Попытка доказательства Теоремы Ферма

[natalya_1]

Алексей К. в сообщении #524134 писал(а):

У Вас было три переменных, связанных одним уравнением ($a^3+b^3=c^3$).

У меня не было трех переменных. Я изначально предположила, что существуют числа $a$,$b$ и $c$ , удовлетворяющие равенству $a^3+b^3=c^3$.

Напишу окончание, поскольку набирать мне очень тяжело. А потом, как уже писала,сгруппирую доказательство полностью.
Я понимаю, что кредит доверия я исчерпала. И я постараюсь, как обещала, написать по-другому. Но сначала я выложу то, что у меня есть, чтобы просто не потерять.

Итак, $a$ и $a_1$- целые числа.
Причем, $a^3(cd-p)-c^2da^2+c^2pa=a_1^3(cd-p)-c^2da_1^2+c^2pa_1$
Тогда $(a^3-a_1^3)(cd-p)-c^2d(a^2-a_1^2)+c^2p(a-a_1)=0$
Отсюда $(a^2+aa_1+a_1^2)(cd-p)-c^2d(a+a_1)+c^2p=0$
Таким образом $\frac{a^2+aa_1+a_1^2}{c^2}$- целое число (11) и $\frac{c^2((a+a_1)d-p)}{cd-p}$- целое число.
Поскольку $c^2$ и $cd-p$не имеют общего делителя, $\frac{(a+a_1)d-p}{cd-p}$- целое число. При этом $(a+a_1)d-p<2cd-p$, а $\frac{2cd-p}{cd-p}=2+\frac{p}{cd-p}<3$, поскольку $cd-p>p$. То есть, $\frac{(a+a_1)d-p}{cd-p}<3$.
$a+a_1$ не равно $c$ (поскольку тогда не выполняется равенство (11)), следовательно возможен только вариант $\frac{(a+a_1)d-p}{cd-p}=2$ Следовательно, $2c-a-a_1=\frac{p}{d}$. То есть, $\frac{p}{d}$- целое число. Мы пришли к противоречию.

[AKM]

Последнее сообщение автора отделено и перенесено в карантин для исправления (исправленное здесь). Сообщение написано крайне неуклюже, трудночитаемо, переполнено ненужными формулами, многие из которых многократно повторены, с нелогичной 3-х уровневой рубрикацией (оригинал приведён в конце этого сообщения).

Тема временно закрыта (до исправления).

Используйте выделенные формулы (не везде, разумеется!), используйте нумерацию:

Цитата:

1.2. $a+b=c+d$, где$d$ - целое положительное число.***
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$-целое положительное число.***
1.3. $a+b-c=d$, $a^2+b^2-c^2=p$

Вместо всего этого (и последующих повторов) можно просто написать:

Обозначим

$$ d=a+b-c,\qquad p=a^2+b^2-c^2. \eqno(2)$$

И этого достаточно, и это видно, и это не надо выискивать по тексту усталыми глазами!
Я, в свою очередь, строго напомню участникам, что перенос слагаемого из одной чаcти равенства в другую сопровождается заменой знака на противоположный!

$$ d=a+b-c,\qquad p=a^2+b^2-c^2. \eqno(2)$$

Здесь рассказано о формулах.

И зачем эти тройные-четверные звёздочки повсюду???

Вы используете две функции $y{\color{red}(x)}=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ и ${\color{red}f}(x)=\frac{x^2}{xd-p}$. Определите их (с разными идентификаторами) и не повторяйте определения каждый раз. Слова типа

Цитата:

Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и равна нулю в точках $0$и $c$. Она является целой рациональной функцией,

(и другие) после этого пишутся просто как

$$y(a)=-y(b),\qquad y(0)=y(c)=0.$$

И всё!

У Вас, наверное, треть текста --- излишества. Ещё пример: все Ваши читатели знают, что полином является рациональной функцией (её частным случаем, если угодно), а знаете ли об этом Вы? Известны ли Вам определения целой функции, рациональной функции? Не случилось ли здесь юзание незнакомых терминов, наполненных каким-то личным смыслом?

