2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение01.12.2011, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
В. Войтик в сообщении #510371 писал(а):
Однако она должна быть тангенциально жёсткой относительно наблюдателя в начале отсчёта в смысле сохранения относительной ориентации направлений.
Сохранение углов между направлениями обеспечить можно. Но что толку, если на некотором удалении от наблюдателя "линии заданных направлений" могут сближаться и удаляться по-всякому?

В. Войтик в сообщении #510371 писал(а):
Почему?
Не знаю как Вы считали. Пространственная метрика вращающейся СО:
$dl^2 = dr^2 + \frac{r^2}{1 - \Omega^2 r^2} d \varphi$ (координату $\theta$ опускаем).
Отсюда длина окружности вокруг наблюдателя:
$L = \frac{2 \pi R}{\sqrt{1 - \Omega^2 R^2}} \approx 2 \pi R \, (1 + \frac{1}{2} \Omega^2 R^2)$,
так что соответствующая компонента кривизны в точке нахождения наблюдателя пропорциональна $\Omega^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение01.12.2011, 17:47 
Аватара пользователя


29/01/09
397
epros в сообщении #510401 писал(а):
В. Войтик в сообщении #510371 писал(а):
Однако она должна быть тангенциально жёсткой относительно наблюдателя в начале отсчёта в смысле сохранения относительной ориентации направлений.
Сохранение углов между направлениями обеспечить можно. Но что толку, если на некотором удалении от наблюдателя "линии заданных направлений" могут сближаться и удаляться по-всякому?
Они могут, но не обязаны. Сделаем так, чтобы эти направления были как у сопутствующей стационарной системы. Тогда они будут сохранять относительную ориентацию.

epros в сообщении #510401 писал(а):
...
так что соответствующая компонента кривизны в точке нахождения наблюдателя пропорциональна $\Omega^2$.


$R=\gamma^{\varphi \varphi}\gamma^{rr}R_{r\varphi r\varphi}=3\frac{\Omega^2}{(1-\Omega^2r^2)^2}$
так, что Вы правы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение02.12.2011, 09:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
В. Войтик в сообщении #510485 писал(а):
Сделаем так, чтобы эти направления были как у сопутствующей стационарной системы
Сопутствующая стационарная система это что? Координаты Риндлера для тех же моментальных скорости и ускорения наблюдателя? А вращение?

В. Войтик в сообщении #510485 писал(а):
Тогда они будут сохранять относительную ориентацию.
Если Вы имеете в виду углы между направлениями, то, как я уже говорил, их сохранение обеспечивается соответствующим преобразованием угловых координат. А именно, должно обеспечиваться:
$d\theta^2 + \cos^2 {\theta} ~ d\varphi^2 = d\theta'^2 + \cos^2 {\theta'} ~ d\varphi'^2$.

Вообще, задача построения такой СО в пространстве Минковского не представляет собой ничего особенного. Интересны построения СО покоя заданного наблюдателя в произвольном пространстве-времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение02.12.2011, 12:05 
Аватара пользователя


29/01/09
397
epros в сообщении #510730 писал(а):
Сопутствующая стационарная система это что? Координаты Риндлера для тех же моментальных скорости и ускорения наблюдателя? А вращение?
В течение малого промежутка $\Delta t$ начала и оси декартовых координат нестационарной системы и мгновенно сопутствующей стационарной системы совпадают. При этом ускорение $\mathbf{W}$ и угловая скорость $\mathbf{\Omega}$ сопутствующей стационарной системы равны ускорению и угловой скорости нестационарной системы. Для другого промежутка времени $\mathbf{W}$ и $\mathbf{\Omega}$ изменяются. То есть берётся другая стационарная система отсчёта.
epros в сообщении #510730 писал(а):
В. Войтик в сообщении #510485 писал(а):
Тогда они будут сохранять относительную ориентацию.
Если Вы имеете в виду углы между направлениями...

Я имею ввиду сохранение положения $\mathbf{r}$ любой точки системы координат нестационарной системы отсчёта. Это приводит к сохранению направления $\frac{\mathbf{r}}{r}$
epros в сообщении #510730 писал(а):
Вообще, задача построения такой СО в пространстве Минковского не представляет собой ничего особенного. Интересны построения СО покоя заданного наблюдателя в произвольном пространстве-времени.

