Многомерные расширения ТФКП

[g______d]

hamilton в сообщении #503014 писал(а):

Преобразование Фурье в классической форме уже не работает.
Пространств Соболева в общем случае пока не видно, обобщенных функций не видно.

Эти фразы о чем? Я просто честно не понял.

hamilton в сообщении #503014 писал(а):

Они жестко связаны с эллиптическими многомерными уравнениями - Лапласа-Бельтрами.

Поясните, просто в данном случае бывает разная терминология. Имеется в виду оператор Лапласа с конкретной метрикой или с произвольной? В конкретной области/во всем пространстве/на всем многобразии или в произвольной? Метрика невырождена? Многомерный оператор Лапласа --- один из самых хорошо изученных объектов математической физики. В том числе и с произвольной метрикой (что и понимают обычно под оператором Лапласа-Бельтрами). Опять же, это классика.

Чего реально могли не знать --- это явные решения на каких-то специальных типах пространств, которые ранее никому не приходило в голову рассмотреть. Но тогда придется, например, забыть о произвольности области, как в Вашей теореме 4.1. То же часто верно и для явных решений.

Кстати, по поводу разделения переменных --- возможно, Вам будет интересно знать (если еще не), что это не такая универсальная вещь, как может сначала показаться. Она работает только если оператор и область, в которой он рассматривается, обладает определенной симметрией. Но в этом, я уверен, Вы разберетесь.

hamilton в сообщении #503014 писал(а):

Профессора просто в шоке - они никогда в жизни не слышали ничего похожего...

Двусмысленно.

[hamilton]

g______d в сообщении #503022 писал(а):

Кстати, по поводу разделения переменных --- возможно, Вам будет интересно знать (если еще не), что это не такая универсальная вещь, как может сначала показаться. Она работает только если оператор и область, в которой он рассматривается, обладает определенной симметрией.

g______d в сообщении #503022 писал(а):

придется, например, забыть о произвольности области

Вы же читали, что в моей ситуации среда имеет осесимметричное распределение плотности (лишь ось симметрии исключена из рассмотрения)
а в ситуации Леутвилера распределение плотности имеет смысл в верхнем полупространстве и падает обратно пропорционально высоте.

g______d в сообщении #503022 писал(а):

Многомерный оператор Лапласа --- один из самых хорошо изученных объектов математической физики. В том числе и с произвольной метрикой (что и понимают обычно под оператором Лапласа-Бельтрами).

Ситуация Леутвилера жестко связана с гиперболической метрикой,
а в моей ситуации возникает новое обобщение метрики Пуанкаре.
Вы считаете, что такие вещи общеизвестны, а а Германии мне сказали, что я это сделал первым.
В Германии математики пока не знают, что существует другое нетривиальное обобщение метрики Пуанкаре.

[g______d]

hamilton в сообщении #503038 писал(а):

Ситуация Леутвилера жестко связана с гиперболической метрикой,
а в моей ситуации возникает новое обобщение метрики Пуанкаре.

Поэтому я и спросил про точную формулировку задачи. Метрика риманова или псевдориманова? Возможно, меня ввел в заблуждение тот факт, что в операторе Лапласа-Бельтрами она традиционно риманова.

-- 13.11.2011, 01:09 --

hamilton в сообщении #503038 писал(а):

Вы же читали, что в моей ситуации среда имеет осесимметричное распределение плотности,

Может быть, я читал не то. В теореме 4.1 по Вашей ссылке из Архива фигурирует произвольная область. Я хотел озвучить тривиальную мысль, о том, что метод разделения переменных в произвольной области не работает. Это было скорее дополнение, а не замечание к Вашей деятельности.

[hamilton]

g______d в сообщении #503040 писал(а):

в операторе Лапласа-Бельтрами она традиционно риманова.

так и есть, метрики классические римановы.

[g______d]

hamilton в сообщении #503041 писал(а):

так и есть, метрики классические римановы.

И невырождены?

[hamilton]

g______d в сообщении #503040 писал(а):

Может быть, я читал не то. В теореме 4.1 по Вашей ссылке из Архива фигурирует произвольная область.

Вы не обратили внимания на ограничения на односвязные области в двух случаях перед теоремой.

[g______d]

hamilton в сообщении #503044 писал(а):

Вы не обратили внимания на ограничения на односвязные области в двух случаях перед теоремой.

На это я обратил внимание. Хорошо, практически произвольная область.

[hamilton]

невырожденность новой метрики не проверял.
Могу только сказать, что она работает не только в верхнем полупространстве, а везде, кроме оси симметрии.
Я могу прислать статью, которая опубликована в докладах конференции в сентябре 2011 в Греции.
Там она описана, в первой статье этого нет.

-- Вс ноя 13, 2011 01:31:45 --

g______d в сообщении #503022 писал(а):

hamilton в сообщении #503014 писал(а):
Преобразование Фурье в классической форме уже не работает.
Пространств Соболева в общем случае пока не видно, обобщенных функций не видно.

Эти фразы о чем? Я просто честно не понял.

Свертка там уже не работает. Обратного преобразования Фурье нет.
Преобразование Фурье уже не совсем такое, как принято в стандартных подходах.
Об этом я рассказывал в июле на конференции в Германии.
Функционального анализа пока нет совсем...

