Сумма цифр числа не изменилась при умножении на 11...

[Unconnected]

Сумма некоторого числа не изменилась после умножения на 11. Могло ли исходное число быть простым?

Есть признак делимости на 9, если сумма цифр делится на 9. Также, для двузначных я вывел, что таким свойством обладают числа, где сумма цифр $18$ (т.е. только 99). Делится на 9. Да и эксперименты с калькулятором показывают, что сумма цифр таких чисел делится на 9 (т.е. не простое). Что тут сделать?

[ИСН]

В огороде выросло 11, а в Киеве живёт 9. Найдут ли они друг друга? Какая между ними связь?

[Unconnected]

Связи нет, но я заметил, что сумма цифр таких чисел всегда делится на 9, и для двузначных есть общий вид таких чисел..

[ИСН]

Каких "таких"?

[Unconnected]

У которых при домножении на 11 сумма цифр не меняется.

[ИСН]

Теперь понятно. Это хорошо, что заметили. Дядька уже мчится на поезде из Киева.
Значит, так. У меня есть число с суммой цифр 5. И другое число с такой же суммой цифр. Я беру и нахожу их разность. Какая может быть сумма цифр у неё?

[Unconnected]

Сумма цифр разности наверное будет равна сумме разностей соответствующих разрядов.

[ИСН]

Ничего не понял. Числу какому она может быть равна? (Наверное, там будут возможны разные числа, дак какие?) 1 бывает? 2 бывает? 3 бывает? 4 бывает? 5 бывает? 6 бывает? 7 бывает? 8 бывает?

[Unconnected]

От -4 до 4 бывает.
Ну я не настолько глупый, для таких длинных уточнений..

[Joker_vD]

Unconnected
Неправда ваша. Там и 9 может быть.

[Someone]

Сумма цифр равна $-4$??? Примерчик не приведёте?

[Unconnected]

Да, с -4 погорячился..
$10a+b=x$
$10c+d=y$
$a+b=c+d=5$
Вычитаем второе из первого:
$10(a-c)+(b-d)=x-y$
В какой-то одной скобке число будет отрицательным, допустим, во второй. Тогда занимаем один десяток:
$10(a-c-1)+b-d+10=x-y$
Сумма цифр будет $a-c-1+b-d+10=9$, всегда..

[ИСН]

Сто баксов тому, кто в формулировке этой моей задачи найдёт слово "двузначный".

[Unconnected]

Подозреваю, что если доказать это для всех чисел до пятерки, то можно обобщить на все-значные числа..

[ИСН]

11110000000000000000001-5=?