В русской грамматике после запятой (точки) ставится пробел. Тире отделяется пробелом с двух сторон. Возможно, в силу величия замысла, Вам эти мелочи до лампочки, но большинство грамотных людей воспринимает нарушение элементарных правил с раздражением. С pеальным раздражением. Ну, типа, как если бы было написано что-то вроде "пренемает адинаковые значения".

Раскройте скобки в выражении $y(a)$, приведите подобные члены, разложите на множители и убедитесь, что

$$y(a)=ab(c-a)(c-b)(a-b),$$

и потому равенство $y(a)=0$ невозможно. И незачем приводить мудрёное непонятное (мне, по крайней мере) доказательство этого факта (очередное излишество).

Раз уж я взялся за это, дюжина других рекомендаций будет высказана позже, постепенно, по факту принятия и исправления уже указанных. Даже когда я пожалею о принятых сложных мерах.

(--------------Оригинальное сообщение--------------)

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет целочисленных решений . Попробуем доказать обратное.


1.1. Предположим, что такое решение существует, при $x=a$, $y=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимнопростые числа, $a\not=b$ , пусть $a>b$,
Тогда $a^3+b^3=c^3$.

1.2. $a+b=c+d$, где$d$ - целое положительное число.***
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$-целое положительное число.***
1.3. $a+b-c=d$, $a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$.***
1.4. $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^3+b^3=c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^3a(ad-p)+c^3b(bd-p)=a^3c(cd-p)+b^3c(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb)$ .
Левая часть равенства представляет собой значение функции $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ при $x=a$, а правая - при $x=b$, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при $x=a$ и$x=b$ равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках $a$и$b$ принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть $(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa=0$, $(cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb=0$, тогда $a^2(cd-p)=c^2(ad-p)$,$b^2(cd-p)=c^2(bd-p) $, ($ad-p>o$, $bd-p>0$,$cd-p>o$ (п.1.3)), следовательно, $\frac{a^2}{ad-p}=\frac{b^2}{bd-p}=\frac{c^2}{cd-p}$
1.6. Исследуем функцию $y=\frac{x^2}{xd-p}$ .
$y'=\frac{ 2x(xd-p)-dx^{2}}{(xd-p)^2}$,$xd-p\not=o$, $\frac{p}{d}$-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
$y'=0$
$2x(xd-p)-x^{2}d=0$. $x=0$ или$2(xd-p)-xd=0$, $xd=2p$,
$x=\frac{2p}{d}$
Так как на сегменте $]0;c]$ существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.
2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и равна нулю в точках $0$и $c$. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$.Следовательно, существуют две критические точки на сегменте $]0;c]$, принимающие значения разных знаков.

Найдем критические точки функции:
$y'=3x^2(cd-p)-2c^2dx+c^2p$ $y'=0$ при $3x^2(cd-p)=c^2(2xd-p)$, $\frac{3x^2}{2xd-p}=\frac{c^2}{cd-p}$, $2xd-p>0$, $cd-p>0$



Критические точки функции $y(x)=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$ будут $\frac{c(c d \pm \sqrt{c^2 d^2-3p (c d-p)})}{3( c d-p)}$. То есть, критических точек две.


***1.2.1$(a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3$, $a^3+b^3=c^3$=>
$(a+b)^3>c^3$, $a+b>c$,$a+b=c+d$, где $d$ - целое положительное число.



***1.2.2. $a^2+b^2=c^2+p$, где $p$- целое число.
$a^2=(c-b)(c+b)+p$,$a^3=(c-b)(c+b)a+ap$,$a^3=(c-b)(c^2+cb+b^2)$.
$c(c+b)+b^2>(c+b)a$=> $ap$- целое положительное число, $p$ - целое положительное число.




