нить на катушке

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #544247 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #544242 писал(а):

у Вас всеравно неправильная формула

Разве что общий множитель $g$ в левой части потерян. Но ведь всего не упомнишь. Сейчас подправлю.

все я увидел все Ваши исправления. У нас разные решения.
Выкладываю свое.

Пусть $x$ -- длина свисающего в данный момент времени уонца веревки; $\rho=m/l$. Через $\psi$ обозначим угол поворота катушки: $x=\psi R$.

В качестве системы переменного состава возьмем катушку с намотанной на нее частью нити. Изменение суммарного кинетического момента точек удаляемых из системы в проекции на ось катушки: $\Delta K_-=\Delta x\rho R\dot x$. Следовательно, $\dot K_-=\rho R\dot x^2.$ [ЮФ Голубев Основы теор. мех]

Закон изменения кинетического момента для катушки с намотанной нитью приобретает вид:

$$\frac{d}{dt}\Big((J+(l-x)\rho R^2)\dot \psi\Big)=Rx\rho g-\rho R\dot x^2.$$

Откуда $(I-\psi \rho R^3)\ddot \psi=R^2\rho g \psi,\quad I=J+l\rho R^2,$
или

$$(A-\psi)\ddot\psi=B\psi,\quad A=\frac{I}{\rho R^3},\quad B=\frac{g}{R}.$$

Выбром единиц измерения времени, можно положить $B=1.$
Окончательно: $(A-\psi)\ddot\psi=\psi.$
Первый интеграл:

$$\frac{1}{2}\dot\psi^2+\psi+A\ln(A-\psi)=h.$$

[anik]

Kamaz в сообщении #544246 писал(а):

Нет конечно! Если бы это было так нить опускалась бы с постоянной скоростью. А это соффсем не очевидно, даже рискну предположить, что это совсем не так.

Т.е. Вы хотите сказать, что натяжение нити не равно силе её веса? Чему же тогда равно натяжение нити?

[Kamaz]

anik в сообщении #544258 писал(а):

Т.е. Вы хотите сказать, что натяжение нити не равно силе её веса? Чему же тогда равно натяжение нити?

Именно это я и хочу сказать. Знаете, есть точно такая же задачка, но с невесомой нитью, к концу которой привязан груз массы $m$. Так Вы считаете, что он будет двигаться с постоянной скоростью??? А здесь тоже самое практически.

-- Чт мар 01, 2012 21:38:29 --

Вы согласны, что если натяжение равно весу нити, то вследствие ее нерастяжимости нить будет двигаться с постоянным импульсом?

[ewert]

anik в сообщении #544253 писал(а):

Вы не забыли, что в задаче требовалось "найти зависимость угловой скорости катушки от времени", а не от угла?

Не забыл. Это уравнение интегрируется элементарно -- но лишь в квадратурах. Я же не папа Карло, чтобы брать неберущиеся интегралы.

[Kamaz]

Oleg Zubelevich в сообщении #544255 писал(а):

Изменение суммарного кинетического момента точек удаляемых из системы

т.е. вы хотите сказать, что если у меня есть точильный камень в виде вращающегося диска, к кторому приложен нож (масса камня уменьшается поскольку вылетают искорки), для камня я не могу записать сохранение момента импульса в обычном виде, поскольку у него искры конечной массы удаляются из системы?

[anik]

Kamaz в сообщении #544260 писал(а):

Вы согласны, что если натяжение равно весу нити, то вследствие ее нерастяжимости катушка будет вращаться с потстоянной скоростью, т.к. нить тоже будет двигаться с постоянной?

Натяжение нити равно весу свисающей части нити. Даже если натяжение нити равно весу нити, с какой стати катушка должна вращаться с постоянной скоростью?

[Oleg Zubelevich]

Kamaz в сообщении #544264 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #544255 писал(а):

Изменение суммарного кинетического момента точек удаляемых из системы

т.е. вы хотите сказать, что если у меня есть точильный камень в виде вращающегося диска, к кторому приложен нож (масса камня уменьшается поскольку вылетают искорки), для камня я не могу записать сохранение момента импульса в обычном виде, поскольку у него искры конечной массы удаляются из системы?

