Основания математики - элементарное рассмотрение

[vek88]

Droog_Andrey в сообщении #498051 писал(а):

Фишка в том, что требования нужно проверить для всех рациональных чисел, а их бесконечно много. Получаются те же грабли, что и при выборе элемента из несчётного множества.

ИМХО в последних постах у нас получилось по принципу: ну, ты сказал - ну ты спросил. Т.е. смысл Вашего высказывания мне не понятен. Хотя и согласен, что мои высказывания тоже не золото.

Попробую пересказать более понятно свои мысли. Итак, мы предположили, что с множеством рациональных чисел нас все в порядке. Это значит, что любые условия по поводу множеств рациональных чисел (далее РЧ) и отношений между РЧ непротиворечивы и им уже присвоены определенные значения истинности (Л, И).

И дав определение сечения, мы просто выделили из уже имеющихся в нашем распоряжении пар множеств РЧ сечения. При этом мы ничего не переопределяли в исходной теории.

А вопросы уровня конструктивности мы не обсуждаем. Мы просто говорим, если в исходной теории РЧ все было клево, значит при добавлении нашего определения сечения все останется столь же клево.

Тут ИМХО полезно вспомнить Рассела. Или, чтобы совсем уйти от вопросов конечного/бесконечного, рассмотрим в следующем посте бедного задолбанного брадобрея. С тех же позиций, с каких я тут пытался объясниться по поводу определения сечения.

[vek88]

Итак, есть деревня. На множестве мужиков деревни определено бинарное отношение "$x$ бреет $y$". Подчеркнем, что это отношение уже определено - переопределять это определение мы не имеем права. В частности, мы не имеем права давать новое определение - кого бреет брадобрей.

Все что мы можем себе позволить - это выяснить, существует ли такой житель деревни $R$, который бреет всех тех жителей деревни, и только тех, кто не бреет себя сам? Или возможно ли существование такого жителя $R$?

Это ИМХО - пример реальной математической практики.

И, если честно, я совсем перестал понимать причины возникновения парадокса брадобрея.

С Расселом ИМХО все в точности также.

[epros]

vek88 в сообщении #498134 писал(а):

В частности, мы не имеем права давать новое определение - кого бреет брадобрей.

Замечательные получатся "основания математики", если запретить давать определения.

vek88 в сообщении #498134 писал(а):

И, если честно, я совсем перестал понимать причины возникновения парадокса брадобрея.

Вот и дотеоретизировались ... Наверное, только людям, далёким от "реальной математической практики", дано понять, что парадокс возникает, когда мы закладываем в качестве аксиомы существование такого объекта, несуществование которого можно доказать.

[vek88]

epros в сообщении #498144 писал(а):

vek88 в сообщении #498134 писал(а):

В частности, мы не имеем права давать новое определение - кого бреет брадобрей.

(1)Замечательные получатся "основания математики", если запретить давать определения.

vek88 в сообщении #498134 писал(а):

И, если честно, я совсем перестал понимать причины возникновения парадокса брадобрея.

(2)Вот и дотеоретизировались ... Наверное, только людям, далёким от "реальной математической практики", дано понять, что парадокс возникает, когда мы закладываем в качестве аксиомы существование такого объекта, несуществование которого можно доказать.

1. Для epros выделил жирным то, что он не заметил.

2. У меня речь идет лишь о том, что если Вы уже нечто определили, то не следует это определять снова да еще в противоречии с первым определением.

Поскольку же мне пока не удается ясно и понятно выразить свою мысль, попробую зайти с другого конца в связи с желанием epros давать определения. Пусть задано произвольное бинарное отношение

$$x \in y.$$

Будем далее называть его исходным отношением.

Далее, следуя Расселу и брадобрею, определяем новый объект $R$ с помощью определения

$$x \in R \leftrightarrow x \notin x.$$

Все согласны с тем, что $R$ - множество?

epros, Вы не согласны? Тогда мы идем к Вам.

И еще вопрос - может ли существовать в исходном отношении объект $R'$ такой, что $R=R'$ (в обычном смысле равенства множеств)?