4.1 Если функция $y=(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков, то точки, значение функции в которых равно значению функции в точке $a$ (таких точек вместе с $a$ три) соответствуют корням уравнения $(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px+Q=0$ ,и их сумма $\frac{c^2d}{cd-p}$. А точки, значение функции в которых равно значению функции в точке $b$ ( таких точек вместе с $b$ тоже три) соответствуют корням уравнения $(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px-Q=0$, где $Q$ - целое число. И их сумма такая же.
А произведение значений корней равно $\frac{-Q}{cd-p}$ и $\frac{Q}{cd-p}$ соответственно.

-- Чт янв 12, 2012 19:58:17 --

5.1. Пусть $a_1=\frac{q}{cd-p}$, $a_2=\frac{q_1}{cd-p}$, где $a$, $a_1$, $a_2$- корни уравнения $x^3(cd-p)-x^2c^2d+xc^2p-Q=0$.
Тогда:
$\frac{q^3}{(cd-p)^2}-\frac{c^2dq^2}{(cd-p)^2}+\frac{c^2p(cd-p)q}{(cd-p)^2}=\frac{q_1^3}{(cd-p)^2}-\frac{c^2dq_1^2}{(cd-p)^2}+\frac{c^2p(cd-p)q_1}{(cd-p)^2}$, отсюда $(q-q_1)(q^2+qq_1+q_1^2-c^2dq-c^2dq_1+c^2p(cd-p))=0$,
$q^2+q(q_1-c^2d)+(q_1^2-c^2dq_1+c^2p(cd-p))=0$
$D=(q_1-c^2d)^2-4(q_1^2-c^2dq_1+c^2p(cd-p))$
$q=\frac{c^2d-q_1-\sqrt{D}}{2}$. И поскольку $a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$, $q=\frac{q+a(cd-p)-\sqrt{D}}{2}$, $q=a(cd-p)-\sqrt{D}$

Аналогично $q_1=a(cd-p)-\sqrt{D_1}$(поскольку доказано, что $a_1<a$, $a_2<a$ ). Но сумма корней уравнения рациональна, следовательно
$\sqrt{D}+\sqrt{D_1}$- рациональное число, отсюда $q$ и $q_1$ - рациональные числа. Корни уравнения рациональны.

-- Чт янв 12, 2012 20:04:24 --

****Доказательство того, что $a$ больше большей критической точки:
$c^2d^2-3cdp+3p^2=(cd-p)^2-p(cd-2p)$, большая критическая точка $\frac{c^2d+c\sqrt{c^2d^2-3cdp+3p^2}}{3(cd-p)}$. Следовательно, эта критическая точка меньше
$\frac{c^2d+c(cd-p)}{3(cd-p)}$.
Предположим, что $\frac{c^2d+c(cd-p)}{3(cd-p)}<a$. Тогда
$c(2cd-p)<3a(cd-p)$, $2cd-p<3cd-3p$, $cd>2p$ - верно. Следовательно, предположение было верным.

-- Чт янв 12, 2012 20:09:03 --

6.1. Итак, $a$, $a_1$, $a_2$ - рациональные числа.
$\frac{q+q_1+a(cd-p)}{cd-p}=\frac{c^2d}{cd-p}$ , отсюда $q+q_1$ имеет общий делитель с $d$ и $cd-p$. Но $\frac{qq_1a}{(cd-p)^2}=-\frac{ab(c-a)(c-b)(a-b)}{cd-p}$
Следовательно, $q$ и $q_1$ имеют общий делитель с $d$, $cd-p$ и $c-b$, при этом если $c-b=k^3$ , то $q$ делится на $k$, а $q_1$ делится на $k^3$. И $q$ имеет общий делитель с $cd-p$ помимо $k$ и $k_1$ ($k_1^3=c-a$), т.к. $\frac{qq_1}{cd-p}$ - целое число. Но поскольку
$\frac{q(q^2-c^2dq+c^2p(cd-p))}{(cd-p)^2}=-ab(c-a)(c-b)(a-b)$, это возможно только если $\frac{q}{cd-p}$ (или $\frac{q_1}{cd-p}$) - целое число. (поскольку $-ab(c-a)(c-b)(a-b)$не имеет общего делителя с $cd-p$, кроме $k$и $k_1$).
То есть, $a$ и $a_1$ - целые числа. $a_2$ - рациональное число.

