Зависимость массы от скорости.

[diletant10]

Уважаемый г-н Munin!
Спасибо за источники. Но Вы слишком высокого мнения о моих матаматических знаниях.
Прошу кого-нибудь сообщить мне интересуемые меня две формулы (см. мое сообщение от 21.12.2011, 18:04).

[Munin]

Я чё-то не понимаю. В Фейнмане эти две формулы есть. Вы их найти можете? Если да - то что вас не устраивает? Ваши математические знания не достаточны, чтобы разобраться с ними? Тогда какая разница, кто ещё их вам сообщит?

-- 22.12.2011 16:21:24 --

P. S. Вы упомянули, что вам в статье Окуня не вполне удалось разобраться, трудности с какими-то конкретными вещами. Если вас это интересует, укажите подробнее, тут легко помочь.

[srm]

Munin в сообщении #469831 писал(а):

А это плохо. От константы зависимости не бывает.

Читал как-то учебник по магниторазведке. Там была примерно такая фраза: "модуль спина электрона зависит от постоянной планка"

[diletant10]

Munin в сообщении #518490 писал(а):

Вы упомянули, что вам в статье Окуня не вполне удалось разобраться, трудности с какими-то конкретными вещами. Если вас это интересует, укажите подробнее, тут легко помочь.

В статье «Понятие массы», Л. Б. Окуня ( http://ufn.ru/ru/articles/1989/7/f/ ):

Цитата:

Сила, с которой Земля притягивает камень, равна

$$\mathbf{F_0}=-\frac{GMm\mathbf{r}}{r^3}, \quad (2.7)$$

где радиус-вектор $\mathbf{r},$ соединяющий центры масс тел, направлен от Земли к камню. (С такой же, но противоположно направленной силой камень притягивает Землю.)
Из формул (2.7) и (2.5) следует, что ускорение тела, свободно падающего в гравитационном поле, не зависит от его массы. Ускорение в поле Земли обычно обозначают $\mathbf{g}:$

$$\mathbf{g}= \frac{\mathbf{F_g}}{m}=-\frac{GM\mathbf{r}}{r^3}. \quad (2.8)$$

Так как радиус-вектор $\mathbf{r},$ соединяющий центры масс тел, направлен от Земли к камню, а сила-вектор $\mathbf{F_g}$ и ускорение-вектор $\mathbf{g}$ направлены к Земле, то поэтому минус в правых частях в формулах (2.7) и (2.8)?

Цитата:

В литературе по теории относительности обычно используются обозначения

$$ \beta =\frac{v}{c}, \quad (6.5)$$

В формуле (6.5) модуль скорости $v$, и поэтому в формуле (6.5) $\beta$ скаляр? Во всяком случае, я так понимаю по их написанию у Л. Б. Окуня. Читаем дальше:

Цитата:

Рассмотрим самый простой пример, когда одно из тел имеет очень большую массу $M$ и находится в покое (например, Солнце или Земля), а другое имеет очень малую или даже нулевую массу, например электрон или фотон с энергией $E.$. Исходя из общей теории относительности, можно показать, что в этом случае сила, действующая на легкую частицу, равна

$$\mathbf{F}=-GM\frac{E}{c^2}[(1+\boldsymbol\beta^2)\mathbf{r}-(\mathbf{r}\beta) \boldsymbol{\beta}]r^{-3}, \quad (8.1)$$

Легко видеть, что для медленного электрона с $\beta\ll1$ выражение в квадратной скобке сводится к $\mathbf{r},$ и, учитывая, что $E_0/c^2=m,$ мы возвращаемся к нерелятивистской формуле Ньютона.

До этого места вопросов нет.
К сожалению, мне не удалось в формулах греческие буквы сделать прямыми, как это делается в книгах. Но в цитируемой статье в формуле (8.1) мне не понятны три символа в квадратных скобках, три греческих буквы $\beta.$ Левая и правая напечатаны жирным шрифтом. Это значит вектор? Средняя не жирным шрифтом. Это скаляр?

