Многомерные расширения ТФКП

[Time]

g______d в сообщении #502766 писал(а):

Без фундамента --- не будет пригодной. Никакой инженер (уверен, Вы знаете это лучше меня) не будет пользоваться расчетным методом, у которого нет базы и, как следствие, нет теоретических оценок погрешности.

Конечно не будет. Но в том то и дело, что, и фундамент, и база активно разрабатываются. Вы ж сами назвали теорию комплексного потенциала конструкцией для инженерных приложений. Вот мы их и разрабатываем, причем с привлечением физиков-теоретиков и математиков профессионалов. Они видят, и смысл, и результативность своих усилий. Я так же. В одиночку я с такой задачей никогда не справился бы.

g______d в сообщении #502766 писал(а):

Это спор на уровне "вот эти люди занимались геометрическим объектом A, а правильно заниматься --- геометрическим объектом B". Правильно для чего? Для физики? Так люди, которые занимались геометрией пространств с финслеровым метрическим тензором, думали не только о единой Теории Всего. Они думали о геометрии и об анализе. Правильно заниматься и тем, и другим. Ваш объект проще, как Вы и сами признаете, но это другая наука. С другими целями и амбициями.

Я попробую сейчас сказать то же, что и Вы, но другими словами. Может тогда поймете, что я имел ввиду.
Представьте себе, что кто-то лет сто пятьдесят назад предложил бы напрочь забыть псевдоевклидову геометрию и строить сразу псевдориманову, отталкиваясь исключительно от знаний евклидовых и римановых геометрий. Совершенно не изучая частный плоский случай. А спустя сто лет, кто-то вдруг предложил посмотреть и поизучать псевдоевклидовы пространства. Это с Вашей точки зрения нормально?
Кстати, специалисты по финслеровым пространствам признали за подходом через обобщение аксиом скалрного произведения именно лучшие физические перспективы в плане приложений, чем им самим представляются на их традиционном пути. Это в частности сказал мне Ж.Шен - живой классик в области финслеровых пространств. Я не предлагаю забыть, все что они сделали, я только подчеркнул, что новые моменты даже в области математики насчитывающей столетнюю историю, иногда очень даже случаются. Кстати, мне Владимир Балан, один из лучших эрудитов по финслеровым пространствам как-то признался, что был неимоверно удивлен, когда познакомился с нашей простой конструкцией, так как был совершенно уверен, что ничего принципиально нового в ФУНДАМЕНТЕ своего предмета он уже никогда не увидит. А тут такой сюрприз..

g______d в сообщении #502766 писал(а):

Вот уж никогда не поверю.

А Вы полазайте по англоязычному интернету и посмотрите с десяток монографий по финслеровой геометрии. Может тогда поверите. Не ориентируйтесь по форуму..

g______d в сообщении #502766 писал(а):

В растрате бюджетных средств я не обвинял ни Вас, ни их. Они тоже говорят, что в основном делали это на энтузиазме. Собственно, и ракета-то у них, кажется, долетела куда надо, просто опытная установка не заработала, как и следовало ожидать.

На самом деле установка, на сколько я знаю, заработала, но результаты нельзя было трактовать в пользу ее работоспособности. Впрочем, я не следил за этой историей, так как для меня как профессионала по ракетным двигателям было совершенно очевидна безнадежность затеи.
На счет энтузиазма - не поверю. Для простоты можно считать так - каждый килограмм полезной нагрузки выведенной на околоземную орбиту стоит примерно килограмм золота. Сколько там эта "гравицапа" вместе с контрольной аппаратурой и пр. весила? Если бы предложили разработчикам скинуться и оплатить все эти расходы, никакого эксперимента просто не состоялось бы..

-- Сб ноя 12, 2011 16:30:25 --

glonas в сообщении #502770 писал(а):

Я и не собираюсь ничего представлять. Формулы длинные, набирать долго.
Будет статья, могу кинуть ссылку. Но все равно Вы не математик, на что они Вам?

Идеваться изволите? Две таблицы умножения двух алгебр четырехкомпонентных гиперкомплексных чисел можно изложить в две строчки. Тем более, если алгебры эти как Вы говорите коммутативные. Самой таблицы не нужно, приведите просто произведения базисных единиц на себя и другие единицы.
На счет не математика. Да это так, но в геометрическом плане Вашим кватернионам Сегре, скорее всего, соответствуют четырехмерные плоские финслеровы пространства с биквадратичной метрической формой. Кое что я о последних знаю, думаю, больше чем Вы. К тому же мог бы дать ссылки на работы профессионалов по таким алгебрам.
Впрочем, если Ваш интерес к этим числам всего лишь повод присутствовать в этой теме, я не навязываюсь. Не тратьте усилий на выписывание закона умножения.