-- Чт янв 12, 2012 20:16:37 --

7.1. $a^3(cd-p)-c^2da^2+c^2pa=a_1^3(cd-p)-c^2da_1^2+c^2pa_1$
Тогда $(a^3-a_1^3)(cd-p)-c^2d(a^2-a_1^2)+c^2p(a-a_1)=0$
Отсюда $(a^2+aa_1+a_1^2)(cd-p)-c^2d(a+a_1)+c^2p=0$
Таким образом $\frac{a^2+aa_1+a_1^2}{c^2}$- целое число (11) и $\frac{c^2((a+a_1)d-p)}{cd-p}$- целое число.
Поскольку $c^2$ и $cd-p$не имеют общего делителя, $\frac{(a+a_1)d-p}{cd-p}$- целое число. При этом $(a+a_1)d-p<2cd-p$, а $\frac{2cd-p}{cd-p}=2+\frac{p}{cd-p}<3$, поскольку $cd-p>p$. То есть, $\frac{(a+a_1)d-p}{cd-p}<3$.
$a+a_1$ не равно $c$ (поскольку тогда не выполняется равенство (11)), следовательно возможен только вариант $\frac{(a+a_1)d-p}{cd-p}=2$ Следовательно, $2c-a-a_1=\frac{p}{d}$. То есть, $\frac{p}{d}$- целое число.
Мы пришли к противоречию.
То есть, для того, чтобы выполнялось равенство $a^3+b^3=c^3$, должно выполняться $\frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c}$ - целое число, что невозможно, поскольку $a^2+b^2-c^2$ не имеет общего делителя с $c$ и $a+b$.

Значит, наше первоначальное предположение было не верным. Нет таких целых взаимнопростых чисел, которые удовлетворяли бы равенству $a^3+b^3=c^3$

[AKM]

... Также ни к чему формулировать теорему в терминах (x,y,z) и дублировать в (a,b,c). Тем более, что (x,y) ниже используются в другом смысле). Сделайте одну выделенную формулу (1).

[AKM]

Естественно упорядочить числа так: $a<b<c$ (порядок по величине совпадает с порядком по алфавиту). Это и запоминать не надо, в отличие от противоестественного $\text{.

[AKM]

Странная логика:

natalya_1 в сообщении #526163 писал(а):

Итак, Ферма утверждал, что уравнение ... не имеет целочисленных решений . Попробуем доказать обратное.

Читатель настроен на доказательство обратного. Прям ждёт: может, ещё и числа конкретные приведут?
Ан нет. В конце читаем:

natalya_1 в сообщении #526163 писал(а):

Уравнение ... не имеет решений в целых числах

Зачем так мудрить, зачем всё выворачивать? Почему не написать явно, что доказывается утверждение Ферма для $n=3$?

-- 15 янв 2012, 21:27 --

Взявши функцию $f(x)$, Вы не увидели, что этот полином раскладывается на 3 множителя. Но, решив квадратное уравнение и получив рациональные корни, Вы обязаны это увидеть! (То есть заниматься теоремой Ферма и не знать дважды-два из алгебры нельзя!) Увидевши это, наконец, Вы должны СРАЗУ представить функцию в виде

$$y(x)=x(x-c)[x(cd-p)-cp].$$

Как будто Вы сразу до этого догадались. Дискриминант остался в Вашей личной тетрадочке и никому здесь не нужен. Корни $x_1=0,\;x_2=c,\;x_3=\ldots$ очевидны.

Вся предыстория с перемножениями чего-то там, приведшая Вас к такому виду функции, будет, возможно, интересна Вашим биографам. Сохраните черновики для них. А в настоящем доказательстве (насколько я понял) это никому не нужно.

[AKM]

Я критиковал рубрикацию, но не просил её напрочь удалить.
У Вас было написано что-то вроде
4.2. пэ равно а плюс бэ минус цэ, зю равно ку плюс икс и далее куча формул и пэ умножить на а минус пэ на бэ и так долго долго

Не надо абзац начинать формулой. Напишите понятное введение:

4.2. Здесь мы докажем неравенство (к примеру) $p>0$. И после этого шпарьте Ваши формулы. Пусть читатель сразу видит, о чём речь в данном параграфе. И поменьше тривиальных формул.

