Сумма цифр числа не изменилась при умножении на 11...

[Unconnected]

Может, как-то так:
(a,b) - нужная пара, $b=11a$
$a \equiv x\pmod 9$
$b\equiv x \pmod 9$

делим одно на другое (можно?)
$a/b \equiv 1\pmod 9 $
11 не принадлежит этому классу..?

[ИСН]

(Оффтоп)

А я здесь вижу, как посылаю кому-то две однобаксовые бумажки (двушка куда-то затерялась) и четыре нульбаксовых.

-- Вс, 2011-11-27, 00:09 --

Щас...

-- Вс, 2011-11-27, 00:10 --

Сформулируйте толком утверждение, запрос на использование которого содержится в вопросе "можно?".

[Unconnected]

А, можно делить сравнения, и умножать можно..
То есть, существует такой класс k, что $k\cdot b\equiv a\pmod9$..
Из этого следует (преобразованием небольшим), что $k\vdots 9$
11 не принадлежит этому классу, ну и как это так O_o мы же умножали на него..

[Joker_vD]

Слушайте, я в упор не пойму, в чем у вас загвоздка.

Пусть есть число $x=\overline{ab\dots yz}$, его сумма цифр равна $a+b+\dots+y+z$. Если записать $11x$, то получим почти $\overline{a(a+b)(b+c)\dots(y+z)z}$. Почти — потому что тут не учитываются переносы между разрядами. В любом случае, сумма цифр у $11x$ (если переносов не было) равна $2(a+b+\dots+y+z)$. При наличии переносов из этой суммы вычиается $9k$, где $k$ — количество переносов, т.е. сумма цифр $11x$ равна $2(a+b+\dots+y+z)-9k$.

Все, дальше писать не могу, иначе ИСН меня-таки отыщет и вручит бюст Лагранжа.

[ИСН]

Unconnected в сообщении #508601 писал(а):

А, можно делить сравнения, и умножать можно.

Конкретнее, пожалуйста: что на что можно делить, и как.

-- Вс, 2011-11-27, 00:46 --

(Оффтоп)

Joker_vD, бюст Больцмана чугунный Вам на шею повешу, ёлки фиолетовые, ну! "В чём загвоздка", блин. Во всём!

[arseniiv]

(Оффтоп)

Где я могу поподробнее узнать про вручающиеся бюсты великих учёных?

(Слава богам, ИСН мне их ещё не предлагал!)

[Unconnected]

Ну как делить, обе части друг на друга, кроме модуля.. Типа того:
$a=x+9k;$
$b=x+9l;$
$a/b=(x+9k)/(x+9l)$ - будет целым при $k=l$ (и ещё при каких то). Не могу чётко обосновать, но, вроде, в Бухштабе было.
Почему же 11 не принадлежит этому классу
А хотя что-то в Бухштабе не нахожу про деление, наверное таки нельзя.

(Оффтоп)

Joker_vD, да, загвоздка во всём, после глупой школы далеко в горах такие абстракции внезапно сложно осознать
К сожалению, Ваше решение долго понимать буду, лучше это додавить)

-- 27.11.2011, 00:27 --

Ещё одна попытка:
$a \equiv b\pmod 9$
$a \equiv 11a\pmod 9$
$a \equiv 2a\pmod 9$
$a \equiv 0\pmod 9$

$a$ не простое! Это вин?

[ИСН]

Ну да, вроде всё, дожали. Мне казалось, мобыть лучше оставить это не в форме сравнений, а простыми русскими словами - так оно надёжнее запомнилось бы - но нет, так тоже ОК.

[Unconnected]

Простыми русскими тоже рад, чтобы запомнилось-то, какие говорить?

[kiyanyn]

Похоже, немного опоздал :)
Я не математик, не то образование :), так что рассуждал так - разность чисел с равными суммами цифр делится на 9, т.к. можно их представить в виде каких-то сумм $10^n$ для разных (в т.ч. повторяющихся) n, а $10^n-10^k$ всегда делится на 9, т.к. имеет вид 99..9900..0.

Дальше - $11x - x$ по этой причине делится на 9, но это - $10x$, а 10 на 9 не делится :), значит, число, сумма цифр которого не меняется при умножении на 11, делится на 9, а значит, оно не простое...

Если где-то ошибся...

[Unconnected]

Цитата:

т.к. можно их представить в виде каких-то сумм $10^n$

Вот не знаю, сомнительно..

[ИСН]

Вот как раз эту часть можно выкинуть и заменить Вашим доказательством (ну, что разность делится на 9). А финальный аккорд оставить как сказал kiyanyn.

[Unconnected]

Понятно. Спасибо, красивое доказательство

[kiyanyn]

Unconnected в сообщении #508637 писал(а):

Цитата:

т.к. можно их представить в виде каких-то сумм $10^n$

Вот не знаю, сомнительно..

Ну, я ж говорю - на пальцах :), что такое сравнение по модулю, я знаю, но оперировать ими так, чтобы быть уверенным в результатах :) - не могу...
Например, какое-нибудь 321 - это $100+100+100+10+10+1$, просто исходя из того, что собой представляет десятичная запись числа. И членов в сумме столько, какова сумма цифр. И ровно столько же каких-то степеней десятки будет и в другом числе (так как суммы цифр равны) - конечно, других. Например, $111021 = 100000+10000+1000+10+10+1$.
А при вычитании, как бы мы ни комбинировали члены друг с другом, каждая разность - положительная ли, отрицательная, нулевая - будет делиться на 9, потому что $10^n-10^k = 10^k(10^{n-k}-1)=9..90..0$ - $k$ нулей и $n-k$ девяток.

[Unconnected]

Ну да, тоже здорово