2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 20:19 


26/08/11
2108

(Оффтоп)

Теорема ИНС-а:
Если 2 числа имеют одинаковый остаток при делении на 9, то их разность делится на 9.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Один студент © тоже всё знал наперёд, и ладно бы знал, дак ещё и говорил. Начнут в компании анекдот рассказывать, а он: "Да знаю, знаю, это про того мужика, у которого было три глаза, ха-ха-ха". Вот как-то раз товарищи навалились на него гурьбой, скрутили, связали, заткнули рот кляпом, запустили в плеере подборку Петросяна 80-х годов с опцией "Repeat", заперли одного в комнате и ушли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 20:35 


13/11/11
574
СПб
Значит, делится на 9, а не равно. Но это доказать надо наверное.

//прочитамши оффтоп: да, есть такая теорема в теории сравнений, и не только для 9, её могу доказать. Но как бы неизвестно, что все числа, где сумма цифр 5 - делятся на 9..

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Да уж неплохо бы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 20:49 


26/08/11
2108
Ну и про профессоров анекдоты есть.
Цитата:
да, есть такая теорема в теории сравнений, и не только для 9, её могу доказать
Не знал. Значит, опередили все таки. Ладно. Не буду портить Вам удовольстие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 21:12 


13/11/11
574
СПб
Только к чему тут теорема эта, не пойму, какая связь с суммой цифр-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Тут надо знать признак делимости на 9, и почему он таков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 21:39 


13/11/11
574
СПб
Ну, почему он таков, примерно понятно: десятки, сотни, тысячи и т.д. при делении на 9 дают остаток единицу, и если записать любое число в форме сравнения по модулю 9, то всё видно..
Значит, надо доказать, что разность чисел, сумма цифр которых =5 - делится на 9.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Что "всё" Вам видно?
Цитата:
Девушка доила корову, а в воде отражалось всё наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 21:59 


13/11/11
574
СПб
$10000a + 100b + 10c + d \equiv 0(\mod 10)$, $a+b+c+d \equiv 0 (\mod 9)$
$0<a,b,c,d<9 $, значит, это возможно только когда их сумма $=9$.

Теперь.. сумма цифр делится на 9(не доказано), значит, число делится на 9, т.е. $a-b=9k$, $a \equiv x(\mod 9), b \equiv x(\mod 9)$. Только наверное надо это читать с конца, ваще запутался я что-то :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 22:18 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

($\TeX$.)

Там нужен другой $\mod$.

$a \equiv b \pmod 3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 22:29 


13/11/11
574
СПб
Пробуем обратно. Надо доказать, что разность чисел, сумма цифр которых $=5$ (и, выходит, не только 5), делится на 9.

$100000а + 1000b + 100c + 10d + e \equiv x \pmod 9$
$100000f + 1000g + 100h + 10i + j \equiv y \pmod 9$


$a + b +c + d + e \equiv x\pmod 9$
$f + g + h + i + j \equiv y \pmod 9$

По условию известно, что $a+ b +c + d + e=f + g + h + i + j$. Значит, $x=y$
Т.е. разность чисел с одинаковой суммой цифр делится на 9. А значит, и сами они делятся на 9, не простые.. А среди множества чисел с одинаковой суммой цифр есть два таких, что одно получается из другого домножением на 11.. доказано типа?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Последнюю фразу ещё раз, медленно, пожалуйста. Уже не последнюю. Щас.

-- Сб, 2011-11-26, 23:43 --

Unconnected в сообщении #508550 писал(а):
Т.е. разность чисел с одинаковой суммой цифр делится на 9. А значит, и сами они делятся на 9


"11111", "5"
Двести баксов тому, кто найдёт в этом списке число, делящееся на 9.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 22:45 


13/11/11
574
СПб
Так. Разность нужных чисел делится на 9.. среди этих чисел есть пара (пары), где второй получается умножением 1го на 11. И разность их делится на 9. Если оба числа в паре будут делиться на 3, то не простое..
По теореме выше, эти два числа имеют одинаковый остаток при делении на 9. Только что это даёт..
А ещё, второе в паре делится на первое. Тут какая-то связь..

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма цифр
Сообщение26.11.2011, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
ИСН писал(а):
Двести баксов тому, кто найдёт в этом списке число, делящееся на 9.

Здесь
ИСН писал(а):
"11111"
я вижу пять больших единиц, слева и справа от которых ещё по две маленькие единички.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group