Цитата:

Однако при $v/c\sim1$ мы сталкиваемся с принципиально новым явлением: величина, играющая роль "гравитационной массы" релятивистской частицы, оказывается зависящей не только от энергии частицы, но и от взаимного направления векторов $\mathbf{r}$ и $\mathbf{v}.$ Если $\mathbf{v}\parallel\mathbf{r},$ то «гравитационная масса» равна $E/c^2,$

И используя формулу (6.3) Л. Б. Окуня:

Цитата:

и, извлекая квадратный корень, получим

$$E=mc^2\bigg(1-\frac{v^2}{c^2}\bigg)^{-1/2}. \quad (6.3)$$

Находим силу гравитационного взаимодействия Земли и релятивистского тела на Южном полюсе:

$$\mathbf{F__\text{юг}}=-\frac{Gm_\text{тела}m_\text{земли}}{r_\text{земли}^2(1-\beta^2)^{1/2}}.$$

Цитата:

но если $\mathbf{v}\perp\mathbf{r},$ то она становится равной $(E/c^2)(1+\beta^2),$ а для фотона $2E/c^2=m.$
Мы используем кавычки, чтобы подчеркнуть, что для релятивистского тела понятие гравитационной массы неприменимо. Бессмысленно говорить о гравитационной массе фотона, если для вертикально падающего фотона эта величина в два раза меньше, чем для летящего горизонтально.

И если в случае с вертикально падающим телом или фотоном (на Южном полюсе) формулы я вижу и они понятны, то не ясно их происхождение из формулы (8.1) из-за не ясности с символами $\beta.$
Поэтому не могу получить формулу для вертикально взлетающего тела или фотона (на Северном полюсе).

[Munin]

diletant10 в сообщении #518915 писал(а):

Так как радиус-вектор $\mathbf{r},$ соединяющий центры масс тел, направлен от Земли к камню, а сила-вектор $\mathbf{F_g}$ и ускорение-вектор $\mathbf{g}$ направлены к Земле, то поэтому минус в правых частях в формулах (2.7) и (2.8)?

Да. Тут всё просто.

diletant10 в сообщении #518915 писал(а):

В формуле (6.5) модуль скорости $v$, и поэтому в формуле (6.5) $\beta$ скаляр? Во всяком случае, я так понимаю по их написанию у Л. Б. Окуня.

Да. Но дальше используется и вектор $\pmb{\beta},$ поскольку его смысл достаточно очевиден.

diletant10 в сообщении #518915 писал(а):

К сожалению, мне не удалось в формулах греческие буквы сделать прямыми, как это делается в книгах. Но в цитируемой статье в формуле (8.1) мне не понятны три символа в квадратных скобках, три греческих буквы $\beta.$ Левая и правая напечатаны жирным шрифтом. Это значит вектор? Средняя не жирным шрифтом. Это скаляр?

Не беспокойтесь о наклоне греческих букв. В советской типографике было принято использовать прямые, в современной англоязычной и, соответственно, в LaTeX по умолчанию наклонные. Смысл у них от этого не меняется.

В цитируемой статье в формуле (8.1) все три $\pmb{\beta}$ жирные и обозначают векторы. Просто небольшой типографский брак повредил среднюю букву. Но по смыслу формулы легко понять, что там должен стоять вектор. Вот та же формула со стрелочками над векторами:

$$\vec{F}=-GM\dfrac{E}{c^2}[(1+\vec{\beta}^2)\vec{r}-(\vec{r}\vec{\beta})\vec{\beta}]r^{-3}.$$

Видно, что $\vec{\beta}^2$ - скаляр, $(\vec{r}\vec{\beta})$ - скаляр, скаляры умножаются на векторы, получаются векторы, и векторы складываются с векторами. В итоге, после домножения на скалярные коэффициенты, тоже получается вектор.

diletant10 в сообщении #518915 писал(а):

И используя формулу (6.3) Л. Б. Окуня...
Находим силу гравитационного взаимодействия Земли и релятивистского тела на Южном полюсе...