Да, наверное это интересно и думаю это возможно. Но, извините, лично мне математическое построение такой системы отсчёта в римановом пространстве-времени не особо интересно. Мне гораздо интереснее следующие физические следствия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение02.12.2011, 12:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
В. Войтик в сообщении #510760 писал(а):
epros в сообщении #510730 писал(а):
Сопутствующая стационарная система это что? Координаты Риндлера для тех же моментальных скорости и ускорения наблюдателя? А вращение?
В течение малого промежутка $\Delta t$ начала и оси декартовых координат нестационарной системы и мгновенно сопутствующей стационарной системы совпадают. При этом ускорение $\mathbf{W}$ и угловая скорость $\mathbf{\Omega}$ сопутствующей стационарной системы равны ускорению и угловой скорости нестационарной системы. Для другого промежутка времени $\mathbf{W}$ и $\mathbf{\Omega}$ изменяются.
Так я ж в сообщении #510198 Вам уже описал простой алгоритм построения того же самого, только без всяких сопутствующих стационарных систем.

В. Войтик в сообщении #510760 писал(а):
epros в сообщении #510730 писал(а):
В. Войтик в сообщении #510485 писал(а):
Тогда они будут сохранять относительную ориентацию.
Если Вы имеете в виду углы между направлениями...

Я имею ввиду сохранение положения $\mathbf{r}$ любой точки системы координат нестационарной системы отсчёта. Это приводит к сохранению направления $\frac{\mathbf{r}}{r}$
"Положение" любой точки сохраняется вообще в любой СО. Просто потому, что "положение" и "точка" - это синонимы. :wink:

А вот углы между заданными направлениями могут не сохраняться.

В. Войтик в сообщении #510760 писал(а):
Мне гораздо интереснее следующие физические следствия.
Какие физические следствия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение02.12.2011, 12:38 
Аватара пользователя


29/01/09
397
epros в сообщении #510766 писал(а):
Так я ж в сообщении #510198 Вам уже описал простой алгоритм построения того же самого, только без всяких сопутствующих стационарных систем.
Я же не возражаю. Вы правильно это сделали. Но лично мне ближе сопутствующие стационарные системы. Просто нагляднее.
epros в сообщении #510766 писал(а):
"Положение" любой точки сохраняется вообще в любой СО. Просто потому, что "положение" и "точка" - это синонимы. :wink:

Это так. Но положение точки другой системы отсчёта относительно жёсткой (тангенциально нежёсткой) меняется.

epros в сообщении #510766 писал(а):
А вот углы между заданными направлениями могут не сохраняться.
Они сохраняются в сопутствующей стационарной, значит сохраняются в нестационарной. Просто по определению жёсткой нестационарной системы.
epros в сообщении #510766 писал(а):
В. Войтик в сообщении #510760 писал(а):
Мне гораздо интереснее следующие физические следствия.
Какие физические следствия?

Не знаю. Т.е. с пространством Минковского то ясно, а вот в римановом не знаю

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение02.12.2011, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
В. Войтик в сообщении #510775 писал(а):
Но лично мне ближе сопутствующие стационарные системы. Просто нагляднее.
Это иллюзия простоты. На самом деле Вы не определили вращение, а значит Ваша сопутствующая стационарная система пока не построена.

Сравните с моим построением: Выполнение пунктов 1) и 2) даёт нам невращающуюся СО. Это значит, что в любой момент $t = \operatorname{const}$ определены направления, которые "соответствуют" любому заданному направлению в момент $t = 0$. И вращение мы определяем заменой координат, определяющих направления:
$\theta' = f_1(\theta,\varphi,t)$
$\varphi' = f_2(\theta,\varphi,t)$

В. Войтик в сообщении #510775 писал(а):
Т.е. с пространством Минковского то ясно
А что Вам ясно с пространством Минковского?