[g______d]

Time в сообщении #502771 писал(а):

g______d в сообщении #502766 писал(а):

Вот уж никогда не поверю.

А Вы полазайте по англоязычному интернету и посмотрите с десяток монографий по финслеровой геометрии. Может тогда поверите. Не ориентируйтесь по форуму..

Я не сомневаюсь в том, что финслерова геометрия содержательна и непроста. Я видел книжку Рунда.

Математикой, связанной с квантовой теорией поля, сейчас занимаются десятки тысяч человек, профессиональных математиков и физиков, нобелевских и филдсовских лауреатов. И у них за 50 лет не получилось построить математически строгой теории Стандартной Модели. И Вы говорите о сложности. Попробуйте хотя бы изучить математические основания квантовой механики. Всего-то надо знать функциональный анализ и общую спектральную теорию (это в сумме страниц 700 серьезного математического текста), тогда поймете, что такое наблюдаемая :). Потом по желанию практически неограниченное количество информации по оператору Шредингера.

А уж по даже простейшие модели квантовой теории поля я и не говорю.

Я вовсе не планировал мериться количеством страниц. Но эти именно базовые учебники по науке, которую разработали к 1930 году.

[hamilton]

Time в сообщении #502734 писал(а):

До сих пор у меня хватало ума соглашаться с критикой там, где для нее имелись фундаментальные основания,

Этого, к большому сожалению многих специалистов, как физиков, так и математиков, которые пытались разобраться в Ваших проблемах, как раз и не наблюдается.
Именно на фундаментальные вопросы ответов нет. Хуже того - Ваши попытки ответов не стыкуются и противоречат друг другу.

hamilton в сообщении #502668 писал(а):

Вовлекая людей в свое русло, Вы берете на себя моральную ответственность.

g______d в сообщении #502664 писал(а):

Я прекрасно знаю свои сильные и слабые стороны и действую в полном соответствии с этим пониманием. Распространяться сейчас на математическом форуме, что именно я умею и на сколько хорошо - не считаю нужным. Да и говорят о способностях не слова, а дела.

Я знаю Вашу позицию достаточно, чтобы понимать реальные жизненные мотивы.
Вы публично говорили, что считаете себя рисковым менеджером, который может ввязываться в ненадежные проекты. Но если при этом один из десяти проектов срабатывает, то вроде бы Вы окупаете затраты на остальные 9, которые бесславно провалились. Вы можете так делать, если и другие люди, которые находятся рядом и которым Вы пытаетесь донести свою позицию не как ученого, а как менеджера, это понимают. Тогда все по-честному.
Но такая позиция не дает прав огульно охаивать фундаментальные направления, которые научно ничему не противоречат и действительно позволяют решать проблемы, которые висят в воздухе еще с 19-го века... утверждать, что фактов нет, хотя они прямо указаны в статье, уже опубликованной в Вашем же журнале - это означает не уважать собственное детище - свой журнал. Авторитета собственному направлению от такой неконструктивной позиции не прибавится.
Какой смысл Вы видите в часто повторяемых утверждениях, что метод комплексного потенциала не обобщается на пространственные задачи, хотя это УЖЕ СДЕЛАНО?
Я это лично Вам объяснил недавно в форуме в нескольких словах суть проблем. Но реакция была - раз Вы не интересуетесь моей проблематикой - значит, я не буду интересоваться Вашей. Прочитайте собственные высказывания и взгляните со стороны - что бы Вы почувствовали, если не приводится никаких реальных научных аргументов? Тогда, может быть, разум возобладает над излишней эмоциональностью.

-- Сб ноя 12, 2011 16:59:28 --

Time в сообщении #502771 писал(а):

Но в том то и дело, что, и фундамент, и база активно разрабатываются. Вы ж сами назвали теорию комплексного потенциала конструкцией для инженерных приложений. Вот мы их и разрабатываем, причем с привлечением физиков-теоретиков и математиков профессионалов. Они видят, и смысл, и результативность своих усилий. Я так же.