[g______d]

hamilton в сообщении #503047 писал(а):

невырожденность новой метрики не проверял.
Могу только сказать, что она работает не только в верхней полуплоскости, а везде, кроме оси симметрии.
Я могу прислать статью, которая опубликована в докладах конференции в сентябре 2011 в Греции.
Там она описана, в первой статье этого нет.

Спасибо, давайте, адрес в личке.

hamilton в сообщении #503047 писал(а):

Функционального анализа пока там нет совсем...

Где? В Вашей работе?

[hamilton]

g______d в сообщении #503022 писал(а):

hamilton в сообщении #503014 писал(а):
Профессора просто в шоке - они никогда в жизни не слышали ничего похожего...

Двусмысленно.

Это совсем отдельная история. Вы интересуетесь теорией чисел?

С личкой что-то пока не разберусь, как там все работает. Вы в Москве или в области живете? Я в четверг буду в Москве. Можно встретиться и поговорить...

[g______d]

hamilton в сообщении #503052 писал(а):

С личкой что-то пока не разберусь, как там все работает. Вы в Москве или в области живете? Я в четверг буду в Москве. Можно встретиться и поговорить...

Нет, не в Москве и не в области. Сейчас я в Питере, но довольно сильно занят. Не то что бы я очень сильно интересовался теорией чисел, просто очень амбициозно звучит. Вряд ли Вы найдете что-то полезное для себя из общения лично со мной. Но можете на форум выложить.

[hamilton]

g______d в сообщении #503056 писал(а):

просто очень амбициозно звучит

я не придумываю, но там очень долгая столетняя история, это уже не для форума.

Большое спасибо за вопросы и замечания.

g______d в сообщении #503022 писал(а):

hamilton в сообщении #503014 писал(а):
Преобразование Фурье в классической форме уже не работает.
Пространств Соболева в общем случае пока не видно, обобщенных функций не видно.

Эти фразы о чем? Я просто честно не понял.

Действительно, надо посмотреть, как могут выглядеть типовые решения этих уравнений классическими методами в случае $\mathbf R^3$.
Во многих ситуациях я уже отвык от вещественного языка, когда разрабатывал кватернионные методы...
Вы правы, пора возвращаться на землю.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #502793 писал(а):

Вопрос тем кто ковырялся в многомерных аналитичностях.
В комплексном случае, условия Коши-Римана в виде двух уравнений на производные вешественной и мнимой компонент $u_x, u_y, v_x, v_y$ можно записать одним условием аналитичности для функции $f=u+iv, \partial_{\bar z}f=0$. В многомерном случае, число уравнений КР растет, можно ли тоже записать их такими же условиями аналитичности ?

Попробуйте посмотреть:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... ngp-13.pdf
Там на стр.110 рассматривается трехмерная коммутативная алгебра $H_3$ и 6 видов аналитичности, являющихся аналогами аналитичности и антианалитичности в алгебре двойных чисел. Условия на эти 6 видов аналитичности выписаны как раз примерно в том виде, что вы и хотите видеть.
В четырехмерной коммутативной алгебре с тремя мнимыми единицами вариантов аналитичности будет еще больше.

-- Вс ноя 13, 2011 09:15:01 --

g______d в сообщении #502783 писал(а):

Я не сомневаюсь в том, что финслерова геометрия содержательна и непроста. Я видел книжку Рунда.

Книга Рунда вышла в 1959 году. А многие представленные в ней конструкции были разработаны и того ранее. Вы, все же, посмотрите более современные монографии.
Однако я тоже не хочу спорить, чьи "бандиты круче". Я уверен, что сложность не достоинство, а недостаток, как квантовых теорий поля, так и строящихся на классическом (по тем же Рунду и Шену) подходе к финслеровым геометриям. И от первого, и от второго со временем можно и нужно будет отказаться в пользу более простых вариантов. Что касается финслеровых геометрий, то такой путь для многих их вариантов уже обозначен. Он связан с принятием в качестве основного геометрического объекта обобщенного скалярного полипроизведения. А когда финслеровой геометрии можно поставить в соответствие еще и многомерную коммутативно-ассоциативную алгебру, эта самая алгебраическая структура может сделать изложение теории еще на много прозрачнее и проще.

[g______d]

Time в сообщении #503094 писал(а):

Я уверен, что сложность не достоинство, а недостаток, как квантовых теорий поля, так и строящихся на классическом (по тем же Рунду и Шену) подходе к финслеровым геометриям.

Time в сообщении #502761 писал(а):

А уж сложности в большинстве современных теорий финслеровых пространств будет на много больше, чем в квантовой теории поля.

:)

[Time]

Вы посмотрели книгу Рунда, но, похоже, не посмотрели книгу Гарасько "Основы финслеровой геометрии для физиков" и не сравнили сложность первого варианта построения формализма финслеровой геометрии (его я и сравнивал по сложности с КТП) и второго. Первый ведет к "лесу тензоров", в нем нет даже намеков на связь хотя бы некоторых финслеровых пространств с простейшими гиперкомплексными алгебрами, во втором, все существенно прозрачнее и многое понятно даже таким инженерам как я.
Первый вариант основывается на сложном понятии финслерова метрического тензора, имеющего два индекса и зависящего не только от точки, но и от направления в касательном пространстве, второй базируется на элементарном понятии скалярного полипроизведения и приводит к иному варианту финслерова метрического тензора, который зависит лишь от точки, но имеет уже не два, а больше индексов. Читайте, пожалуйста, внимательнее.