[Droog_Andrey]

vek88 в сообщении #498084 писал(а):

Итак, мы предположили, что с множеством рациональных чисел нас все в порядке. Это значит, что любые условия по поводу множеств рациональных чисел (далее РЧ) и отношений между РЧ непротиворечивы и им уже присвоены определенные значения истинности (Л, И).

Вот эта часть меня и смущает. Из возможности присвоить значение для любого наперёд заданного рационального числа ещё не следует, что значения автоматически присваиваются для всех рациональных.

vek88 в сообщении #498084 писал(а):

И дав определение сечения, мы просто выделили из уже имеющихся в нашем распоряжении пар множеств РЧ сечения.

А этих пар - континуум. Т.е. те же грабли.

vek88 в сообщении #498084 писал(а):

Мы просто говорим, если в исходной теории РЧ все было клево, значит при добавлении нашего определения сечения все останется столь же клево.

Тогда давайте определим критерий клёвости. А то я не вижу смысла во всех этих переопределениях, т.к. они не спасают нас от континуумов.

[epros]

vek88 в сообщении #498147 писал(а):

Далее, следуя Расселу и брадобрею, определяем новый объект $R$ с помощью определения

$$x \in R \leftrightarrow x \notin x.$$

Все согласны с тем, что $R$ - множество?

Хоть горшком назовите, всё равно такой объект существовать не может.

В формулировке Рассела речь о "множествах" и отношении "принадлежит", в формулировке про брадобрея речь о людях и отношении "бреет", в формулировке про библиотеку речь о книгах и отношении "ссылается на". Так что интерпретация значения не имеет.

И что Вы так озаботились этим парадоксом?

-- Вт ноя 01, 2011 17:44:42 --

vek88 в сообщении #498084 писал(а):

Итак, мы предположили, что с множеством рациональных чисел нас все в порядке. Это значит, что любые условия по поводу множеств рациональных чисел (далее РЧ) и отношений между РЧ непротиворечивы и им уже присвоены определенные значения истинности (Л, И).

А вот теорема Гёделя говорит, что во всякой достаточно содержательной теории можно определить такие свойства (это я так перевожу Ваше "условия по поводу множеств") натуральных чисел, что вопрос об их истинности окажется неразрешим в данной теории. Для рациональных чисел - тем паче.

[vek88]

Droog_Andrey в сообщении #498162 писал(а):

Вот эта часть меня и смущает. Из возможности присвоить значение для любого наперёд заданного рационального числа ещё не следует, что значения автоматически присваиваются для всех рациональных.

Droog_Andrey

Если Вы жесткий сторонник конструктивного направления в математике, то разве я возражаю - Вы имеете право быть им. Но в данный момент мы говорим даже не о конечном, счетном, континуальном - мы говорим о корректности/некорректности используемых нами определений. К примеру, брадобрей имеет дело с конечными множествами - но и тут у нас пока разночтения.

Поэтому предлагаю с континуумом пока годить ... до решения вопроса с корректностью определений. А потом поговорим о конструктивности в связи с континуумом.

-- Вт ноя 01, 2011 17:31:49 --

epros в сообщении #498166 писал(а):

vek88 в сообщении #498147 писал(а):

Далее, следуя Расселу и брадобрею, определяем новый объект $R$ с помощью определения

$$x \in R \leftrightarrow x \notin x.$$

Все согласны с тем, что $R$ - множество?

(1) Хоть горшком назовите, всё равно такой объект существовать не может.

В формулировке Рассела речь о "множествах" и отношении "принадлежит", в формулировке про брадобрея речь о людях и отношении "бреет", в формулировке про библиотеку речь о книгах и отношении "ссылается на". Так что интерпретация значения не имеет.

И что Вы так озаботились этим парадоксом?

-- Вт ноя 01, 2011 17:44:42 --

vek88 в сообщении #498084 писал(а):

Итак, мы предположили, что с множеством рациональных чисел нас все в порядке. Это значит, что любые условия по поводу множеств рациональных чисел (далее РЧ) и отношений между РЧ непротиворечивы и им уже присвоены определенные значения истинности (Л, И).