Вы пытаетесь строить аналог, а не обобщение, Ваши профессионалы это понимают или нет?
Корректно Вы можете работать только в рамках гиперболического уравнения, а не комплексного анализа.
Попробуйте там найти что-то хорошее - никакие математические и физические законы этого пути не запрещают...
Проблема в том, что Вы пытаетесь навязать гиперболическому уравнению специфику, которой там быть не может в силу математических свойств, которые опровергнуть нельзя, не нарушая математических законов.
Только наверняка с математической точки зрения этот подход может быть интересен не на уровне решений одномерного волнового уравнения, а на уровне новых многомерных уравнений. С пространственными задачами человечество еще по большому работать не научилось, и там простор для любых моделей, особенно в современной квантовой механике. Чего там только не увидишь....

[ИгорЪ]

Вопрос тем кто ковырялся в многомерных аналитичностях.
В комплексном случае, условия Коши-Римана в виде двух уравнений на производные вешественной и мнимой компонент $u_x, u_y, v_x, v_y$ можно записать одним условием аналитичности для функции $f=u+iv, \partial_{\bar z}f=0$. В многомерном случае, число уравнений КР растет, можно ли тоже записать их такими же условиями аналитичности ?

[g______d]

ИгорЪ в сообщении #502793 писал(а):

Вопрос тем кто ковырялся в многомерных аналитичностях.
В комплексном случае, условия Коши-Римана в виде двух уравнений на производные вешественной и мнимой компонент $u_x, u_y, v_x, v_y$ можно записать одним условием аналитичности для функции $f=u+iv, \partial_{\bar z}f=0$. В многомерном случае, число уравнений КР растет, можно ли тоже записать их такими же условиями аналитичности ?

Смотря что считать многомерным случаем. В самом простом понимании, есть определение голоморфного отображения из области в $\mathbb C^n$ в $\mathbb C^m$. Оно состоит в том, что его дифференциал является гомоморфизмом векторных пространств над $\mathbb C$, а не только над $\mathbb R$. Я надеюсь, что эти слова понятны. И это в некотором смысле является записью нескольких условий Коши-Римана в одной фразе.

Этим занимается многомерный комплексный анализ, очень содержательная область.

[ИгорЪ]

Нет, я как раз имел ввиду не случай многих комплексных пременных. а многих разных мнимых единиц. Тут, например, приводились КР для 4 коммутирующих двойных $ 1,i,j,k$ .

[hamilton]

ИгорЪ в сообщении #502793 писал(а):

записать одним условием аналитичности для функции...

Если речь идет о записи в виде одного уравнения, то да - Садбери в 1979 году такой вариант и предложил. Пришли к многомерному уравнению Лапласа.
Поищите статью по названию - она в открытом доступе.
Таким путем и идет направление Клиффордова анализа. Посмотрите Clifford analysis в Гугле.
Меня он давно не устраивает по одной причине - анализ есть, однако теории функций нет.
В принципе и в modified Clifford analysis, который начал разрабатывать Leutwiler в 1992, можно получить запись в виде одного подобного уравнения. Это называется операторный подход, в отличие от классической теории функций.

[ИгорЪ]

У Садбери знаю по кватернионам такие изыски, вы это подразумевали? А коммутативных вариантов нет?

[g______d]

hamilton в сообщении #502797 писал(а):

Меня он давно не устраивает по одной причине - анализ есть, однако теории функций нет.

Гармонические функции --- вполне себе разумная область анализа, и они по свойствам похожи на аналитические. Правда, им не хватает алгебраической структуры, даже кольца не образуют.

Ну то есть как не хватает --- чего нет, того нет.

[hamilton]

ИгорЪ в сообщении #502796 писал(а):

Нет, я как раз имел ввиду не случай многих комплексных пременных. а многих разных мнимых единиц. Тут, например, приводились КР для 4 коммутирующих двойных .

Да, есть такие направления. Первым обобщениями условий Коши-Римана для коммутативных алгебр занимался Шефферс еще в 1893 году.
Потом был Кетчум примерно в 1928.
Сейчас активно занимается одна итальянская группа - с так называемыми коммутативными кватернионами Сегре и Сергей Плакса в Киевском институте математики, который не так давно защитил докторскую в этом направлении.

