот принцип таким образом. Поведение системы заряженных частиц с одинаковым отношением $e/m$ в однородном электромагнитном поле точно такое же как и в некоторой жёсткой неинерциальной системе отсчёта, с соответственно подобранным собственным ускорением и собственной угловой скоростью. Например если электромагнитное поле представляет собой однородное магнитное поле, то собственная угловая скорость равна
$\Omega=\frac{eH}{2mc}$.
Данное обстоятельство давно известно. Вспомните так называемую теорему Лармора.

epros в сообщении #547233 писал(а):

В. Войтик в сообщении #547212 писал(а):

А разве существует такая метрика $g'_{ik}$, которая удовлетворяет
$R^{ij} - \frac{1}{2} g^{ij} R + X^{ijk}_{,k} = R'^{ij} - \frac{1}{2} g'^{ij} R'$

Зачем это? Добавление "виртуальных" (бездивергентных) потоков энергии-импульса не должно никак отражаться на решениях уравнений поля, т.е. на метрике. При этом левая часть уравнений как раз может меняться как угодно.

Вы наверное хотели сказать «дивергентных», т.е. тех, которых можно представить в виде некой дивергенции.
Тогда всё равно не понял. Почему не должно отражаться?

-- Вс мар 11, 2012 15:08:06 --

epros в сообщении #547205 писал(а):

Я же сказал, что уравнения поля (Эйнштейна) менять не надо. Вы же не меняете уравнения Максвелла, если Вам придёт в голову идея добавить к вектору Пойнтинга некий бездивергентный поток энергии?

А разве в уравнениях Максвелла источником является тензор энергии-импульса?

[epros]

В. Войтик в сообщении #547253 писал(а):

Поведение системы заряженных частиц с одинаковым отношением $e/m$ в однородном электромагнитном поле точно такое же как и в некоторой жёсткой неинерциальной системе отсчёта, с соответственно подобранным собственным ускорением и собственной угловой скоростью.

Ха, так вся фишка в том, что отношение $e/m$ в природе встречается разное, т.е. эта величина - не есть мировая константа. А вот $m_{\text{грав}}/m_{\text{инер}}$ - именно мировая константа (равная единице), как раз в силу того самого принципа эквивалентности, которого нет для электромагнетизма.

В. Войтик в сообщении #547253 писал(а):

Вы наверное хотели сказать «дивергентных», т.е. тех, которых можно представить в виде некой дивергенции.

Бездивергентных - значит обладающих нулевой дивергенцией. Т.е. $(X^{ijk}_{,k})_{,j} = 0$.

В. Войтик в сообщении #547253 писал(а):

Почему не должно отражаться?

В силу "виртуальности" этих потоков: они ни с чем не взаимодействуют, а значит не должны наблюдаться. А решения уравнений поля - наблюдаемы, поэтому они не должны измениться.

[В. Войтик]

epros в сообщении #547259 писал(а):

Ха, так вся фишка в том, что отношение $e/m$ в природе встречается разное, т.е. эта величина - не есть мировая константа. А вот $m_{\text{грав}}/m_{\text{инер}}$ - именно мировая константа (равная единице), как раз в силу того самого принципа эквивалентности, которого нет для электромагнетизма.

Ну да, это так называемый сильный принцип эквивалентности. Но в итоге плохо то, что всё-таки в теории нет тензора энергии-импульса гравитационного поля. А вот, если ограничиться слабым принципом эквивалентности, то энергию-импульс построить можно. Причём все результаты экспериментов для малых полей и в ОТО, и в теории гравитационного поля со слабым принципом одинаковы. Результаты экспериментов должны различаться только для сильных полей. И тогда разумеется следует вопрос: "А проверена ли ОТО дли сильных полей?"

epros в сообщении #547259 писал(а):

Бездивергентных - значит обладающих нулевой дивергенцией. Т.е. $(X^{ijk}_{,k})_{,j} = 0$...
В силу "виртуальности" этих потоков: они ни с чем не взаимодействуют, а значит не должны наблюдаться. А решения уравнений поля - наблюдаемы, поэтому они не должны измениться.

Спасибо, дошло.