И даже без этой рубрикации так следует сделать. Ибо это ужас какой-то:

natalya_1 в сообщении #526163 писал(а):

$a+b-c=d$
$a^2+b^2-c^2=p$ , отсюда
$pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$,
$a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$.
$ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$, т.к. $ad-p=a^2+ab-ac-a^2-b^2+c^2=(c-b)(c+b-a)>0$, $a<b<c$

[AKM]

Не надо приводить неиспользуемые в доказательстве соотношения.

Я не вижу, чтобы неравенства $ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$ где-то далее использовались. Похоже, они написаны "на всякий случай": а вдруг кто-нибудь докопается? То же касается практически очевидных неравенств $p,d>0$. Явно используется лишь $ad-p>p$. Если что-то из этого нужно, то надо записать его в выделенном виде и потом сослаться на номер. Либо привести доказательство там, где оно требуется.

Я же привёл пример и код выделенного неравенства с номером внутри, почему Вы не используете этого?
Ваше

      $d=a+b-c$,                          $p=a^2+b^2-c^2$                                            (2)

очевидно, нужного эффекта не даст. Получается ерунда, и это (2) теряется в потоке словоформул:
$d=a+b-c$, $p=a^2+b^2-c^2$ (2)

$$d=a+b-c,\qquad p=a^2+b^2-c^2\eqno(2)$$

$$d=a+b-c,\qquad p=a^2+b^2-c^2\eqno(2)$$

[AKM]

natalya_1 в сообщении #526163 писал(а):

$f(b)=f(b_1)=f(b_2)$ и $b$ , $b_1$ , $b_2$ - корни уравнения

$$(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px+ab(c-a)(c-b)(a-b)=0\egno(4)$$

(Добавлено мной /AKM)

(если это корни, то, очевидно, что $f(b)=f(b_1)=f(b_2)\;[=-f(a)]$, и не надо это добавлять)
\eqno пишется через "q": eq(uation nomer)

$b+b_1+b_2=\frac{c^2d}{cd-p}$, $bb_1b_2=-\frac{ab(c-a)(c-b)(a-b)}{cd-p}$

Пусть $b_1=\frac{q}{cd-p}$, $b_2=\frac{q_1}{cd-p}$,

$\frac{q+q_1+b(cd-p)}{cd-p}=\frac{c^2d}{cd-p}$ , $\frac{qq_1b}{(cd-p)^2}=-\frac{ab(c-a)(c-b)(a-b)}{cd-p}$
Следовательно, $\frac{qq_1}{cd-p}$ - целое число. Но поскольку...

Пусть $b,b_1,b_2$ - корни уравнения $f(x)+f(a)=0$, или, в развёрнутом виде -

$$(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px+ab(c-a)(c-b)(a-b)=0,\eqno(4)$$

и $b_1=\dfrac{q_1}{cd-p}$, $b_2=\dfrac{q_2}{cd-p}$. Тогда, по теореме Виета, $\dfrac{q_1+q_2+b(cd-p)}{cd-p}=\dfrac{c^2d}{cd-p}$ , $\dfrac{q_1q_2b}{(cd-p)^2}=-\dfrac{ab(c-a)(c-b)(a-b)}{cd-p}$
Следовательно, $\dfrac{q_1q_2}{cd-p}$ - целое число. Но поскольку...

(Оффтоп)

естественнее ассоциировать $b_{1,2}\to q_{1,2}$, а не так, как у Вас.

-- 16 янв 2012, 18:49 --

Поток формул (4 строки), заканчивающийся формулой (3), не сопровождается никакими рассуждениями. Что это, зачем это? Ну нельзя так писать. Сама формула (3), уверен, далее не используется, и приписывать ей номер ни к чему.

Да и сама она, конечно, не нужна... ну да ладно...