еще подобные вопросы раньше обсуждались в этой же теме
сен 16, 2010 11:44:47

hamilton в сообщении #352992 писал(а):

glonas в сообщении #352936 писал(а):
Буду крайне признателен, если Вы можете дать ссылки на статьи по гиперболическим кватернионам, особенно, по их практическому применению

В русском языке даже этого названия нет... так успешно развивается наша отечественная наука в определенных направлениях
Гиперболические кватернионы построил шотландец Александр Макфарлейн
 http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Macfarlane
и в 1891 году описал в работе "Принципы Алгебры Физики"
 http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_quaternion
Алгебра строится на базе трех мнимых единиц, в квадрате равных +1, и, как легко видеть, тесно связана с квадратичной формой Минковского
 http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_quaternion
Интересно, что в те годы Минковский свои работы еще не опубликовал...
даже Лоренц еще не написал революционные статьи
http://ru.wikipedia.org/wiki/Преобразования_Лоренца
Само название "гиперболические кватернионы" Макфарлейн ввел позже, в 1900 году

сен 16, 2010 20:27:04

hamilton в сообщении #353145 писал(а):

Corrado Segre (1892) "The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities" (Italian), Mathematische Annalen 40:413–67
Segre used some of Hamilton's notation to develop his system of bicomplex numbers
 http://en.wikipedia.org/wiki/Tessarine
The University of Kansas has contributed to the development of bicomplex analysis. In 1953, a Ph.D. student James D. Riley had his thesis "Contributions to the theory of functions of a bicomplex variable" published in the Tohoku Mathematical Journal (2nd Ser., 5:132–165).
Then, in 1991, emeritus professor G. Baley Price published his book that is primarily on bicomplex function theory. Professor Price also gives some history of the subject in the preface to his book.
Another book developing bicomplex numbers and their applications is by Catoni, Bocaletti, Cannata, Nichelatti & Zampetti (2008).

Мультикомплексные числа и функции
G. Baley Price (1991) An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker.

Конические кватернионы, октонионы и седенионы
 http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_octonion
Clyde Davenport (2008) Commutative Hypercomplex Mathematics

Читаем о Corrado Segre и его наследии
 http://en.wikipedia.org/wiki/Corrado_Segre
Segre also expanded algebraic geometry by consideration of multicomplex numbers, in particular the bicomplex numbers.
Сегре является разработчиком коммутативных бикомплексных и мультикомплексных чисел.
В этом существенная разница между ним и Макфарлейном.
Таким образом, в итальянской терминологии бикомплексные числа называются "кватернионами Сегре"...

сен 16, 2010 21:29:43

hamilton в сообщении #353184 писал(а):

Очевидно, что бикомплексные числа - это коммутативное подмножество бикватернионов. Есть ли смысл вносить лишнюю путаницу с названиями, когда и без того глубоких принципиальных проблем хватает ? На мой взгляд, "бикомплексные числа" намного точнее характеризуют суть дела.
Тем более что исследуются и их обобщения - мультикомплексные числа...

В подтверждение взглянем на аннотацию статьи Francesco Catoni, Commutative (Segre’s) Quaternion Fields and Relation with Maxwell Equations (2006)
The decomposability of Segre’s quaternion into two complex algebras allows us to introduce, from a mathematical point of view, a four dimensional field by extending the consolidated physical application of complex analysis
http://www.springerlink.com/content/8jq98k4267l78158/

Известна далеко не единственная работа по применению бикватернионов для решения уравнений Максвелла

Как известно, бикватернионы (кватернионы с комплексными коэффициентами) были введены Гамильтоном еще в 1844 году
Proceedings of Royal Irish Academy 1844 & 1850 page 388
http://en.wikipedia.org/wiki/Biquaternion

В настоящее время мы видим Ренессанс многих подходов 19-го века. Иногда заново изобретают давно известные вещи...
возможно, руководствуясь принципом, что новое часто - это хорошо забытое старое

[g______d]

Я тут, пока гуглил, наткнулся на забавный сборник.

http://science.org.ge/cma/v52.pdf

Редакционная коллегия явно не соответствует авторскому коллективу.

[hamilton]

g______d в сообщении #502830 писал(а):

Я тут, пока гуглил, наткнулся на забавный сборник.

Да-да, тот самый Мюнхаузен.
Один из членов редколлегии сборника, который давно работает в институте Стеклова, недавно рассказал мне, что уволил Людковского со своей кафедры в одном из московских институтов в силу профнепригодности...
Товарищ один из немногих, кто активно воспользовался моей статьей в Архиве 2003 года. Он не сослался на мою статью, не понял сути дела и попытался скрестить методы Леутвилера и мои с методами суперанализа Воловича и Хренникова. Результат - как от скрещивания слона с носорогом, хотя каждый из них по отдельности имеет право на жизнь.

g______d в сообщении #502830 писал(а):

Редакционная коллегия явно не соответствует авторскому коллективу.

