Сумма цифр числа не изменилась при умножении на 11...

[Shadow]

(Оффтоп)

Теорема ИНС-а:
Если 2 числа имеют одинаковый остаток при делении на 9, то их разность делится на 9.

[ИСН]

Один студент © тоже всё знал наперёд, и ладно бы знал, дак ещё и говорил. Начнут в компании анекдот рассказывать, а он: "Да знаю, знаю, это про того мужика, у которого было три глаза, ха-ха-ха". Вот как-то раз товарищи навалились на него гурьбой, скрутили, связали, заткнули рот кляпом, запустили в плеере подборку Петросяна 80-х годов с опцией "Repeat", заперли одного в комнате и ушли.

[Unconnected]

Значит, делится на 9, а не равно. Но это доказать надо наверное.

//прочитамши оффтоп: да, есть такая теорема в теории сравнений, и не только для 9, её могу доказать. Но как бы неизвестно, что все числа, где сумма цифр 5 - делятся на 9..

[ИСН]

Да уж неплохо бы.

[Shadow]

Ну и про профессоров анекдоты есть.

Цитата:

да, есть такая теорема в теории сравнений, и не только для 9, её могу доказать

Не знал. Значит, опередили все таки. Ладно. Не буду портить Вам удовольстие.

[Unconnected]

Только к чему тут теорема эта, не пойму, какая связь с суммой цифр-то?

[ИСН]

Тут надо знать признак делимости на 9, и почему он таков.

[Unconnected]

Ну, почему он таков, примерно понятно: десятки, сотни, тысячи и т.д. при делении на 9 дают остаток единицу, и если записать любое число в форме сравнения по модулю 9, то всё видно..
Значит, надо доказать, что разность чисел, сумма цифр которых =5 - делится на 9.

[ИСН]

Что "всё" Вам видно?

Цитата:

Девушка доила корову, а в воде отражалось всё наоборот.

[Unconnected]

$10000a + 100b + 10c + d \equiv 0(\mod 10)$, $a+b+c+d \equiv 0 (\mod 9)$
$0<a,b,c,d<9 $, значит, это возможно только когда их сумма $=9$.

Теперь.. сумма цифр делится на 9(не доказано), значит, число делится на 9, т.е. $a-b=9k$, $a \equiv x(\mod 9), b \equiv x(\mod 9)$. Только наверное надо это читать с конца, ваще запутался я что-то

[arseniiv]

($\TeX$.)

Там нужен другой $\mod$.

$a \equiv b \pmod 3$

[Unconnected]

Пробуем обратно. Надо доказать, что разность чисел, сумма цифр которых $=5$ (и, выходит, не только 5), делится на 9.

$100000а + 1000b + 100c + 10d + e \equiv x \pmod 9$
$100000f + 1000g + 100h + 10i + j \equiv y \pmod 9$


$a + b +c + d + e \equiv x\pmod 9$
$f + g + h + i + j \equiv y \pmod 9$

По условию известно, что $a+ b +c + d + e=f + g + h + i + j$. Значит, $x=y$
Т.е. разность чисел с одинаковой суммой цифр делится на 9. А значит, и сами они делятся на 9, не простые.. А среди множества чисел с одинаковой суммой цифр есть два таких, что одно получается из другого домножением на 11.. доказано типа?)

[ИСН]

Последнюю фразу ещё раз, медленно, пожалуйста. Уже не последнюю. Щас.

-- Сб, 2011-11-26, 23:43 --

Unconnected в сообщении #508550 писал(а):

Т.е. разность чисел с одинаковой суммой цифр делится на 9. А значит, и сами они делятся на 9

"11111", "5"
Двести баксов тому, кто найдёт в этом списке число, делящееся на 9.

[Unconnected]

Так. Разность нужных чисел делится на 9.. среди этих чисел есть пара (пары), где второй получается умножением 1го на 11. И разность их делится на 9. Если оба числа в паре будут делиться на 3, то не простое..
По теореме выше, эти два числа имеют одинаковый остаток при делении на 9. Только что это даёт..
А ещё, второе в паре делится на первое. Тут какая-то связь..

[svv]

ИСН писал(а):

Двести баксов тому, кто найдёт в этом списке число, делящееся на 9.

Здесь

ИСН писал(а):

"11111"

я вижу пять больших единиц, слева и справа от которых ещё по две маленькие единички.