Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО

[В. Войтик]

Шимпанзе в сообщении #509691 писал(а):

Как говорится, а "воз и ныне там".

Что Вы имеете ввиду?

[epros]

Я намекаю на то, что пока что вообще не определено каким образом наблюдатель узнает, движется ли некий удалённый объект или нет. Вопрос имеет две составляющие:

1) Тангенциальное движение: Сначала наблюдатель должен как-то определиться со своей ориентацией в пространстве, т.е. с тем, как вращается он сам. В частности, если он может обнаружить своё вращение относительно мгновенно-сопутствующей ИСО, значит он уже не точечный.

2) Радиальное движение: Здесь вопрос заключается в том, как наблюдатель будет определять расстояние до объекта. Ответ "радаром" является неким лукавством, потом что в данном случае речь идёт не о бесконечно малых расстояниях, так что полагаться на то, что сигнал обратно идёт по тому же пути , что и туда, нельзя. А это значит, что аксиома равенства расстояний на пути туда и обратно неприменима.

К тому же, ответы на оба эти вопроса неплохо бы получить в привязке к определённым моментам времени.

[A-u-uuu]

Someone в сообщении #509415 писал(а):

zbl в сообщении #509402 писал(а):

Вы, как я вижу по этим словам, не чувствуете разницу между системой координат в пространстве-времени и системой отсчёта.
Это не упрёк, потому что эту разницу большая наука осознала лишь к концу 60-х годов.
Во множестве учебников эта разница поэтому раскрыта очень плохо.
Я знаю такой хороший источник по этому вопросу: монография Владимирова, Владимиров Ю.С. Системы отсчёта в теории гравитации (1982).
Объяснить разницу коротенько прямо тут могу, но я пока не видел, чтобы Вы лично слушали то, что я говорю, а в пустоту вещать очень не люблю.

Пишите, я прочту, так что будет не в пустоту. Я тоже не очень хорошо знаю эту разницу.

Присоединяюсь. Очень интересно.

alcoholist в сообщении #509515 писал(а):

Вот возьмем нормированную плоскость $\mathbb{R}^2_1$ (расстояние между точками -- сумма модулей разностей координат): пара радиусов, охватывающих данную дугу не всегда единственна. Таким образом можно получить три "радиуса" $a,b,c$ для которых $\widehat{ab}=\widehat{ac}$. Вообще, если кривизна ни сверху ни снизу не ограничена (как в любом нормированном, кроме евклидова), то говорить об углах бессмысленно.

Интуитивно представляется верным. И это навевает старые мысли, что вращение не аппроксимируется, в общем случае, бесконечно малыми движениями по прямой.

Например, отношение длинны "окружности" к площади фигуры "ее описывающей".

(Оффтоп)

Стандартный пример с многоугольником легко заменить примером со звездой. Вот, например, звезда в круге.

Площадь круга равна площади этой звезды + площадь оставшихся секторов.
Если количество лучей замкнутого контура звезды неограниченно увеличивать, то площадь этой "тонкой звезды" будет сокращаться, а вершины сектров будут неограниченно приближаться к центру круга.
В пределе мы получим стандартную площадь круга $S=\pi R^2$ с вещественным $R +$ и мнимую площадь звезды с бесконечным концом лучей и маленькой серединкой, в которую концы секторов вещественного круга так и не попадут.

[vicont]

epros в сообщении #509504 писал(а):

Стоп, не совсем так. Когда определяется радарный способ измерения расстояний, мы, конечно, можем иметь в виду, что он соответствует чему-то там, но вообще-то здесь про "одновременность" чего либо с чем либо речи не идёт. Разумеется, мы можем спросить наблюдателя: "К какому моменту относится измеренное расстояние"? - ибо расстояние может меняться со временем - и он нам ответит, что оно относится ровно к середине между моментами испускания и приёма сигнала. Однако всё это будут слова про показания его собственных часов, т.е. речь здесь совершенно не идёт о том, какие именно удалённые события одновременны с этим.