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение02.12.2011, 13:21 
Аватара пользователя


29/01/09
397
epros в сообщении #510783 писал(а):
В. Войтик в сообщении #510775 писал(а):
Но лично мне ближе сопутствующие стационарные системы. Просто нагляднее.
Это иллюзия простоты.
Это у Вас иллюзия простоты. :wink: Геометрия. Это конечно очень хорошо. Но как Вы на практике построите жёсткую (в том смысле о котором я говорил) нестационарную систему отсчёта без сопутствующей стационарной системы?
epros в сообщении #510783 писал(а):
В. Войтик в сообщении #510775 писал(а):
Т.е. с пространством Минковского то ясно
А что Вам ясно с пространством Минковского?

Ну например то, что длина ускоренной линейки в инерциальной системе зависит не только от скорости какой - либо точки, но и от её ускорения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение02.12.2011, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
В. Войтик в сообщении #510790 писал(а):
Но как Вы на практике построите жёсткую (в том смысле о котором я говорил) нестационарную систему отсчёта без сопутствующей стационарной системы?
Уверяю, что это у Вас будут проблемы с построением "на практике" стационарной сопутствующей системы, если Вы сначала не построите невращающуюся систему покоя наблюдателя (можно и сразу нестационарную).

В. Войтик в сообщении #510790 писал(а):
длина ускоренной линейки в инерциальной системе зависит не только от скорости какой - либо точки, но и от её ускорения
Для недеформированной линейки (а деформированная линейка - это нонсенс) это по определению неверно. Хочу Вам заметить, что линейку от нуля до некоторой скорости V можно разогнать без деформации сколь угодно быстро, вплоть до мгновенного изменения скорости каждой точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение02.12.2011, 14:40 
Аватара пользователя


29/01/09
397
epros в сообщении #510804 писал(а):
Уверяю, что это у Вас будут проблемы с построением "на практике" стационарной сопутствующей системы, если Вы сначала не построите невращающуюся систему покоя наблюдателя (можно и сразу нестационарную).
А какие проблемы Вы видите?
epros в сообщении #510804 писал(а):
В. Войтик в сообщении #510790 писал(а):
длина ускоренной линейки в инерциальной системе зависит не только от скорости какой - либо точки, но и от её ускорения
Для недеформированной линейки (а деформированная линейка - это нонсенс) это по определению неверно. Хочу Вам заметить, что линейку от нуля до некоторой скорости V можно разогнать без деформации сколь угодно быстро, вплоть до мгновенного изменения скорости каждой точки.
Линейка недеформирована в собственной системе отсчёта. Тем не менее её длина в ИСО зависит от ускорения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение02.12.2011, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
В. Войтик в сообщении #510822 писал(а):
А какие проблемы Вы видите?
Ну, раз речь была о "практике", давайте и попробуем проверить на практике: Возьмите геоцентрическую СО, в которой направления задаются географическими координатами (с учётом всех движений Земли, включая прецессию и нутации Земной оси), и попробуйте описать в ней движение Солнца. Только по честному - не переходя в СО, ориентированную по звёздам, а руководствуясь исключительно видимым движением Солнца и данными радиолокации. (Вспомним, что от посылки до приёмки отражённого от Солнца сигнала проходит примерно 16 минут и за это время видимое Солнце по небосводу успевает продвинуться примерно на 4 градуса. И фиг знает по какой траектории в этой СО двигался сигнал локатора.)

Интересно, как Вы для начала построите сопутствующую стационарную СО и как Вам это поможет?

В. Войтик в сообщении #510822 писал(а):
Тем не менее её длина в ИСО зависит от ускорения.
Нет, только от скорости. Хотя, разумеется, когда скорость линейки относительно лабораторной ИСО меняется, скорости разных её частей могут не совпадать, а значит понятие "скорость линейки" вообще неприменимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение02.12.2011, 19:22 
Аватара пользователя


29/01/09
397
epros в сообщении #510867 писал(а):
В. Войтик в сообщении #510822 писал(а):
А какие проблемы Вы видите?
Ну, раз речь была о "практике", давайте и попробуем проверить на практике: Возьмите геоцентрическую СО, в которой направления задаются географическими координатами (с учётом всех движений Земли, включая прецессию и нутации Земной оси), и попробуйте описать в ней движение Солнца. Только по честному - не переходя в СО, ориентированную по звёздам, а руководствуясь исключительно видимым движением Солнца и данными радиолокации. (Вспомним, что от посылки до приёмки отражённого от Солнца сигнала проходит примерно 16 минут и за это время видимое Солнце по небосводу успевает продвинуться примерно на 4 градуса. И фиг знает по какой траектории в этой СО двигался сигнал локатора.)

