В чем физический смысл среднего квадратического отклонения?

[longstreet]

Среднее квадратическое отклонение - оно же не нормировано. Как интерпретировать его значение? Например, оно равно $1,73$. Что это значит? Как по значению что-то определить, сказать можно? Понятно только, что если нуль - то разброса нет, и что чем больше значение - тем больше разброс.

-- 29.02.2012, 11:45 --

(Оффтоп)

Ну, то есть смысл - меряет разброс - понятен.

-- 29.02.2012, 11:50 --

И, если можно, поясните пожалуйста, при малом объеме выборки (30 измерений) разброс как лучше мерить: среднеквадратическим отклонением или стандартным отклонением?
В Википедии указано, что

Цитата:

"При малом объеме выборки оценка дисперсии через среднеквадратическое отклонение является несколько смещенной."

[Munin]

longstreet в сообщении #543771 писал(а):

Среднее квадратическое отклонение - оно же не нормировано.

Среднеквадратичное отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина. Например, 1,73 голоса. Или 1,73 мешка с солью. Это поможет его интерпретировать?

[longstreet]

Это хорошо. Но я все-таки не могу понять фразу "разброс оказался 1,73 мешка с солью". Какой это имеет физически смысл?

[PAV]

Как минимум это помогает понять порядок возможных отклонений. Практически безотносительно к конкретному закону распределения - отклонения, меньшие одной-двух величин с.к.о. могут быть вызваны случайными колебаниями. Отклонения порядка, скажем, 5-10 с.к.о. такой случайностью объяснены быть не могут.

[longstreet]

Хорошо! А вот например случай сравнения с.к.о. для двух выборок. У одной $56,7$ а у другой $68,4$ (цифры я беру от балды). Можно ли тут сказать, что в случае первой выборки разброс существенно меньше?
Вообще, при сравнении двух с.к.о. чем можно руководствоваться, чтобы сказать "В такой-то выборке наблюдается существенно большая согласованность. Поищем ее причины"?

-- 29.02.2012, 13:42 --

И правильно ли я считаю, что с.к.о. правомерно вычислять лишь в предположении нормальности распределения?

[PAV]

с.к.о. - это просто одна из стандартных характеристик распределения, ее можно вычислять всегда, хоть для нормального распределения, хоть для какого.

longstreet в сообщении #543805 писал(а):

А вот например случай сравнения с.к.о. для двух выборок. У одной $56,7$ а у другой $68,4$ (цифры я беру от балды). Можно ли тут сказать, что в случае первой выборки разброс существенно меньше?

Априори - нельзя. Это задача проверки гипотез, занимается этим математическая статистика. Там вопрос о количественной оценке выводов решается. Грубо говоря, в рамках некоторой модели по имеющимся выборкам считается некоторое число, на основании которого и делается вывод о том, является ли разница существенной, и насколько надежным будет наше решение о том, что (в случае Вашего примера) для первый выборки неизвестное теоретическое с.к.о. действительно меньше второго.

[Sonic86]

Я так понял, что с.к.о. было введено для более простого анализа. Например, МНК дает результат красивее, если минимизировать с.к.о., а не, скажем, сумму абсолютных отклонений (при дифференцировании получаем линейную функцию). А так - то же линейное отклонение, только кривоватое чуть-чуть.

[Munin]

longstreet в сообщении #543797 писал(а):

Но я все-таки не могу понять фразу "разброс оказался 1,73 мешка с солью". Какой это имеет физически смысл?

Хорошо, а фразу "В кузове лежит 20 плюс-минус 2 мешка с солью" вы понять можете? "В кузове (одной из тысячи машин) в среднем лежит 18,37 плюс-минус (точнее, с разбросом) 1,73 мешка с солью"?

[longstreet]

Цитата:

с.к.о. - это просто одна из стандартных характеристик распределения, ее можно вычислять всегда, хоть для нормального распределения, хоть для какого.

Спасибо, буду знать. Хотя не понятно, ведь там сначала усреднение идет, как для нормального распределения - средним арифметическим.

Цитата:

Априори - нельзя. Это задача проверки гипотез

Ок. Понятно.

Цитата:

Хорошо, а фразу "В кузове лежит 20 плюс-минус 2 мешка с солью" вы понять можете? "В кузове (одной из тысячи машин) в среднем лежит 18,37 плюс-минус (точнее, с разбросом) 1,73 мешка с солью"?