Радарный способ измерения расстояний невозможен, если мы не знаем скорость сигнала при движении к объекту и скорость сигнала при движении от объекта. Т.е. необходимы измерения скорости сигнала в одном направлении. А для этого нужна пара часов. А эти часы должны быть синхронизированы какой-либо процедурой (иначе измерение окажется бредом сивой кобылы)
Так что если Вы заявляете, что у вас скорость света туда равна скорости обратно значит у Вас часы синхронизированы в соответствии с эйнштейновским критерием синхронности часов.

epros в сообщении #509504 писал(а):

Зря Вы ищете проблемы на пустом месте. В одну сторону проходит за некое время и в другую сторону - за то же самое время (по тому же самому определению), а в итоге туда и обратно проходит за удвоенное время. Что и отражено в радарном способе измерения расстояния.

Если Вы сможете измерить это некое время (в одну сторону) при помощи одних часов, тогда можно будет считать, что Ваше утверждение, что здесь синхронизация часов ни при чем, доказано.

[epros]

vicont в сообщении #509885 писал(а):

...если мы не знаем скорость сигнала при движении к объекту и скорость сигнала при движении от объекта. Т.е. необходимы измерения скорости сигнала в одном направлении

По определению равна скорости света.

vicont в сообщении #509885 писал(а):

Если Вы сможете измерить это некое время (в одну сторону) при помощи одних часов....

Нет необходимости. Измеряем сумму.

[В. Войтик]

epros в сообщении #509706 писал(а):

Я намекаю на то, что пока что вообще не определено каким образом наблюдатель узнает, движется ли некий удалённый объект или нет. Вопрос имеет две составляющие:

1) Тангенциальное движение: Сначала наблюдатель должен как-то определиться со своей ориентацией в пространстве, т.е. с тем, как вращается он сам. В частности, если он может обнаружить своё вращение относительно мгновенно-сопутствующей ИСО, значит он уже не точечный.

Видите ли, "точечный" наблюдатель есть всё-таки приближение, когда можно пренебречь его размерами по сравнению с характерными размерами задачи. Он понимает, что вращается, по вращению ортов мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта в его непосредственной окрестности (можно и по вращению ортов сопутствующей ускоренной системы). Эта окрестность точечная по сравнению с другими характерными расстояниями.
Здесь есть некоторая аналогия с частицей имеющий спин, но тем не менее точечной

epros в сообщении #509706 писал(а):

2) Радиальное движение: Здесь вопрос заключается в том, как наблюдатель будет определять расстояние до объекта. Ответ "радаром" является неким лукавством, потом что в данном случае речь идёт не о бесконечно малых расстояниях, так что полагаться на то, что сигнал обратно идёт по тому же пути , что и туда, нельзя. А это значит, что аксиома равенства расстояний на пути туда и обратно неприменима.
К тому же, ответы на оба эти вопроса неплохо бы получить в привязке к определённым моментам времени.

Хороший вопрос. Да Вы правы. Если система отсчёта нестационарная, да что там..., даже если стационарная, но имеет вращение, свет будет возвращаться по другому пути. Но это не означает, что аксиома равенства расстояний неприменима. В принципе можно пользоваться не радаром, а линейкой, всё равно ответы будут одинаковыми.

Да тут есть трудность, но эта трудность математическая. Пока я в принципе знаю как надо изменить правило Пуанкаре только для стационарных систем отсчёта. Если хотите, я расскажу подробно для случая равномерно ускоренной системы отсчёта.

[epros]

В. Войтик в сообщении #509931 писал(а):

Видите ли, "точечный" наблюдатель есть всё-таки приближение, когда можно пренебречь его размерами по сравнению с характерными размерами задачи. Он понимает, что вращается, по вращению ортов мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта в его непосредственной окрестности (можно и по вращению ортов сопутствующей ускоренной системы). Эта окрестность точечная по сравнению с другими характерными расстояниями.

Видите, чтобы определить систему отсчёта в Вашем смысле, Вам приходится сначала построить в малой окрестности наблюдателя систему отсчёта в общем смысле.

И тут возникает вопрос, когда и почему общий смысл должен переходить в Ваш. Т.е. учитывая, что тело отсчёта не совсем точечное, Вы имеете возможность в некой малой пространственной области привязать СО к мировым линиям его частей, т.е. "определить пространственную ориентацию наблюдателя" в каждый момент времени. Но ведь дальше-то "линию заданного направления" тоже нужно как-то продолжать. И способ продолжения вообще говоря не единственный. Допустим, Вы скажете, что там, где заканчивается тело отсчёта, "линия заданного направления" должна быть геодезической. Это неким образом решает проблему однозначности определения направления. Но непонятно чем этот способ лучше других: С учётом того, что там, где тело отсчёта ещё не закончилось, "линия заданного направления" могла быть вовсе не геодезической ...

