Проблема с рядом Фурье

[profrotter]

Алексей К. в сообщении #495487 писал(а):

А, ну да:

Someone в сообщении #495439 писал(а):

Договорённость касается значений функции, а не значений выражений, определяющих эту функцию. Вообще, старайтесь не путать такие вещи, иначе когда-нибудь запутаетесь совсем.

Это жёсткий аргумент с вашей стороны. А я со своей вам ещё раз повторяю, что рассматриваются дискретные значения функции при $x=n$. Выше я уже писал. Нас могла бы рассудить ссылка на литературу, но вы, увы, не привели накакой ссылки.

[nnosipov]

profrotter, выражение $\frac{\sin{n}}{n}$ не определено при $n=0$, и запись $\frac{\sin{n}}{n}\left|_{n=0}$ смысла не имеет (это Вам и пытаются сказать, а Вы не понимаете). Если Вы хотите доопределить функцию $f(n)$ (заданную этим выражением при $n \neq 0$) при $n=0$, то Вы можете, например, написать

$$ f(n)= \begin{cases} \frac{\sin{n}}{n}, & \text{если $n \neq 0$},\\ 0, & \text{если $n=0$}. \end{cases} $$

Доопределить по непрерывности --- это всего лишь один из возможных вариантов.

[Алексей К.]

profrotter в сообщении #495490 писал(а):

Нас могла бы рассудить ссылка на литературу, но вы, увы, не привели накакой ссылки.

Искать ссылку на список безграмотностей трудно. Когда кто-то опубликует их коллекцию, тогда ссылка и появится. Ваша якобы ссылка на Фихтенгольца пустая: там такого равенства нет. Везде, где это важно, либо пишут определение функции через \case, либо вставляют фразу типа: "а в случае, когда окружность вырождается в прямую ($k=0$), будем понимать неопределённости как соответствующие пределы". Примерно по Фихтенгольцу.

Да Вы можете хоть без запятых писать, Вас поймут.

[Someone]

profrotter в сообщении #495490 писал(а):

Нас могла бы рассудить ссылка на литературу, но вы, увы, не привели накакой ссылки.

А зачем? Вы сами привели цитаты из Фихтенгольца, в которых нет того, что Вы там "вычитали". Фихтенгольц явно говорит о доопределении функции, а не о доопределении выражения, определяющего функцию.

profrotter в сообщении #495472 писал(а):

В этом ряде вообще просто неправильное выражение для коэффициентов $b_n$, которое по счастливому совпадению при $n>1$ совпадает с теми значениями, которые должны получиться

Ну надо же, какое счастливое совпадение. А почему же при $n=1$ не совпадает? Уж не потому ли, что при $n=1$ интеграл вычисляется по другим формулам, нежели при $n>1$? Вы вообще понимаете, что для вычисления интегралов $\int\limits_0^{\pi}\sin x\sin x\,dx$ и $\int\limits_0^{\pi}\sin x\sin nx\,dx$ при $n>1$ используются разные формулы? Может быть, Вы попробуете собственноручно вычислить эти интегралы?

profrotter в сообщении #495472 писал(а):

Просто значение $\frac{\cos(\pi\cdot n)+1}{1-n}$ рассматривается как отсчёт (выборка, дискретное значение) функции $f(x)=\frac{\cos(\pi\cdot x)+1}{1-x}$ в точке $x=n$:

На каком основании? По определению ряда Фурье, $n$ - целое неотрицательное число. Распространение последовательности на нецелые значения номера - дело достаточно странное, страдающее очень большим произволом.

profrotter в сообщении #495472 писал(а):

Я напомню вам, что к коэффициентам ряда Фурье можно перейти, если известна спектральная плотность сигнала, образующего периодическую последовательность. Спектральная плтнотность - функция непрерывная.

Да??? И какая же спектральная плотность у функции $\sin x$? Не продемонстрируете нам вычисление этой спектральной плотности?

[synphara]

profrotter писал(а):

Я напомню вам, что к коэффициентам ряда Фурье можно перейти, если известна спектральная плотность сигнала, образующего периодическую последовательность.

Спектральная плотность у непереодических сигналов. У "сигнала, образующего периодическую последовательность" линейчатый спектр.