Да, это большой мастер проходить таможню без досмотра.
Главное, чтобы костюмчик сидел...
Он умудряется соблюдать все формальные требования по тексту, при этом совершенно не волнуясь о смысле написанного.
Классический пример бессмыслицы из русского языка - глокая куздра. Слова составлены полностью по русскому синтаксису, одна проблема - ничего не понятно...

Есть один профессор на мехмате МГУ, который разбирался в этих бессмысленных текстах, когда они попадали к нему как члену редколлегии мат. журнала.
Результат - автор просто игнорировал замечания рецензента и находил места, где специалистов в этой области нет...

Эту фамилию даже за рубежом знают, потому что такие сборники переводятся на английский. И там он тоже проходит по формальным требованиям к математическому синтаксису...
Поэтому иногда сейчас мало того, что у меня давно получены принципиально новые результаты, которые товарищ элементарно не понял.
Приходится параллельно объяснять, в чем же состоят глубинные ошибки Людковского. Ну так не нужно специально растить такой непроходимый бурелом - его что, кто-то заставлял это делать?!
Не лучше ли было разобраться, честно сослаться на источники и прекрасно развивать новое направление в теории функций ?!
Зато теперь он уверен, что я его, такого бедного и несчастного, третирую и обижаю практически ни за что... Удобно строить из себя обиженного, когда воспользовался чужим трудом, испортил все, что мог и делать при этом невинные глазки...

[hamilton]

g______d в сообщении #502675 писал(а):

В общем, любой учебник по мат. физике

Из библиотечного списка ИПМ
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/pde.htm
больше всего понравилось изложение
Годунов С.К. Уравнения математической физики (2-е изд. ). М.: Наука 1979

Там есть и теория потенциала, в которой одним из лучших мировых специалистов является Леутвилер
и из которой возникла новая теория функций,
метод разделения переменных,
выявление специфики разных типов уравнений - причем именно в прикладном инженерном плане,
теоремы существования,
корректные и некорректные краевые задачи,
полезные реальные задачи, связанные с системой Коши-Римана,
различные практические приложения преобразования Лапласа,
реально работающие численные методы и еще несколько полезных инструментов -
классный набор методов, как хороший набор инструментов для автомобиля...

Я-то прекрасно понимаю, что со временем дойдет и до решения конкретных реальных задач.
В Германии такой вопрос уже был - они там обязательно пишут программы расчета...

[g______d]

hamilton в сообщении #502953 писал(а):

g______d в сообщении #502675 писал(а):

В общем, любой учебник по мат. физике

Из библиотечного списка ИПМ
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/pde.htm
больше всего понравилось изложение
Годунов С.К. Уравнения математической физики (2-е изд. ). М.: Наука 1979

Если обсуждать учебники, то мне на определенном этапе была очень полезна книга Шубина "Лекции по уравнениям математической физики". У нее небольшой размер, большой охват тем и в разумной степени современное изложение. Но ничто не заменит решения задач, пусть даже просто учебных.

[hamilton]

g______d в сообщении #502963 писал(а):

мне на определенном этапе была очень полезна книга Шубина "Лекции по уравнениям математической физики"

Большое спасибо за дружеские советы.
Посмотрел эту книгу - не ложится на имеющийся у меня материал.
Я когда-то носом перерыл более 30 крупных областей математики, чтобы прийти к сегодняшнему пониманию.
Преобразование Фурье в классической форме уже не работает.
Пространств Соболева в общем случае пока не видно, обобщенных функций не видно.
Я сейчас отбираю только те методы, которые работают в общем случае для системы Леутвилера и моей системы.
Они жестко связаны с эллиптическими многомерными уравнениями - Лапласа-Бельтрами.
Нельзя объять необъятное. Чтобы построить достаточно полную теорию в общем виде,
нужны десятки и сотни людей. Я же пока работаю в России вообще в одиночку.
За рубежом людей, близких по духу, можно пересчитать по пальцам...

Единственное, что сейчас живо интересует меня из чистой математики - это теория чисел.
Как раз об этой стороне новой теории я рассказывал в институте Стеклова.
Профессора просто в шоке - они никогда в жизни не слышали ничего похожего...