В. Войтик в сообщении #509931 писал(а):

Но это не означает, что аксиома равенства расстояний неприменима. В принципе можно пользоваться не радаром, а линейкой, всё равно ответы будут одинаковыми.

Любую аксиому, конечно же, можно считать применимой к чему угодно, если уж так хочется. На то она и аксиома. Однако обычно равенство расстояний обосновывается совпадением путей ("в том же трёхмерном пространстве"). Здесь же, увы, пути могут явно не совпадать.

Касательно механической линейки: Это объект, все точки которого неподвижны (в некий момент) относительно данной СО. Поэтому, приготовив механическую линейку для измерения, Вы фактически принимаете её за кусочек тела отсчёта. Т.е. мы опять возвращаемся к общему понятию системы отсчёта.

В. Войтик в сообщении #509931 писал(а):

Да тут есть трудность, но эта трудность математическая. Пока я в принципе знаю как надо изменить правило Пуанкаре только для стационарных систем отсчёта. Если хотите, я расскажу подробно для случая равномерно ускоренной системы отсчёта.

Мне кажется, я примерно понял что Вы хотите. Давайте попробую изложить, а Вы поправьте, если что. Итак:

1) Мировую линию наблюдателя (условный "центр" тела отсчёта) принимаем за начало координат.
2) Градуируем её показаниями собственных часов наблюдателя.
3) В окрестности, где находится тело отсчёта, определяем "точки трёхмерного пространства" $x_{\alpha} = \operatorname{const}$ мировыми линиями частей тела отсчёта.
4) Из точки $t = 0$ на мировой линии наблюдателя ортогонально к ней во все стороны проводим геодезические (пространственно-подобные, естественно). Принимаем их за "линии заданного направления" в момент $t = 0$.
5) В пределах тела отсчёта каждая такая линия, совместно с проведённой из каждой её точки мировой линией части тела отсчёта, определяет некую поверхность, задающую направление.
6) На каждой такой поверхности, задающей направление, из каждой точки $t = \operatorname{const}$ на мировой линии наблюдателя проводим линию, ортогональную ко всем мировым линиям тела отсчёта. (Обращаю внимание, что они могут не совпасть с "линиями заданного направления" из п. 4, ибо могут не являться геодезическими).
7) За пределами тела отсчёта продлеваем данные линии геодезическими. Назовём получившиеся линии "глобальными линиями заданного направления".
8) Совокупность таких линий для всех направлений в некоторый заданный момент $t = \operatorname{const}$ образует гиперповерхность одновременности.
9) Совокупность таких линий для заданного направления, но разных моментов $t$, образует поверхность, задающую направление (в пределах тела отсчёта она совпадает с тем, что было построено в п. 5).
10) На поверхности, задающей направление, проводим семейство линий, равноудалённых от мировой линии наблюдателя (как это сделать - отдельный вопрос, но в принципе это сделать можно). Эти линии задают "пространственные точки" $y_{\alpha} = \operatorname{const}$ системы отсчёта (обращаю внимание, что они могут не совпадать с мировыми линиями частей тела отсчёта - см. п. 3 - ибо тело отсчёта может сжиматься или расширяться в радиальном направлении).

Всё, у нас теперь есть и понятие "пространственных точек", расстояния между которыми могут быть определены стандартным образом, и понятие "одновременности". Как Вам "простота" такого построения?

[В. Войтик]

epros в сообщении #509964 писал(а):

И тут возникает вопрос, когда и почему общий смысл должен переходить в Ваш. Т.е. учитывая, что тело отсчёта не совсем точечное, Вы имеете возможность в некой малой пространственной области привязать СО к мировым линиям его частей, т.е. "определить пространственную ориентацию наблюдателя" в каждый момент времени. Но ведь дальше-то "линию заданного направления" тоже нужно как-то продолжать. И способ продолжения вообще говоря не единственный. Допустим, Вы скажете, что там, где заканчивается тело отсчёта, "линия заданного направления" должна быть геодезической. Это неким образом решает проблему однозначности определения направления. Но непонятно чем этот способ лучше других: С учётом того, что там, где тело отсчёта ещё не закончилось, "линия заданного направления" могла быть вовсе не геодезической ...