Вы пропустили ключевой момент: эта сила зависит от того, как тело летит: по вертикали или по горизонтали, или под углом. Поэтому вы должны писать с уточнением: "находим силу гравитационного взаимодействия Земли и вертикально движущегося релятивистского тела". Кстати, при чём тут Южный полюс, не пойму.

diletant10 в сообщении #518915 писал(а):

И если в случае с вертикально падающим телом или фотоном (на Южном полюсе) формулы я вижу и они понятны, то не ясно их происхождение из формулы (8.1) из-за не ясности с символами $\beta.$
Поэтому не могу получить формулу для вертикально взлетающего тела или фотона (на Северном полюсе).

Между вертикальным падением и вертикальным взлётом разницы никакой нет. Для $\pmb{\beta}\parallel\mathbf{r},$ очевидно, $(\mathbf{r}\pmb{\beta})\pmb{\beta}=(\pmb{\beta\beta})\mathbf{r}.$

Кстати, скажу по секрету, букву $\pmb{\beta}$ физики обычно не используют, в системе единиц $c=1$ можно пользоваться привычным обозначением скорости $\mathbf{v}.$ Обозначения - это рабочий инструмент, и к нему нужно относиться бережно. Плохо, и когда значков слишком мало - большие выражения приходится таскать - и когда слишком много - запутаешься.

[diletant10]

Munin в сообщении #518993 писал(а):

В цитируемой статье в формуле (8.1) все три $\pmb{\beta}$ жирные и обозначают векторы. Просто небольшой типографский брак повредил среднюю букву. Но по смыслу формулы легко понять, что там должен стоять вектор. Вот та же формула со стрелочками над векторами:

$$\vec{F}=-GM\dfrac{E}{c^2}[(1+\vec{\beta}^2)\vec{r}-(\vec{r}\vec{\beta})\vec{\beta}]r^{-3}.$$

Видно, что $\vec{\beta}^2$ - скаляр, $(\vec{r}\vec{\beta})$ - скаляр, скаляры умножаются на векторы, получаются векторы, и векторы складываются с векторами. В итоге, после домножения на скалярные коэффициенты, тоже получается вектор.

Цитата:

Вы пропустили ключевой момент: эта сила зависит от того, как тело летит: по вертикали или по горизонтали, или под углом.

Благодарю за науку… Насчет ключевого момента. Его я не пропустил, отложил на чуть позже. Получается у меня, что в формуле (8.1) и в приведенной Вами формуле у правой $\vec{\beta}$ должен стоять $\cos{\alpha}.$ Злесь $\alpha$ – угол между радиус-вектором $\mathbf{r}$ и скорость-вектором $\mathbf{v}.$ Это так? А то у меня сомнения.

Цитата:

Кстати, при чём тут Южный полюс, не пойму.

См. мое сообщение от 21.12.2011, 18:04. У меня не важно с «от общего к частному». Если «от частного к общему», то немного успешнее.

[Munin]

diletant10 в сообщении #519086 писал(а):

Получается у меня, что в формуле (8.1) и в приведенной Вами формуле у правой $\vec{\beta}$ должен стоять $\cos{\alpha}.$ Злесь $\alpha$ – угол между радиус-вектором $\mathbf{r}$ и скорость-вектором $\mathbf{v}.$ Это так?

Да, если вы не забудете ещё про модуль $\vec{r}.$

[diletant10]

Munin в сообщении #519099 писал(а):

Да, если вы не забудете ещё про модуль $\vec{r}.$

Во! Я не знал, где модуль. Не у $\cos{\alpha}$ же его применять! Теперь все срослось! А то «конструкторы» «вечных двигателей» были бы тут как тут. Благодарю.