[profrotter]

nnosipov в сообщении #495498 писал(а):

profrotter, выражение $\frac{\sin{n}}{n}$ не определено при $n=0$, и запись $\frac{\sin{n}}{n}\left|_{n=0}$ смысла не имеет (это Вам и пытаются сказать, а Вы не понимаете).

Someone в сообщении #495532 писал(а):

profrotter в сообщении #495490 писал(а):

Нас могла бы рассудить ссылка на литературу, но вы, увы, не привели накакой ссылки.

А зачем? Вы сами привели цитаты из Фихтенгольца, в которых нет того, что Вы там "вычитали". Фихтенгольц явно говорит о доопределении функции, а не о доопределении выражения, определяющего функцию.

Проблема заключается в том, что вы не понимаете, что $\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}\neq\frac {\sin(0)}{0}$. (Последняя запись как раз является некорректной ) Вот я беру и раскладываю синус в ряд Маклорена (между прочим эта запись в некоторых случаях может быть принята за определение синуса)

$$\sin(n)=n-\frac{n^3} {3}+\frac {n^5}{5}-...+(-1)^k\frac {n^{2k+1}}{(2k+1)!}\pm...$$

и рассматриваю

$$\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}=\frac {n-\frac{n^3} {3}+\frac {n^5}{5}-...+(-1)^k\frac {n^{2k+1}}{(2k+1)!}\pm...}{n}\rvert_{n=0}=$$

$$=1-\frac{n^2} {3}+\frac {n^4}{5}-...+(-1)^k\frac {n^{2k}}{(2k+1)!}\pm...}\rvert_{n=0}=1$$

То есть:

$$\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}=\frac {\sin(x)}{x}\rvert_{x=0}=1$$

А вы мне тут всё сочинения пишите.

Someone в сообщении #495532 писал(а):

Ну надо же, какое счастливое совпадение. А почему же при $n=1$ не совпадает? Уж не потому ли, что при $n=1$ интеграл вычисляется по другим формулам, нежели при $n>1$? Вы вообще понимаете, что для вычисления интегралов $\int\limits_0^{\pi}\sin x\sin x\,dx$ и $\int\limits_0^{\pi}\sin x\sin nx\,dx$ при $n>1$ используются разные формулы? Может быть, Вы попробуете собственноручно вычислить эти интегралы?

Если вы настаиваете, я попробую.

$$\int\limits_0^{\pi}\sin x\sin nx\,dx=\frac 1 2\int\limits_0^{\pi}\cos((n-1)x) dx-\frac 1 2\int\limits_0^{\pi}\cos((n+1)x)dx=$$

$$=\frac 1 {2(n-1)}\int\limits_0^{\pi}\cos((n-1)x) d(n-1)x-\frac 1 {2(n+1)}\int\limits_0^{\pi}\cos((n+1)x)d(n+1)x=...$$

Пожалуй вы правы: с этого момента придётся отдельно рассматривать случай для $n=1$. Однако, можно к этому вопросу подходить и по-другому:

$$\int\limits_0^{\pi}\sin x\sin(nx) dx=\int\limits_0^{\pi}\sin x\sin(\omega x)\,dx\rvert_{\omega=n,\omega\in\mathbb{R}}=\frac 1 2\int\limits_0^{\pi}\cos((\omega-1)x) dx-\frac 1 2\int\limits_0^{\pi}\cos((\omega+1)x)dx\rvert_{\omega=n}=$$

$$=\frac 1 {2(\omega-1)}\int\limits_0^{\pi}\cos((\omega-1)x) d(\omega-1)x-\frac 1 {2(\omega+1)}\int\limits_0^{\pi}\cos((\omega+1)x)d(\omega+1)x\rvert_{\omega=n}=$$

$$=\frac 1 {2(\omega-1)}\sin((\omega-1)x)-\frac 1 {2(\omega+1)}\sin((\omega+1)x)\rvert_{0}^\pi\rvert_{\omega=n}=$$

$$=\frac 1 {2(\omega-1)}\sin((\omega-1)\pi)-\frac 1 {2(\omega+1)}\sin((\omega+1)\pi)\rvert_{\omega=n}=$$

$$=\frac {\pi} {2}sinc((\omega-1)\pi)-\frac \pi {2}sinc((\omega+1)\pi)\rvert_{\omega=n}=\frac {\pi} {2}sinc((n-1)\pi)-\frac \pi {2}sinc((n+1)\pi)=$$

$$ =\begin{cases} \frac {\pi} 2,& n=1\\ 0,& n>1\\ \end{cases} $$

Где $sinc(x)=\frac {\sin(x)}{x}$. Изложенный подход как раз соответствует переходу от спектральной плотности к коэффициентам ряда Фурье и показывает как общее инкапсулирует частное .