[AKM]

natalya_1 в сообщении #526163 писал(а):

Следовательно, $\frac{q_1q_2}{cd-p}$ - целое число. Но поскольку

нельзя ли, лично для меня, в порядке любезности (может - временно, пока не пойму) вот это "поскольку" подробнее расписать?

$\frac{q_1(q_1^2-c^2dq_1+c^2p(cd-p))}{(cd-p)^2}=-ab(c-a)(c-b)(a-b)$, это возможно только если $q_1$ (или $q_2$) имеет делитель $cd-p$.

natalya_1 в сообщении #526163 писал(а):

(поскольку $-ab(c-a)(c-b)(a-b)$ не имеет общего делителя с $cd-p$, кроме общего делителя с $p$ и $d$).

Допустим, Маша не имеет общих друзей с Мишей, кроме общих друзей с Петей и Васей. Вы что, и правда в состоянии понять из этой фразы, у кого с кем есть общие друзья? Не, я не исключаю, что это у меня уже там вещество не ворочается. С другой стороны, "не иметь..., кроме" --- почти двойное отрицание, и оно может трудно восприниматься. Вечером, например.

[AKM]

natalya_1 в сообщении #526163 писал(а):

... и $a_1^3+b_1^3$ имеет делитель $c^2$ (но здесь обязан быть знак препинания! Точка - один смысл, двоеточие - другой. Мы же не телепаты.)

$$d^3=3(c-a)(c-b)(b-a)\eqno(5)$$

Дальше буду переписывать

А дальше пока и не надо: Вы написали очевидно неверное равенство (происхождения которого я не понял, поскольку не смог пробраться через многочисленные "поскольку" и прочие неясности). Но прикинуть случай $a=b$ смог в уме. Даже, хе-хе, вечером.
Всё.
Либо это и есть как-то полученное вожделенное противоречие, и "теорема доказана".
Либо это грубая ошибка, которую надо исправлять.

[AKM]

natalya_1 в сообщении #526163 писал(а):

... имеет делитель $c^2.$

$$d^3=3(c-a)(c-b)(b+a)\eqno(5)$$

Хорошо, Вы поставили точку, тем самым логически отделив предыдущее от последующего. Мы теперь видим, что эти штуки не связаны между собой, как было бы в случае двоеточия.

Но не может новое предложение начинаться с выделенной формулы (да и с невыделенной - нехорошо!). Ну какие-то слова, о том, к чему мы теперь переходим, зачем и откуда эта формула --- неужели не возможны?

Вы старательно храните кучу никому не нужных формул (о чём я не раз писал; всё между (1) и (2), между (2) и (3), включая (3), --- никому на хрен не нужно. "Нет, я вся такая упрямая, нужно, нужно, пригодится"). А реально нужные вещи не пишете, столь же упрямо.

Да, я видел в списке посетителей форума и каких-то ro(bot)ов (видимо, они чисто собирают информацию для поисковиков), но в основном это люди, уверяю Вас --- ЖИВЫЕ ЛЮДИ, как мы с Вами. Пишите чуть более по-ЛЮДСКИ, для нас. На кой Вам эти роботы? Они всё равно в теме участия не примут.

(Оффтоп)

Если Вы думаете, что поток формул --- это стиль общения математиков, то Вы сильно ошибаетесь. Это скорее напоминает дурацкий стиль школьных домашних и контрольных заданий, где в угоду якобы экономии времени пишут всё кратко, бессловесно, по шаблону, без понимания написанного. Экономят они при этом на чём-то другом (ну, там, на развитии ума, логики общения (изложения мыслей), не знаю точно)... Один из итогов этой "экономии": читать Ваши труды бесконечно тяжело.

[AKM]

natalya_1 в сообщении #526163 писал(а):

"Реально нужные вещи" готова написать, просто я не совсем поняла, до этого Вы сказали, что вывод формул не нужен, нужен только результат.

Вряд ли я мог написать именно так, да и мне самому лень искать. Да, вывод тривиальных формул не нужен, мешает читать. Просто у Вас мало опыта, чтобы оценить, где это нужно, а где это не нужно. И превалирует принцип "на всякий случай".