Но ведь могла быть и геодезической? Просто определим, что геодезическая.

epros в сообщении #509964 писал(а):

В. Войтик в сообщении #509931 писал(а):

Но это не означает, что аксиома равенства расстояний неприменима. В принципе можно пользоваться не радаром, а линейкой, всё равно ответы будут одинаковыми.

Любую аксиому, конечно же, можно считать применимой к чему угодно, если уж так хочется. На то она и аксиома. Однако обычно равенство расстояний обосновывается совпадением путей ("в том же трёхмерном пространстве"). Здесь же, увы, пути могут явно не совпадать.

Да, пути не совпадают, но радиус - вектор "туда" совпадает с радиус-вектором "обратно" (с точностью до знака). И если мы это примем за аксиому, то это расстояние вычисляется аналитически из экспериментальных данных радарного метода по крайней мере для стационарных систем отсчёта. Наверное можно обобщить и для слабо нестационарных систем...

epros в сообщении #509964 писал(а):

В. Войтик в сообщении #509931 писал(а):

Да тут есть трудность, но эта трудность математическая. Пока я в принципе знаю как надо изменить правило Пуанкаре только для стационарных систем отсчёта. Если хотите, я расскажу подробно для случая равномерно ускоренной системы отсчёта.

Мне кажется, я примерно понял что Вы хотите. Давайте попробую изложить, а Вы поправьте, если что. Итак:

1) Мировую линию наблюдателя (условный "центр" тела отсчёта) принимаем за начало координат.
2) Градуируем её показаниями собственных часов наблюдателя.
3) В окрестности, где находится тело отсчёта, определяем "точки трёхмерного пространства" $x_{\alpha} = \operatorname{const}$ мировыми линиями частей тела отсчёта.
4) Из точки $t = 0$ на мировой линии наблюдателя ортогонально к ней во все стороны проводим геодезические (пространственно-подобные, естественно). Принимаем их за "линии заданного направления" в момент $t = 0$.
5) В пределах тела отсчёта каждая такая линия, совместно с проведённой из каждой её точки мировой линией части тела отсчёта, определяет некую поверхность, задающую направление.
6) На каждой такой поверхности, задающей направление, из каждой точки $t = \operatorname{const}$ на мировой линии наблюдателя проводим линию, ортогональную ко всем мировым линиям тела отсчёта. (Обращаю внимание, что они могут не совпасть с "линиями заданного направления" из п. 4, ибо могут не являться геодезическими).
7) За пределами тела отсчёта продлеваем данные линии геодезическими. Назовём получившиеся линии "глобальными линиями заданного направления".
8) Совокупность таких линий для всех направлений в некоторый заданный момент $t = \operatorname{const}$ образует гиперповерхность одновременности.
9) Совокупность таких линий для заданного направления, но разных моментов $t$, образует поверхность, задающую направление (в пределах тела отсчёта она совпадает с тем, что было построено в п. 5).
10) На поверхности, задающей направление, проводим семейство линий, равноудалённых от мировой линии наблюдателя (как это сделать - отдельный вопрос, но в принципе это сделать можно). Эти линии задают "пространственные точки" $y_{\alpha} = \operatorname{const}$ системы отсчёта (обращаю внимание, что они могут не совпадать с мировыми линиями частей тела отсчёта - см. п. 3 - ибо тело отсчёта может сжиматься или расширяться в радиальном направлении).

Всё, у нас теперь есть и понятие "пространственных точек", расстояния между которыми могут быть определены стандартным образом, и понятие "одновременности". Как Вам "простота" такого построения?

Фактически Вы рассказали начальную главу из учебника псевдоевклидовой 4-геометрии. Это у Вас здорово получилось.

[epros]

В. Войтик в сообщении #509998 писал(а):

Но ведь могла быть и геодезической? Просто определим, что геодезическая.

Это зависит от того, как поведёт себя тело отсчёта, которое не обязано подчиняться нашим с Вами желаниям. А выбрать подходящее по своим свойствам тело отсчёта не всегда технически легко. Проблемы возникнут (как Вы уже замечали) при резких линейных или угловых ускорениях: обеспечить при этом отсутствие деформаций - это отдельная задача.