Первую фразу понимаю. Вторую - нет, мне она кажется странной.
У меня тут вопрос сформировался, может он мне поможет, если Вы ответите: здесь $18,37$ - уже усредненное значение (средним арифметическим), так ведь? А у меня вот в расчетах получается среднее арифметическое, например, $1,5$, а с.к.о., скажем, $50,3$ (это цифры близкие к тем, что у меня получаются). Что тогда, это означает полтора мешка плюс-минус пятьдесят мешков что ли?

[Munin]

longstreet в сообщении #543835 писал(а):

Первую фразу понимаю. Вторую - нет, мне она кажется странной.

Хорошо. Вот перед вами лежит два графика, для одной тысячи машин и для другой. По горизонтали - число мешков соли (дискретное), по вертикали - сколько машин такое число содержат.




Средние числа совпадают. Как вам охарактеризовать отличие одного графика от другого? Вы замечаете, что в первом графике вероятность оказаться ближе к среднему - больше. Это и называется "разброс меньше".

longstreet в сообщении #543835 писал(а):

Что тогда, это означает полтора мешка плюс-минус пятьдесят мешков что ли?

Да, бывает и такое. Не все величины обязаны быть положительными, как мешки. Например, градусы температуры. За зиму средняя температура может быть -5°C с разбросом 10°, например. Это означает, что иногда она заезжала в плюс.

[longstreet]

Спасибо за картинки! С ними я понял.
Кстати, тут у меня такой вопрос: чтобы полностью охарактеризовать два различных распределения, сколько и каких нужно указать параметров (например, смотрим на картинки, видим, что кроме среднего арифметического нужно ещё ввести и указывать какой-то параметр, чтобы эти два графика различать; стали указывать среднее арифметическое и стандартное отклонение, смотрим дальше, видим, что опять можно привести два различных графика, таких распределений, что эти два параметра совпадают, но все же распределения отличаются [или это уже не так и два параметра эти задают однозначно?] и т.д.), с тем, чтобы поменьше их было нужно указывать, и возможно ли вообще сколькими-нибудь параметрами описать распределение так, чтобы получилось короче, чем сразу всё распределение выдать?

-- 29.02.2012, 19:21 --

С температурой мне понятно!

-- 29.02.2012, 19:28 --

А вот если у меня меряются шестнадцать параметров у десяти объектов, могу я посчитать стандартное отклонение каждого из $16$ измерений каждого из $10$ объектов отдельно, а потом сложить их.
Далее, у меня есть две партии этих десяти объектов. Как мне потом эти две групповые суммы сравнить? Какая больше, какая меньше - это понятно. А вот так, чтобы сказать, что какая-то действительно существенно лучше - совсем нельзя более просто ответить, не решая специальной задачи, просто судя по значениям?

[longstreet]

Так, ну насчет сравнения я перечитал тему, ответ PAVа, посмотрел интернет, вопрос снят. Остался вопрос про то, могу ли я складывать значения стандартного отклонения по всем измерениям по всем объектам в группе, и потом сравнивать между группами?

[Munin]

longstreet в сообщении #543929 писал(а):

Кстати, тут у меня такой вопрос: чтобы полностью охарактеризовать два различных распределения, сколько и каких нужно указать параметров

О, бесконечно много! Это же функция! Ну, или если функция на конечном множестве, то конечное число, но всё равно большое. Например, можно указать бесконечную последовательность моментов случайной величины, из которых первые два соответствуют среднему значению и среднеквадратичному отклонению.

Другое дело, если распределения принадлежат какому-то заранее известному типу. Тогда часто можно задать небольшое число параметров - один-два-три - в зависимости от типа распределения.

longstreet в сообщении #543929 писал(а):

А вот если у меня меряются шестнадцать параметров у десяти объектов, могу я посчитать стандартное отклонение каждого из 16 измерений каждого из 10 объектов отдельно, а потом сложить их.

Я думаю, только если это имеет смысл для данных параметров. Например, если вы измеряете вес и цвет огурца, складывать их не имеет смысла. А если замеряете диаметр огурца в 16 разных точках, то почему бы и нет - вдруг из этого что-то осмысленное получится.

[PAV]

longstreet
по некоторым отдельным Вашим фразам у меня сложилось ощущение, что у Вас имеется неправильное понимание одного момента. На всякий случай проясню. Среднеквадратичное отклонение относится к теоретическим характеристикам распределения. Наряду с математическим ожиданием, дисперсией, квантилями и другими. То есть оно считается по закону распределения, а не по числовой выборке. То, что Вы считаете по выборке - это не с.к.о. Это можно назвать численной оценкой неизвестного истинного с.к.о.

Важно четко разделять всегда, где теоретические параметры распределений, а где их численные оценки, вычисляемые по выборке. Это разные вещи. А Вы их, кажется, смешиваете.

[longstreet]

PAV, кааак?!?!