нить на катушке

[ewert]

Он тривиален. Достаточно лишь поставить вопрос -- и автоматически ответ.

[anik]

ewert в сообщении #544516 писал(а):

Он тривиален. Достаточно лишь поставить вопрос -- и автоматически ответ.

Как видно, это периодический момент связанный с небалансом от последнего витка. У нас же речь шла о синусоиде от разматывающейся части нити. Может быть Вы ещё силу Кориолиса учтёте, ведь нить падает по вертикали, а она вращается вместе с Землёй?
Тут народ без синусов путается, а Вы ещё усложняете. Ведь можно пренебречь, или сбалансировать катушку гвоздиком, как Вы говорили. И если катушка сбалансирована, то синусов уже никаких не будет!
Причём интегральчик, который Вы привели, не так прост, как Вам кажется. Он достоин отдельной темы на олимпиадных задачах.
Если считать, что нить имеет толщину, и последний виток отрезать сечением перпендикулярном оси, то катушка с нитью окажется сбалансированной.
Небаланс вызывает именно отрезанная часть со сложной формой.

[ewert]

anik в сообщении #544522 писал(а):

Тут народ без синусов путается,

Я вижу. Только не понимаю, зачем он мучается.

anik в сообщении #544522 писал(а):

Ведь можно пренебречь, или сбалансировать катушку гвоздиком,

Пренебречь -- можно, но для этого надо делать специальные оговорки в условии; что-нибудь типа того, что полная длина и длина хвостика много больше радиуса. Гвоздиком -- нельзя, это будет уж совсем неестественно.

[anik]

ewert в сообщении #544527 писал(а):

Гвоздиком -- нельзя, это будет уж совсем неестественно.

Ну, гвоздиком это условно, конечно. А что по поводу Вашего интеграла и моего замечания?

[ewert]

anik в сообщении #544528 писал(а):

А что по поводу Вашего интеграла и моего замечания?

Ничего. Я говорил, естественно, о дисбалансе только самой катушки.

[anik]

ewert в сообщении #544531 писал(а):

Ничего. Я говорил, естественно, о дисбалансе только самой катушки.

Сама катушка (без нити) естественно подразумевается сбалансированной. Я говорю о Вашем интегральчике, как по-вашему он правильный?

[ewert]

anik в сообщении #544533 писал(а):

Сама катушка (без нити) естественно подразумевается сбалансированной

Естественно, имелась в виду катушка с ниткой, но без хвостика.

anik в сообщении #544533 писал(а):

Я говорю о Вашем интегральчике, как по-вашему он правильный?

А в чём сомнения?

[anik]

ewert в сообщении #544535 писал(а):

А в чём сомнения?

Вы вот это читали?

anik в сообщении #544522 писал(а):

Причём интегральчик, который Вы привели, не так прост, как Вам кажется. Он достоин отдельной темы на олимпиадных задачах.
Если считать, что нить имеет толщину, и последний виток отрезать сечением перпендикулярном оси, то катушка с нитью окажется сбалансированной.
Небаланс вызывает именно отрезанная часть со сложной формой.

[ewert]

anik в сообщении #544536 писал(а):

Вы вот это читали?

anik в сообщении #544522 писал(а):

Причём интегральчик, который Вы привели, не так прост, как Вам кажется. Он достоин отдельной темы на олимпиадных задачах.
Если считать, что нить имеет толщину, и последний виток отрезать сечением перпендикулярном оси, то катушка с нитью окажется сбалансированной.
Небаланс вызывает именно отрезанная часть со сложной формой.

Я просто не понимаю, что Вы имели в виду. Нить заведомо считается бесконечно тонкой (так же как и бесконечно гибкой и т.д.). Если же под "сложной формой" понималась Ваша любимая стёсанная пружинка, то она не поможет: она да, даёт нулевой момент в "горизонтальном" положении (его дают вообще все распределения плотностей, симметричные относительно середины отрезка); но вот после поворота на 90 градусов её момент окажется недостаточен для балансировки.

[Omega]

Итак, вот, что у меня получилось:

$$\frac{(\dot \varphi)^2}{\varphi R(\varphi R+2x_{0})}=\frac{mg}{l(J+mR^{2})}; \varphi (0)=0 \Rightarrow \varphi(t)=\frac{x_{{0}}\left(\cosh\left( \sqrt {{\frac {mg}{l \left( J+m{R}^{2}\right) }}}Rt \right) -1 \right)} {R}$$

И так как $\omega(t)= \dot \varphi (t)$, то

$$\omega(t)= x_{{0}}\sqrt {{\frac{mg}{l \left( J+m{R}^{2} \right) }}}\sinh \left( \sqrt {{\frac {mg}{l \left( J+m{R}^{2}\right)}}}Rt\right)$$

Функция же длины свисающей верёвки

$$x(t)=x_{{0}}\left(\cosh\left( \sqrt {{\frac {mg}{l \left( J+m{R}^{2}\right) }}}Rt \right) -1 \right)$$

Тогда размотается катушка полностью если $x(t)=l-x_{0}$ или

$$t=\frac{\log \left( {\frac {l+\sqrt {{l}^{2}-{x_{{0}}}^{2}}}{x_{{0}}}}\right)}{{R\sqrt {{\frac {{mg}}{l \left( J+{{mR^{2}}} \right) }}}}}$$

Все по размерности сошлось...

[ewert]

Omega в сообщении #544814 писал(а):

$$\frac{(\dot \varphi)^2}{\varphi R(\varphi R+2x_{0})}=\frac{mg}{l(I+mR^{2})}$$

Что-то не в порядке со знаменателем левой части.

Omega в сообщении #544814 писал(а):

$$x(t)=x_{{0}}\left(\cosh\left( \sqrt {{\frac {mg}{l \left( J+m{R}^{2}\right) }}}Rt \right) -1 \right)$$

А это, как ни странно, почти правильно. Только вот единичку вычитать совсем ни к чему.

[Omega]

Да да да просто ведь $x(0)=x_{0}$ тогда

$$x(t)=x_{{0}}\left(\cosh\left( \sqrt {{\frac {mg}{l \left( J+m{R}^{2}\right) }}}Rt \right) \right)$$

Но и $x(t)=l$ поэтому $t$ остаётся таким же.

[anik]

Могут возникнуть сомнения, что для того, чтобы пружина с плотно навитыми витками оказалась сбалансированной, достаточно отторцевать её концы.
Предположим, что сечение витков пружины квадратное, а витки её плотно прилегают друг к другу, тогда, отторцевав края пружины, мы получим просто цилиндрическую втулку. Её несбалансированность может быть вызвана погрешностью изготовления, но не погрешностью заданной формы.