В. Войтик в сообщении #509998 писал(а):

Да, пути не совпадают, но радиус - вектор "туда" совпадает с радиус-вектором "обратно" (с точностью до знака).

Свет движется не по радиус-вектору. Такое допущение корректно только для малых расстояний.

В. Войтик в сообщении #509998 писал(а):

... это расстояние вычисляется аналитически ...

Чтобы вычислить какие-либо расстояния "аналитически" необходимо сначала определить СО. Замкнутый круг?

В. Войтик в сообщении #509998 писал(а):

Фактически Вы рассказали начальную главу из учебника псевдоевклидовой 4-геометрии. Это у Вас здорово получилось.

Спасибо. Вы поняли, что я постарался учесть Ваше желание построить СО, "жесткую" в радиальном направлении? Вкупе с тем, чтобы для начала вообще определить, что такое "направление". Правда мне не удалось учесть Ваше желание, чтобы углы между направлениями сохранялись ... Тут потребуется налагать какие-то ограничения на жёсткость тела отсчёта, что мы не всегда вправе сделать.

-- Ср ноя 30, 2011 14:18:39 --

И в итоге: Для чего всё это? Чтобы построить весьма специфический и довольно извращённый частный случай системы отсчёта? Стоило ли оно того?

[В. Войтик]

epros в сообщении #510005 писал(а):

[Это зависит от того, как поведёт себя тело отсчёта, которое не обязано подчиняться нашим с Вами желаниям. А выбрать подходящее по своим свойствам тело отсчёта не всегда технически легко. Проблемы возникнут (как Вы уже замечали) при резких линейных или угловых ускорениях: обеспечить при этом отсутствие деформаций - это отдельная задача.

Вот-вот.

epros в сообщении #510005 писал(а):

В. Войтик в сообщении #509998 писал(а):

Да, пути не совпадают, но радиус - вектор "туда" совпадает с радиус-вектором "обратно" (с точностью до знака).

Свет движется не по радиус-вектору. Такое допущение корректно только для малых расстояний.

Нет, я имею ввиду именно конечные расстояния. Всё равно по какой траектории движется свет. Важно, что он от радара попадёт в определённое место. И из этого места попадёт обратно в радар. Путём некоторых вычислений это место несложно найти. У Пуанкаре оно равно $\frac{t}{2}$. (с=1). В равномерно ускоренной системе отсчёта эта формула будет сложнее.

epros в сообщении #510005 писал(а):

В. Войтик в сообщении #509998 писал(а):

... это расстояние вычисляется аналитически ...

Чтобы вычислить какие-либо расстояния "аналитически" необходимо сначала определить СО. Замкнутый круг?

Нее. Я предпочитаю не заморачиваться тонкостями определения общей неинерциальной системы отсчёта, а вычислять, что можно исходя из некоторых предположений, которые мне кажутся обоснованными. Эти предположения такие. Я считаю, что можно в достаточно произвольной, жёсткой (относительно наблюдателя в начале) системе отсчёта (т.е. в частном виде общей системы отсчёта, о которой Вы говорили) иметь "прямоугольную" систему координат, т.е. некое линейное векторное 3-пространство, в котором можно ввести метрику, которую я уже приводил. В каждом месте такой системы координат расположены координатные часы синхронизированные с физическими часами в начале отсчёта. Вот такая система отсчёта является как бы классической. в том смысле, что если характеристики системы отсчёта станут равными нулю, эта система превратиться в хорошо известную инерциальную систему с декартовыми координатами.

epros в сообщении #510005 писал(а):

В. Войтик в сообщении #509998 писал(а):

Фактически Вы рассказали начальную главу из учебника псевдоевклидовой 4-геометрии. Это у Вас здорово получилось.

Спасибо. Вы поняли, что я постарался учесть Ваше желание построить СО, "жесткую" в радиальном направлении? Вкупе с тем, чтобы для начала вообще определить, что такое "направление". Правда мне не удалось учесть Ваше желание, чтобы углы между направлениями сохранялись ... Тут потребуется налагать какие-то ограничения на жёсткость тела отсчёта, что мы не всегда вправе сделать.