Но вот Вы написали уравнение (ныне без номера), корнями которого являются числа $b,b_1,b_2$. Уравнение кубическое, и один корень (блин, какое счастье, рациональный!) известен. Естественно, всем хочется увидеть остальные корни, которые теперь так легко получить!

Но Вы их почему-то в явном виде не пишете. Почему? Всякую очевидную мелочёвку пишете, старательно храните (несмотря на мои наскоки), а это, явно интересное, игнорируете. Мудрите с $b_{1,2}\to q_{1,2}$. Почему?

• Вариант 1. Они (корни в явном виде) Вам не нужны. И тогда Вы должны успокоить нас, сказать, что эти формулы слишком громоздкие, приводить их ни к чему, и что мы(!) получим необходимое и без этих формул. ОК, поверим, посмотрим, подождём.
• Вариант 2. Вы не знаете, что это легко. В пользу этой гипотезы говорят многочисленные Ваши признания на форуме на тему Вашей математической неособоискушённости. Так что не взыщите: их хочется увидеть в явном выражении.

Их захочется увидеть и тем, кто попытается выделить полный квадрат из дискриминанта, чего-то там упростить... Но да, если Вариант 1 проходит, то пусть сами себе выводят явный вид корней и возятся с дискриминантом.

-- 17 янв 2012, 01:55 --

Я пока не вижу оснований считать, что эти корни вообще существуют как действительные. А Вы с ними так легко опрерируете, делители у них какие-то выискиваете...

[AKM]

Цитата:

для того, чтобы $\frac{q_1q_2}{cd-p}$ было целым числом, необходмо, чтобы $q_1$ и $q_2$ имели общие делители (разные) с $cd-p$ кроме делителей, ...

Ладно, я не буду лезть не в своё дело и пытаться это понять. Мне сразу приходит на ум вариант $q_1=7-\sqrt{13}$, $q_2=7+\sqrt{13}$, а думать самому, почему он невозможен, мне лень. Пусть потом математики этим занимаются.

-- 17 янв 2012, 14:08 --

Переменная икс у Вас по-прежнему двусмысленна, о чём я уже писал.

[AKM]

natalya_1 в сообщении #526163 писал(а):

Аналогично с $a_1$.

По-моему, нам пока неизвестно, что такое $a_1$. Впрочем, поищу очки и гляну ещё раз.
Это уже, конечно, совсем блажь, но выделите слова типа "следовательно" и "соответственно" запятыми. И пусть они все уписяются от восторга.

-- 17 янв 2012, 23:48 --

natalya_1 в сообщении #526163 писал(а):

(т.к. точка перегиба функции $f(x)$ меньше $a$)

Точка меньше числа... Любовь лучше сковородки... Гиппопотам длиннее градуса...
О, мой нежный слух, израненный ферматиками и решателями матриц, ты ещё не сдох? Ты ещё что-то такое чувствуешь?

[AKM]

natalya_1 в сообщении #526163 писал(а):

Аналогично с $a_1$ и $a_2.$

Что аналогично? Какая такая аналогия? Ничего непонятно. Каков был вывод про $b_1,b_2$, чтобы мы смогли сформулировать "аналогичный" вывод про $a_1,a_2$? И не сформулируете ли Вы это сами?

natalya_1 в сообщении #526163 писал(а):

Отсюда следует, что $a_1+b_1=k(a+b)$, $a_1^3+b_1^3=k^3(a^3+b^3)=k^3c^3$,...

Отсюда следуют оба приведённых через запятую факта?
Или
Отсюда следует, что $a_1+b_1=k(a+b)$ ТОЧКА. А здесь какие-то слова про это: $a_1^3+b_1^3=k^3(a^3+b^3)=k^3c^3$, ...

Пренебрежение знаками препинания и элементарными пояснительными словами делает Ваш текст местами понятным только Вам.

(Раньше, замечу, теорема Виета упоминалась. Теперь исчезла. Наверное, уже не используется).