(2) А вот теорема Гёделя говорит, что во всякой достаточно содержательной теории можно определить такие свойства (это я так перевожу Ваше "условия по поводу множеств") натуральных чисел, что вопрос об их истинности окажется неразрешим в данной теории. Для рациональных чисел - тем паче.

epros

1. Согласен, что я не слишком настойчиво сказал о новом объекте. Чтобы повысить понятность моего изложения, скажу еще более настойчиво. Итак, пусть задано произвольное бинарное отношение $x \in y$. Далее мы определяем предикат $R(x)$ определением

$$R(x) \leftrightarrow x \notin x.$$

Вопрос к Вам - а такой предикат горшок существует?

2. Термин теория у меня означал всего лишь теорию в смысле наивного матанализа. Если же говорить о формальных системах, то Гедель относится лишь к финитной формализации, которая здесь не используется.

Кстати, в К-системах арифметика (в том числе над рациональными числами) разрешима.

[vek88]

epros

У меня возникло подозрение, что мы с Вами говорим об одном и том же ..., но на разных языках.

Вы, похоже, большой энтузиаст аксиоматического подхода. Поэтому Вы говорите об аксиомах.

А я, по крайней мере здесь, говорю на наивном уровне - на уровне Фихтенгольца. И то же самое называю определениями.

Но суть вот этих наших с Вами высказываний ИМХО одна и та же.

epros в сообщении #498144 писал(а):

парадокс возникает, когда мы закладываем в качестве аксиомы существование такого объекта, несуществование которого можно доказать.

vek88 в сообщении #498147 писал(а):

если Вы уже нечто определили, то не следует это определять снова да еще в противоречии с первым определением.

[vek88]

И еще об аксиомах и определениях. Конечно формально мы можем считать каждое определение аксиомой. Но в рассматриваемом вопросе о непротиворечивости реальной математической практики есть ИМХО веское соображение против этого.

Дело в том, что аксиома - это просто аксиома. А доказывать непротиворечивость даже небольшого количества аксиом, как мы знаем, в общем случае очень трудно. В качестве примере см. традиционные аксиоматизации теории множеств.

А вот реальное определение - это нечто сродни правилу вывода - оно позволяет при выполнении посылок определения делать те или иные заключения. И это ИМХО позволяет лучше понять причины противоречивости или непротиворечивости конкретных определений. И на этом пути ИМХО есть надежда понять причины непротиворечивости реальной математической практики.

[Droog_Andrey]

vek88 в сообщении #498197 писал(а):

Поэтому предлагаю с континуумом пока годить ...

Ну ладно. Просто разбор Фихтенгольца вроде как начинался с

vek88 в сообщении #477973 писал(а):

Для оценки возможностей СТМ предлагаю начать с малого - пройтись по матану. Итак, открыл параграф 1 первого тома (трехтомного) Фихтенгольца.

[vek88]

Droog_Andrey

Вы правы, вопрос об СТМ рассматривался выше. Этот вопрос был успешно рассмотрен и ... закрыт. Мы, с Вашим участием, установили, что СТМ имеет право на существование и практически ничего не меняет в матане. См. post480209.html#p480209

Но я не сторонник использования СТМ - это был просто интересный вопрос - как бы в пику диагональному построению Кантора. См. post477375.html#p477375

А теперь мы взялись за Фихтенгольца по другому поводу - в связи с выяснением причин непротиворечивости реальной математической практики. Теперь Фихтенгольца мы взяли в качестве простенькой модели этой реальной практики.

Что касается континуума, мы рассмотрим его в подходящем месте, но лишь мелким шрифтом, поскольку Фихтенгольц хорошо обходится и без континуума (мы это выяснили выше в связи с СТМ).

[prophet]

vek88 в сообщении #277162 писал(а):

Случайно встрял в тему "Могут ли машины мыслить?". И сформулировал контрвопрос "Могут ли люди мыслить?".

А потом понял, что этот вопрос заслуживает особого рассмотрения. Чтобы не размазаться слишком широко (и не погрязнуть в рассмотрении множества многовековых заблуждений человечества), предлагаю рассмотреть этот вопрос на примере оснований математики. Таким образом, предлагаю поговорить о парадоксах (Рассела и др.), теореме Тарского, теореме Геделя и т.д. и т.п.

