О проблеме Гольдбаха

[vorvalm]

Проблема Гольдбаха заключается в представлении четного числа суммой двух нечетных простых чисел. Но можно поставить вопрос о представлении четного числа разностью двух нечетных простых чисел. Казалось бы, что это само самой разумеется, но, как и проблему Гольдбаха, это надо доказать.
Доказательство не отличается принципиально от доказательства проблемы Гольдбаха. Надо рассматривать эти разности в ПСВ по модулю М, когда первая половина вычетов меньше модуля, а вторая больше модуля, при этом сохраняется симметрия расположения вычетов относительно модуля М.
В центре такой ПСВ образуется диапазон $Dp$ простых чисел (за вычетом модуля М), состоящий из двух интервалов $-Ip$ и $+Ip$:
$-p^2_{r+1}..-p_n...-p_t....-p_{r+1}..-1(M)+1..+p_{r+1}...+p_t...+p_n..+p^2_{r+1}$
В этом диапазоне есть максимальная разность $d_{\max}=p_n - p_{r+1}$, минимальная разность $d_{\min}=2$ (близнецы) и промежуточные разности d.

[vorvalm]

Теорема. Любое четное число представляется разностью двух нечетных простых чисел $d=p_t-p_s$ и число таких представлений бесконечно.
Доказательство. Допустим, что в ПСВ при достаточно большом модуле М в диапазоне $Dp$ нет четной разности $d= p_t-p_s$ меньше $d_{\max}$, но они есть ПСВ в количестве $A_2\varphi_2(M)$.(теоремы 2,3.4 в теме "Бесконечность простых чисел-близнецов")
Находим в ПСВ две разности $p_t-a$ (а - вычет ПСВ) с общей разностью $2p_t$. Это группа $D[4]=(0 ,p_t-a ,p_t+a ,2p_t)$ (определение, там же).
$p_t$ - простое число из интервала $Ip$.
Располaгаем эту группу в центре ПСВ так, чтобы вычеты $\pm p_t$ заняли свои места в интервалах $\pm Ip$. Чтобы исключить возможность представления $d=p_t-1$ в состав группы включаем близнец $M\pm 1$.
Группа становится группой 6-го размера:

$F[6]=(0 ,p_t-a ,p_t-1 ,p_+1 ,p_+a ,2p_t)$

В диапазоне $Dp$ эту группу можно представить так:

$-p_n,..-p_t,..-a,..-1(M)+1,..+a,..+p_t,..+p_n$

Вычету "а" нет места среди простых чисел диапазона, но если такая группа существует в ПСВ, то вычет "а" - простое число $p_s$.
Группу $F[6]$ необходимо проверить на проходимость по модулям $p=3 ,p=5$, т.к. $p<n$.(определения 4,5;теорема 5, там же)(определение)
Модули сравнений разностей группы $F[6]$. (вычисления опущены)
В числителе - модули сранений, в знамeнателе - их число.

$(p_t+a)/2 ,(p_t-a)/2 ,(p_t+1)/2 ,(p_t-1)/2 ,(a+1)/2 ,(a-1)/2 , 2a ,2 , 2p_t$

Непарные модули: 2а - удвоенный вычет ПСВ, 2, $2p_t$.
Вычеты ПСВ могут быть $p_t=6q\pm 1$ или $a=6v\pm 1$.
Проходимость по модулю $p=3 ,K(3)=3+m(3)-6$.
При любых значениях $p_t$ и $a$ проходимость $K(3)=1$, т.к. $m(3)=4$ по числу модулей $p_t\pm1, a\pm1$.
Проходимость по модулю $p=5 ,k(5)=5+m(5)-6$.
Последняя цифра вычетов ПСВ может быть: 1, 3, 7, 9, т.е. $p_t\pm 1 ,p_t\pm 3 ,a\pm 1 ,a\pm 3$.
При любых значениях $p_t$ и $a$ ,$K(5)\geqslant1$ по числу модулей $p_t\pm a ,p_t\pm1 ,a\pm1$
Модуль 2а - удвоенный вычет ПСВ, взаимно простой с модулем М, $K(p)=1$.
При модуле $p=2$ любая группа имеет $K(p)=1$.
Модуль $2p_t$ - не входит в состав модуля М. $K(p)=1$.
Таким образом, группа $F[6]$ проходит в ПСВ по любому модулю
Число таких групп равно $A_6\varphi_6(M)$. (определение 4,5;теорема 5 там же).
Функция $\varphi_6(M)$ - нечетная. Коэффициент $A_6=K(p)/\varphi_6(p)$.
Знаменатель $\varphi_6(p)$ - нечетный. Проходимость $K(p)$ при четных $m(p)$ и $n$ - нечетная. Число групп $F[6]$ - нечетное.
Одна группа находится в центре ПСВ, т.е. среди простых чисел и вычет "а" является простым числом.
В выборе модуля мы не ограничены и при любом достаточно большом модуле в интервале простых чисел ПСВ есть разности $d\leqslant d_{\max}$.
Эта теорема доказывает и бесконечность этих разностей среди простых чисел, в частности $d=2,d=4$.