Someone в сообщении #495532 писал(а):

Да??? И какая же спектральная плотность у функции $\sin x$? Не продемонстрируете нам вычисление этой спектральной плотности?

Я уже демонстрировал. Если интересно посмотрите сообщение #487995. Не надо впадать в крайности. Согласен - спектральная плотность не всегда является непрерывной функцией.

Someone в сообщении #495532 писал(а):

Распространение последовательности на нецелые значения номера - дело достаточно странное, страдающее очень большим произволом.

Литературку подскажите?

Алексей К. в сообщении #495502 писал(а):

Искать ссылку на список безграмотностей трудно.

Прошу прощения, но с безграмотностью - это не ко мне. Умейте достойно вести полемику! Пока этого не произойдёт, прошу мне не писать, простите.

synphara в сообщении #495534 писал(а):

Спектральная плотность у непереодических сигналов. У "сигнала, образующего периодическую последовательность" линейчатый спектр.

Поскольку я был неправильно понят, я считаю, что я неудачно выразился. Я имел ввиду непериодический сигнал, периодическим повторением которого получается периодическая последовательность и в этом смысле сказал, что он "образущий" для последовательности.

[Joker_vD]

profrotter в сообщении #495600 писал(а):

$\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}\neq\frac {\sin(0)}{0}$

Вот так живешь и думаешь, что $f(x)\big\rvert_{x=a}$ означает подстановку $a$ вместо $x$ в $f(x)$, а оно, оказывается, вовсе не так. А что это тогда, profrotter? В общем случае?

[synphara]

profrotter писал(а):

Я имел ввиду непериодический сигнал, периодическим повторением которого получается периодическая последовательность и в этом смысле сказал, что он "образущий" для последовательности.

Так тоже не получается. Дело в что принимается что непериодический сигнал обладается бесконечным периодом, даже если он опеределён на небольшом отрезке аргумента, а на всех других значениях аргумента он равен нулю. Периодический сигнал обладает конечным периодом. Можно сказать что это определение периодичности и непреодичности в данном контексте. Из сигнала бесконечной длительности нельзя составить периодическую последовательность. Из конечного - можно.

Такой еще аргумент. Частотное расстояние между спектральными составляющими это $\frac1T$. Пока $T = const$ (и сигнал периодический) расстояние между спектральными составляющими постоянное и получается линейчатый спектр (дискретные значения ампитуд идущие с одинаковым шагом по частоте). Когда $T=\infty$ расстояние между спектральными составляющими стремится к нулю, вы используете интеграл Фурье и линейчатый спектр превращается в спектральную плотность (функцию значений амплитуды). Посмотрите - у интеграла Фурье в пределе стоит бесконечность.

Я всё к тому что периодические сигналы обладают бесконечным периодом и их невозможно состыковывать в периодические сигналы.

[nnosipov]

profrotter в сообщении #495600 писал(а):

То есть:

$$\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}=\frac {\sin(x)}{x}\rvert_{x=0}=1$$

А вы мне тут всё сочинения пишите.

Да нет, это Вы как раз сочиняете. Переход от $\sin{n}$ к $\sin{n}/n$ требует оговорки: $n$ должно быть не равно нулю (делить на ноль нельзя). Вы по-прежнему путаете функцию с тем выражением, при помощи которого она может быть задана.

profrotter в сообщении #495600 писал(а):

и рассматриваю

$$\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}=\frac {n-\frac{n^3} {3}+\frac {n^5}{5}-...+(-1)^k\frac {n^{2k+1}}{(2k+1)!}\pm...}{n}\rvert_{n=0}=$$

Эта запись безграмотна. В учебниках такого нет.

[Someone]

profrotter в сообщении #495600 писал(а):

Проблема заключается в том, что вы не понимаете, что $\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}\neq\frac {\sin(0)}{0}$.