Парадо́кс (от др.-греч. παράδοξος — неожиданный, странный)

Основания математики - это аксиомы. Если аксиома неверна, то математики приходят к парадоксу. Это не смертельно и никак не наказуемо. Чего не скажешь о приземлённых науках.

Например, вождь всех времён и народов (Сталин) задумался о долголетии. Врач Богданов предложил вариант продления жизни за счёт переливания крови от молодой особи в стареющую, т.е. математическим языком - застолбил аксиому. Врачу дали всё необходимое (клиника его имени продолжает действовать и сейчас). Во время исследований этот врач настолько уверовал в своё недоказанное утверждение, что на себе проводил эти эксперименты, переливая кровь от студента добровольца. Студент дожил до глубокой старости. Богданов умер после десяти вливаний будучи молодым.
Богданов и коллеги-врачи таким образом пришли к парадоксу.

[vek88]

Хороший пример ... но как-то не слишком гуманный. Надеюсь, в этой теме до членовредительства не дойдет.

А начало темы:

vek88 в сообщении #277162 писал(а):

Случайно встрял в тему "Могут ли машины мыслить?". И сформулировал контрвопрос "Могут ли люди мыслить?".

Вы напомнили очень кстати. Вот посмотрите, сколько мы мусолим брадобрея и Рассела ... а к согласию никак не придем.

Например, множество $R$ из поста post498147.html#p498147 - существует оно или нет? Никак не можем определиться.

Пример. Пусть на множестве $U = \{a,b,c\}$ задано бинарное отношение $\{ a \in c, b \in c, c \in c \}$. Тогда в соответствии с определением из поста post498147.html#p498147

$$R = \{a, b\}.$$

ИМХО $R$ - это множество. Оно состоит из элементов множества $U$, которые не принадлежат самим себе. А вот epros с этим категорически не согласен:

epros в сообщении #498166 писал(а):

Хоть горшком назовите, всё равно такой объект существовать не может.

Надеюсь, теперь все согласны, что $R$ - это множество.

Но был еще вопрос:

vek88 в сообщении #498147 писал(а):

И еще вопрос - может ли существовать в исходном отношении объект $R'$ такой, что $R=R'$ (в обычном смысле равенства множеств)?

Что думает общественность по этому поводу?

[Droog_Andrey]

vek88 в сообщении #498296 писал(а):

Но я не сторонник использования СТМ

Понятно. Я-то подумал изначально, что мы сначала избавились от континуумов, а теперь рассматриваем непротиворечивость, т.е. что это последовательные задачи. А оказалось - параллельные.

[vek88]

Брадобрей нужен был нам лишь для лучшего понимания Фихтенгольца.

vek88 в сообщении #498084 писал(а):

Тут ИМХО полезно вспомнить Рассела. Или, чтобы совсем уйти от вопросов конечного/бесконечного, рассмотрим в следующем посте бедного задолбанного брадобрея. С тех же позиций, с каких я тут пытался объясниться по поводу определения сечения.

Резюмируем два возможных подхода к формулировке определений:

1. Консервативный стиль. Новые понятия вводятся (определяются, строятся) строго поэтапно: сначала определяются исходные (базовые, элементарные) понятия. Далее строятся понятия следующего уровня - при этом не переопредяются исходные понятия! Затем вводятся понятия следующего уровня - при этом не переопредяются понятия предыдущих уровней определения! И т.д. ...

ИМХО Фихтенгольц и вся реальная математическая практика работают именно так.

Парадоксы в этом случае просто не могут возникнуть. В следующих постах мы постараемся это обосновать.

Пример. Если мы сначала определили в деревне базовое отношение $x$ бреет $y$, то, действуя консервативно, далее мы не имеем права "переопределять брадобрея". Он, видимо, по базовому определению бреет себя (или не бреет, опять же по базовому определению). И никаких парадоксов не возникает. С Расселом то же самое.

2. Произвольный стиль. Имеем право давать произвольные определения. Но надо понимать, что так просто в общем случае избежать парадоксов и/или построить непротиворечивую теорию не удастся.

С этим то, надеюсь, все согласны?