Интересно, как Вы для начала построите сопутствующую стационарную СО и как Вам это поможет?

По честному наверное будет не привлекать ОТО к этому вопросу. Я ведь уже сказал, что как будет в ОТО я не знаю (т.е. не уверен). Значит ограничиваемся СТО. А раз используем СТО, то я позволю себе уточнить Ваш вопрос. Надо определить положение материальной точки радарным методом в стационарной системе отсчёта. На этот вопрос, если хотите, я могу дать подробный ответ. Разумеется по честному.

Что касается нестационарной жёсткой системы отсчёта, то в СТО (как мы договорились в начале темы) в системе отсчёта существует понятие радиус-вектора материальной точки. Раз существует, то это положение мат. точки, я уверен, тоже можно вычислить радарным методом. Пока не знаю как это делается. Но видимо только численно.

epros в сообщении #510867 писал(а):
В. Войтик в сообщении #510822 писал(а):
Тем не менее её длина в ИСО зависит от ускорения.
Нет, только от скорости. Хотя, разумеется, когда скорость линейки относительно лабораторной ИСО меняется, скорости разных её частей могут не совпадать, а значит понятие "скорость линейки" вообще неприменимо.

От ускорения тоже зависит. А разве я где-то говорил о скорости линейки? Я говорил, что длина линейки зависит от скорости и ускорения её точки выбранной за её начало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение02.12.2011, 22:21 
Заслуженный участник


14/12/06
881
Someone в сообщении #509415 писал(а):
Пишите, я прочту, так что будет не в пустоту. Я тоже не очень хорошо знаю эту разницу.

Мистическая закономерность: чем бы я ни начал, закончу, пересказывая содержание учебников по общей физике...
Правда, тут чуть прогресс: в учебниках этот момент как раз плохо изложен...
Чтобы не только пересказывать Владимирова, а и толкнуть новые идеи, открою ка я ветку, назову "Парадокс Эренфеста 100 лет спустя".
Там основной вопрос как раз и будет, что такое система отсчёта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение04.12.2011, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
В. Войтик в сообщении #510936 писал(а):
По честному наверное будет не привлекать ОТО к этому вопросу.
И не надо, давайте считать, что имеем дело с пространством-временем Минковского.

В. Войтик в сообщении #510936 писал(а):
Надо определить положение материальной точки радарным методом в стационарной системе отсчёта. На этот вопрос, если хотите, я могу дать подробный ответ. Разумеется по честному.
Ну, давайте.

В. Войтик в сообщении #510936 писал(а):
От ускорения тоже зависит. А разве я где-то говорил о скорости линейки? Я говорил, что длина линейки зависит от скорости и ускорения её точки выбранной за её начало.
Каким образом может зависеть от ускорения, если по определению длина линейки в СО её покоя всегда должна быть равна количеству делений на ней? Т.е. независимо от каких-либо ускорений.

Допустим, что каждая точка линейки разгоняется до некой скорости V мгновенно. Допустим, что скорость V такова, что длина разогнавшейся линейки в лабораторной ИСО оказывается вдвое короче её длины в СО покоя. Как выглядит картинка разгона в лабораторной ИСО? Очень просто: Сначала со скоростью V начинает двигаться задний конец линейки, потом "волна" ускорения со сверхсветовой скоростью бежит до переднего конца. В каждый момент времени есть движущаяся со скоростью V часть линейки и есть покоящаяся часть линейки. Движущаяся часть сократилась в длине вдвое сравнительно с длиной в СО покоя, а неподвижная часть остаётся прежней длины. Никакая часть линейки не деформирована, ибо её длина в СО покоя осталась прежней.

Где тут зависимость от ускорения? И это при том, что ускорение в некий момент бесконечно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО
Сообщение06.12.2011, 00:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #509399 писал(а):
Тут нужно добавить магическое "чтобы имела смысл Задача Коши"

А что, без координат задача Коши смысла не имеет?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 174 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group