если Вы не собираетесь считать, что масса выброшенных крошек камня мала по сравнению с самой массой камня, то -- да, закон изменения момента количества движения в стандартном виде для камня писать нельзя. А вообще я ведь там превел ссылку на монографию. Можете еще Айзерман Классическая Механика посмотреть

[Kamaz]

Да, это я поторопился, конечно. Но все равно: импульс нити постоянен же будет? Так? Т.е.
$p=\rho x R \omega=operatorname{const} $
отсюда следует, что если частота растет, то $x$ - уменьшается!!

-- Чт мар 01, 2012 21:59:05 --

anik в сообщении #544269 писал(а):

Натяжение нити равно весу свисающей части нити. Даже если натяжение нити равно весу нити, с какой стати катушка должна вращаться с постоянной скоростью?

см выше

-- Чт мар 01, 2012 21:59:45 --

Oleg Zubelevich в сообщении #544271 писал(а):

А вообще я ведь там превел ссылку на монографию

где это у ЛЛ в первом томе?

[Oleg Zubelevich]

Kamaz в сообщении #544273 писал(а):

Но все равно: импульс нити постоянен же будет?

почему?

Kamaz в сообщении #544273 писал(а):

где это у ЛЛ в первом томе?

у ЛЛ этого естессна нет

[Kamaz]

Oleg Zubelevich в сообщении #544275 писал(а):

Kamaz в сообщении #544273 писал(а):
Но все равно: импульс нити постоянен же будет?

почему?

выше было утверждение, что

anik в сообщении #544269 писал(а):

Натяжение нити равно весу свисающей части нити.

след-но импульс нити постоянен. Я к тому, что утверждение anik_a приводит к противоречию..

-- Чт мар 01, 2012 22:07:13 --

Oleg Zubelevich в сообщении #544275 писал(а):

у ЛЛ этого естессна нет

Что-то я не догоняю. Закон сохранения у Ландау выводится из общих соображений?
Что там у него не так?

[Oleg Zubelevich]

Kamaz в сообщении #544276 писал(а):

Что-то я не догоняю. Закон сохранения у Ландау выводится из общих соображений?
Что там у него не так?

там все так, но там не рассматриваются системы переменного состава

[Kamaz]

Oleg Zubelevich в сообщении #544278 писал(а):

там не рассматриваются системы переменного состава

ну и что? Закон сохранения правильный же? Переменного или нет - какая разница? Закон Ньтона второй к реактивному движению применяют же? в общей форме - производная импульса равна силе. Думаю, что и сохранение момента также можно вывести из него.

Книжки, на которые вы ссылаетесь я еще пока не скачал - траффик медленный

[Oleg Zubelevich]

Kamaz в сообщении #544280 писал(а):

Переменного или нет - какая разница?

ну--у---у знаете

Kamaz в сообщении #544280 писал(а):

Закон Ньтона второй к реактивному движению применяют же? в общей форме - производная импульса равна силе.

нет не так. там добавочные силы появляются, там уравнение Мещерского. Читайте.

[anik]

Kamaz в сообщении #544276 писал(а):

выше было утверждение, что

anik в сообщении #544269 писал(а):

Натяжение нити равно весу свисающей части нити.

след-но импульс нити постоянен. Я к тому, что утверждение anik_a приводит к противоречию..

С какой стати импульс нити постоянен, если нить сматывается с катушки под собственным весом? Увеличивается свисающая часть нити и увеличивается её натяжение, это приводит к увеличению угловой скорости катушки и ещё большему ускорению сматывания нити и возрастанию её импульса.
Где Вы тут нашли противоречие?

[Kamaz]

Oleg Zubelevich в сообщении #544282 писал(а):

нет не так. там добавочные силы появляются, там уравнение Мещерского. Читайте.

Что Вы мне голову морочите. В уравнении Мещерского слева стоит не изменение импульса системы!
Для реактивного движения полный импульс ракета + газы сохраняется! (Если нет внешних сил. Ракета в вакууме )