Да, спасибо. Это затруднение можно обойти, если предположить, что эталонной системой координат является система координат стационарной системы отсчёта. Тогда деформацию системы координат нестационарной системы можно относить за счёт сил инерции действующих относительно стационарной системы.

epros в сообщении #510005 писал(а):

И в итоге: Для чего всё это? Чтобы построить весьма специфический и довольно извращённый частный случай систему отсчёта? Стоило ли оно того?

Ну интересно же всё-таки, что получится.

[epros]

В. Войтик в сообщении #510016 писал(а):

Вот-вот.

Простое решение заключается в том, чтобы не заморачиваться способами ограничения деформации тела отсчёта, а признать право нежёстких СО на существование.

В. Войтик в сообщении #510016 писал(а):

Нет, я имею ввиду именно конечные расстояния. Всё равно по какой траектории движется свет. Важно, что он от радара попадёт в определённое место. И из этого места попадёт обратно в радар. Путём некоторых вычислений это место несложно найти.

Нет, в общем случае это место невозможно вычислить. Возможно, что Вы говорите только о пространстве Минковского, но его в реальности нам никто не обещал.

В. Войтик в сообщении #510016 писал(а):

Я считаю, что можно в достаточно произвольной, жёсткой (относительно наблюдателя в начале) системе отсчёта (т.е. в частном виде общей системы отсчёта, о которой Вы говорили) иметь "прямоугольную" систему координат

Вы сначала постройте эту жёсткую СО с прямоугольными координатами. Это отнюдь не всегда возможно.

В. Войтик в сообщении #510016 писал(а):

т.е. некое линейное векторное 3-пространство, в котором можно ввести метрику, которую я уже приводил

Я не понимаю как метрику можно "ввести". Метрика определяется объективными свойствами пространства-времени. 3-метрика ещё определяется и выбором СО, но если уж оную выбрали - будьте добры получить 3-метрику в готовом виде.

В. Войтик в сообщении #510016 писал(а):

Это затруднение можно обойти, если предположить, что эталонной системой координат является система координат стационарной системы отсчёта.

А где Вы её возьмёте эту стационарную систему отсчёта?

[В. Войтик]

epros в сообщении #510044 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510016 писал(а):

Вот-вот.

Простое решение заключается в том, чтобы не заморачиваться способами ограничения деформации тела отсчёта, а признать право нежёстких СО на существование.

Дык я разве против? Конечно нежёсткие существуют. Но существуют и жёсткие. И Вы уж признайте их право на существование

epros в сообщении #510044 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510016 писал(а):

Нет, я имею ввиду именно конечные расстояния. Всё равно по какой траектории движется свет. Важно, что он от радара попадёт в определённое место. И из этого места попадёт обратно в радар. Путём некоторых вычислений это место несложно найти.

Нет, в общем случае это место невозможно вычислить. Возможно, что Вы говорите только о пространстве Минковского, но его в реальности нам никто не обещал.

Да я говорил о Минковском. Но я бы так определённо не сказал, что это место невозможно вычислить и в общем случае в ОТО. Я думаю, что возможно, хотя бы численно. А какие у Вас основания думать иначе?

epros в сообщении #510044 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510016 писал(а):

Я считаю, что можно в достаточно произвольной, жёсткой (относительно наблюдателя в начале) системе отсчёта (т.е. в частном виде общей системы отсчёта, о которой Вы говорили) иметь "прямоугольную" систему координат

Вы сначала постройте эту жёсткую СО с прямоугольными координатами. Это отнюдь не всегда возможно.

В пространстве Минковского возможно. Это очевидно из того факта, что 4-метрика нестационарной системы точно такая же, что и метрика стационарной системы отсчёта. В ОТО не знаю... Может быть и возможно...

Хм. Я думал Вы согласны с концепцией существования понятия радиус-вектора (расстояния) в любой системе отсчёта. Да Вы недавно об этом говорили...

epros в сообщении #510044 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510016 писал(а):

т.е. некое линейное векторное 3-пространство, в котором можно ввести метрику, которую я уже приводил

Я не понимаю как метрику можно "ввести". Метрика определяется объективными свойствами пространства-времени. 3-метрика ещё определяется и выбором СО, но если уж оную выбрали - будьте добры получить 3-метрику в готовом виде.

Ну чего Вы придираетесь? Эта метрика вычислена вполне стандартным способом.

epros в сообщении #510044 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510016 писал(а):

Это затруднение можно обойти, если предположить, что эталонной системой координат является система координат стационарной системы отсчёта.

