Видите ли, "точечный" наблюдатель есть всё-таки приближение, когда можно пренебречь его размерами по сравнению с характерными размерами задачи. Он понимает, что вращается, по вращению ортов мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта в его непосредственной окрестности (можно и по вращению ортов сопутствующей ускоренной системы). Эта окрестность точечная по сравнению с другими характерными расстояниями.
Видите, чтобы определить систему отсчёта в Вашем смысле, Вам приходится сначала построить в малой окрестности наблюдателя систему отсчёта в общем смысле.
И тут возникает вопрос, когда и почему общий смысл должен переходить в Ваш. Т.е. учитывая, что тело отсчёта не совсем точечное, Вы имеете возможность в некой малой пространственной области привязать СО к мировым линиям его частей, т.е. "определить пространственную ориентацию наблюдателя" в каждый момент времени. Но ведь дальше-то "линию заданного направления" тоже нужно как-то продолжать. И способ продолжения вообще говоря не единственный. Допустим, Вы скажете, что там, где заканчивается тело отсчёта, "линия заданного направления" должна быть геодезической. Это неким образом решает проблему однозначности определения направления. Но непонятно чем этот способ лучше других: С учётом того, что там, где тело отсчёта ещё не закончилось, "линия заданного направления" могла быть вовсе не геодезической ...
Но это не означает, что аксиома равенства расстояний неприменима. В принципе можно пользоваться не радаром, а линейкой, всё равно ответы будут одинаковыми.
Любую аксиому, конечно же, можно считать применимой к чему угодно, если уж так хочется. На то она и аксиома.
Однако обычно равенство расстояний обосновывается совпадением путей ("в том же трёхмерном пространстве"). Здесь же, увы, пути могут явно не совпадать.
Касательно механической линейки: Это объект, все точки которого неподвижны (в некий момент) относительно данной СО. Поэтому, приготовив механическую линейку для измерения, Вы фактически принимаете её за кусочек тела отсчёта. Т.е. мы опять возвращаемся к общему понятию системы отсчёта.
Да тут есть трудность, но эта трудность математическая. Пока я в принципе знаю как надо изменить правило Пуанкаре только для стационарных систем отсчёта. Если хотите, я расскажу подробно для случая равномерно ускоренной системы отсчёта.
Мне кажется, я примерно понял что Вы хотите. Давайте попробую изложить, а Вы поправьте, если что. Итак:
1) Мировую линию наблюдателя (условный "центр" тела отсчёта) принимаем за начало координат.
2) Градуируем её показаниями собственных часов наблюдателя.
3) В окрестности, где находится тело отсчёта, определяем "точки трёхмерного пространства"
мировыми линиями частей тела отсчёта.
4) Из точки
на мировой линии наблюдателя ортогонально к ней во все стороны проводим геодезические (пространственно-подобные, естественно). Принимаем их за "линии заданного направления" в момент
.
5) В пределах тела отсчёта каждая такая линия, совместно с проведённой из каждой её точки мировой линией части тела отсчёта, определяет некую поверхность, задающую направление.
6) На каждой такой поверхности, задающей направление, из каждой точки
на мировой линии наблюдателя проводим линию, ортогональную ко всем мировым линиям тела отсчёта. (Обращаю внимание, что они могут не совпасть с "линиями заданного направления" из п. 4, ибо могут не являться геодезическими).
7) За пределами тела отсчёта продлеваем данные линии геодезическими. Назовём получившиеся линии "глобальными линиями заданного направления".
8) Совокупность таких линий для всех направлений в некоторый заданный момент
образует гиперповерхность одновременности.
9) Совокупность таких линий для заданного направления, но разных моментов
, образует поверхность, задающую направление (в пределах тела отсчёта она совпадает с тем, что было построено в п. 5).
10) На поверхности, задающей направление, проводим семейство линий, равноудалённых от мировой линии наблюдателя (как это сделать - отдельный вопрос, но в принципе это сделать можно). Эти линии задают "пространственные точки"
системы отсчёта (обращаю внимание, что они могут не совпадать с мировыми линиями частей тела отсчёта - см. п. 3 - ибо тело отсчёта может сжиматься или расширяться в радиальном направлении).
Всё, у нас теперь есть и понятие "пространственных точек", расстояния между которыми могут быть определены стандартным образом, и понятие "одновременности". Как Вам "простота" такого построения?