[vorvalm]

В предыдущем тексте допущены опечатки.
После слов: "Последняя цифра вычетов может быть:1 ,3 ,7 ,9, т.е." - должно быть
$p_t=10k\pm 1 ,p_t=10k\pm 3 ,a=10k\pm 1 ,a=10k\pm 3$
Далее по тексту.

[Nilenbert]

Теренс Тао выложил на Архиве статью, озаглавленную: "Каждое нечётное число представимо в виде суммы не более чем пяти простых." Надеюсь вас заинтересует.

Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes

Также его сообщение об этом в личном блоге: Блог

[vorvalm]

Nilenbert
Большое спасибо. Надо разобраться.

[vorvalm]

По-моему, правильный перевод названия статьи Теренса Тао такой:
" Каждое нечетное число больше 1 есть сумма не более 5-ти простых чисел."

[vorvalm]

Статья Теренса Тао - интерпретация доказательства тернарной гипотезы Гольдбаха, которую доказал И.М.Виноградов в 1937 г.
У Теренса Тао ограничение до 5-ти простых чисел, которыми могут быть представлены нечетные числа, значительно слабее доказательства И.М.Виноградова, у которого нечетные числа представляются 3-мя простыми числами.
Однако, если доказана бинарная гипотеза Гольдбаха, то любые интерпретации этой проблемы теряют всякий смысл.

[shwedka]

vorvalm в сообщении #541203 писал(а):

У Теренса Тао ограничение до 5-ти простых чисел, которыми могут быть представлены нечетные числа, значительно слабее доказательства И.М.Виноградова, у которого нечетные числа представляются 3-мя простыми числами.

С другой стороны, у Виноградова представимость доказана для лишь для достаточно больших чисел, а у Тао для всех.

[vorvalm]

Совершенно верно. Доказательство И.М.Виноградова для достаточно больших нечетных чисел порядка $10^{20}.$
Но экспериментально подтверждено для чисел того же порядка

[Nilenbert]

vorvalm в сообщении #541304 писал(а):

Совершенно верно. Доказательство И.М.Виноградова для достаточно больших нечетных чисел порядка $10^{20}.$
Но экспериментально подтверждено для чисел того же порядка

Нет. Там довольно большой пробел. Слабая проблема Гольдбаха проверена при $n<10^{22}\sim e^{28}$ и доказана при $n>e^{3100}$, в той же статье Тао на первой странице сказано.

[vorvalm]

Теренс Тао очевидно использовал устаревшие данные по доказательству проблемы Гольдбаха. В его же статье упоминаются Deshaullers, Effinger, te Riele and Zinoviev, которые подтвердили в 1997 г. эту гипотезу до чисел порядка $10^{20}$.

[shwedka]

vorvalm в сообщении #541506 писал(а):

Теренс Тао очевидно использовал устаревшие данные по доказательству проблемы Гольдбаха. В его же статье упоминаются Deshaullers, Effinger, te Riele and Zinoviev, которые подтвердили в 1997 г. эту гипотезу до чисел порядка $10^{20}$.

Не совсем так. Если почитать саму статью этих авторов, то все результаты там установлены в предположении справедливости обобщенной гипотезы Римана. Ну, конечно, кроме конкретного счета.

[vorvalm]

В теме "Альтернатива проблеме Гольдбаха" в теореме о разностях (подробности здесь же, стр.5)
было показано, что любые четные разности между простыми числами
существуют и число их бесконечно.
Разности $d=2,d=4$ могут быть только между соседними простыми числами.
Остальные разности могут быть представлены как между соседними простыми
числами, так и иначе.
Например,разность $d=6$ представляется тремя вариантами.(подробности здесь)
1) "чистая разность" между соседними простыми числами $B[6],$
2) группой вычетов $C[6]=(2,4),$
3) группой вычетов $C[6]=(4,2).$
Разности других размеров представляются еще большим числом вариантов.
Возникает вопрос. Бесконечно ли число "чистых разностей" между простыми числами ?
Решить эту проблему в общем виде довольно трудно.
Но для отдельных разностей это не так сложно.
Рассмотрим разность $d=6.$
Число таких "чистых разностей" в ПСВ(M) равно: (подробности здесь)
$N(B[6])=2\varphi_2(M)-2\varphi_3(M).$
Общее число групп $C[6]=(2,4),C[6]=(4,2)$ равно:
$N(C[6])=2\varphi_3(M).$
Берем отношение $N(B[6])/N(C[6])=\varphi_2(M)/\varphi_3(M)-1.$
При $M\rightarrow\infty \lim \varphi_2(M)/\varphi_3(M)-1 \rightarrow\infty$
Это означает, что число "чистых разностей" в ПСВ становится подавляющим.
Следовательно, число "чистых разностей" $d=6$ бесконечно.
Аналогично можно рассматривать и другие разности, но число представлений
этих разностей увеличивается, что заметно усложняет задачу.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #593809 писал(а):

Это означает, что число "чистых разностей" в ПСВ становится подавляющим.
Следовательно, число "чистых разностей" $d=6$ бесконечно.
Аналогично можно рассматривать и другие разности, но число представлений
этих разностей увеличивается, что заметно усложняет задачу.

Это в ПСВ, а среди простых чисел?

[vorvalm]

Интервал $(1,p^2_{r+1})$ является составной частью ПСВ(М)
и вычеты этого интервала подчиняются всем закономерностям ПСВ.