А где Вы её возьмёте эту стационарную систему отсчёта?

В момент $t$ метрика нестационарной системы отсчёта совпадает с метрикой стационарной системы отсчёта с характеристиками $\mathbf{W}(t)$, $\mathbf{\Omega}(t)$. А этого достаточно, чтобы утверждать, что нестационарная система совпадает с соответствующей стационарной.

[epros]

В. Войтик в сообщении #510115 писал(а):

Но существуют и жёсткие.

Не во всяком пространстве-времени, к сожалению. И даже в пространстве-времени Минковского - только при соблюдении некоторых условий.

В. Войтик в сообщении #510115 писал(а):

Да я говорил о Минковском.

А-ааа, да ну-уууу ... В пространстве-времени Минковского построить "радиально жёсткую" СО около произвольно движущегося наблюдателя - не особо трудная или интересная задача. Просто:
1) Проводим через каждую точку мировой линии наблюдателя перпендикулярную к ней гиперплоскость (ибо построить в Минковском гиперплоскость - не проблема). Это будут гиперповерхности одновременности. координатное время определяется по часам наблюдателя.
2) Проводим семейство мировых линий, всюду ортогональных данным гиперплоскостям (в точках пересечения с ними). Это будут линии $x_{\alpha} = \operatorname{const}$ невращающейся СО.
3) Если охота добавить вращение, то просто делаем соответствующую замену угловых координат, зависящую от координатного времени (речь о сферической системе пространственных координат с центром на наблюдателе, радиальную координату при замене не трогаем).

Преимущества этой СО:
- Она "радиально жёсткая", т.е. расстояния до наблюдателя не меняются. К тому же радиальная координата и соответствует этому расстоянию. Тангенциально она может быть не жёсткой.
- Соответственно, радиальная координата - синхронная.
- Вблизи наблюдателя пространственная геометрия близка к Евклидовой. От ускорений свободного падения и Кориолиса это, естественно, не освобождает.

[epros]

epros в сообщении #510198 писал(а):

- Вблизи наблюдателя пространственная геометрия близка к Евклидовой.

О, сорри. Увы, нет.

[В. Войтик]

epros в сообщении #510198 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510115 писал(а):

Но существуют и жёсткие.

Не во всяком пространстве-времени, к сожалению. И даже в пространстве-времени Минковского - только при соблюдении некоторых условий.

Ну тогда я рад .

epros в сообщении #510198 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510115 писал(а):

Да я говорил о Минковском.

А-ааа, да ну-уууу ... В пространстве-времени Минковского построить "радиально жёсткую" СО около произвольно движущегося наблюдателя - не особо трудная или интересная задача. Просто:
1) Проводим через каждую точку мировой линии наблюдателя перпендикулярную к ней гиперплоскость (ибо построить в Минковском гиперплоскость - не проблема). Это будут гиперповерхности одновременности. координатное время определяется по часам наблюдателя.
2) Проводим семейство мировых линий, всюду ортогональных данным гиперплоскостям (в точках пересечения с ними). Это будут линии $x_{\alpha} = \operatorname{const}$ невращающейся СО.
3) Если охота добавить вращение, то просто делаем соответствующую замену угловых координат, зависящую от координатного времени (речь о сферической системе пространственных координат с центром на наблюдателе, радиальную координату при замене не трогаем).

Преимущества этой СО:
- Она "радиально жёсткая", т.е. расстояния до наблюдателя не меняются. К тому же радиальная координата и соответствует этому расстоянию. Тангенциально она может быть не жёсткой.

Тангенциально она нежёсткая относительно наблюдателя вдали от начала отсчёта. Однако она должна быть тангенциально жёсткой относительно наблюдателя в начале отсчёта в смысле сохранения относительной ориентации направлений.

epros в сообщении #510345 писал(а):

epros в сообщении #510198 писал(а):

- Вблизи наблюдателя пространственная геометрия близка к Евклидовой.

О, сорри. Увы, нет.

Почему? У меня получилось единствнные ненулевые компоненты для вращающейся системы отсчёта
$R_{r\varphi r\varphi}=3\frac{\Omega^2r^2}{(1-\Omega^2r^2)^3}$
, что стремится к нулю при $r=0$