Почему не понимаю? По определению знака подстановки, «$\frac{\sin n}n\rvert_{n=0}$» - это результат подстановки символа «$0$» в выражение «$\frac{\sin n}n$» вместо символа «$n$». То есть, это обозначает в точности «$\frac{\sin 0}0$». Поэтому свои выдумки оставьте при себе.

profrotter в сообщении #495600 писал(а):

Вот я беру и раскладываю синус в ряд Маклорена (между прочим эта запись в некоторых случаях может быть принята за определение синуса)

Может.
Дальнейшие вычисления с рядом я не цитирую. По сути дела: Вы не понимаете, что область определения функции $f(x)=\frac xx$ отличается от области определения функции $g(x)=1$? Этому в школе ещё учат.

profrotter в сообщении #495600 писал(а):

Однако, можно к этому вопросу подходить и по-другому:
...
Изложенный подход как раз соответствует переходу от спектральной плотности к коэффициентам ряда Фурье и показывает как общее инкапсулирует частное

Не вижу в Ваших вычислениях спектральной плотности периодической функции. Кроме того, не понимаю, зачем нужно привлекать преобразование Фурье, если нужно всего лишь разложить функцию в ряд Фурье.

profrotter в сообщении #495600 писал(а):

Я уже демонстрировал. Если интересно посмотрите сообщение #487995. Не надо впадать в крайности. Согласен - спектральная плотность не всегда является непрерывной функцией.

Более того, она в рассматриваемом случае вообще не является функцией. А уж вычислять от неё предел, чтобы найти значения коэффициентов ряда Фурье, и вообще бессмысленно.

profrotter в сообщении #495600 писал(а):

Someone в сообщении #495532 писал(а):

Распространение последовательности на нецелые значения номера - дело достаточно странное, страдающее очень большим произволом.

Литературку подскажите?

Какую "литературку"? Что функцию, определённую на множестве целых неотрицательных чисел, можно многими способами продолжить на множество действительных чисел? Ну продолжите её между соседними точками как линейную, а в области $x\leqslant 0$ - как постоянную. А в другой раз вместо линейной функции возьмите какую-нибудь другую. А у Фихтенгольца, насколько я помню, где-то рассматривается вопрос об определении гамма-функции (сейчас некогда разыскивать; может быть, это и не Фихтенгольц был, а учебник по ТФКП, там этот вопрос тоже рассматривается).

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #495600 писал(а):

Прошу прощения, но с безграмотностью - это не ко мне.

Ну, положим, обижаетесь Вы зря. Вы ведь сами всё время подразумеваете, что Ваши оппоненты - безграмотные люди. Хотя, с нашей точки зрения, определённую неграмотность в элементарных школьных вопросах (и не только в них) демонстрируете именно Вы.

profrotter в сообщении #495600 писал(а):

Поскольку я был неправильно понят, я считаю, что я неудачно выразился. Я имел ввиду непериодический сигнал, периодическим повторением которого получается периодическая последовательность и в этом смысле сказал, что он "образущий" для последовательности.

Для какой "последовательности"? Термины "образующий сигнал последовательности" и "образующий сигнал периодической функции" никоим образом не являются сколько-нибудь известными.

[profrotter]

Joker_vD в сообщении #495617 писал(а):

profrotter в сообщении #495600 писал(а):

$\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}\neq\frac {\sin(0)}{0}$

Вот так живешь и думаешь, что $f(x)\big\rvert_{x=a}$ означает подстановку $a$ вместо $x$ в $f(x)$, а оно, оказывается, вовсе не так. А что это тогда, profrotter? В общем случае?

Когда вы вычисляете производную, вы же понимаете, что

$$\frac {df(t)}{dt}\rvert_{t=0}\neq\frac {df(0)}{dt}\neq \frac {df(0)}{d0}?$$

Someone в сообщении #495644 писал(а):

Не вижу в Ваших вычислениях спектральной плотности периодической функции. Кроме того, не понимаю, зачем нужно привлекать преобразование Фурье, если нужно всего лишь разложить функцию в ряд Фурье.

synphara в сообщении #495619 писал(а):

Так тоже не получается. ... Посмотрите - у интеграла Фурье в пределе стоит бесконечность.

Этот вопрос смотрим в Гоноровский Радиотехнические цепи и сигналы. Я уже устал тут учебники переписывать. Вопрос тут не почему и зачем, а в том, что в некоторых случаях (например в этой теме) коэффициенты ряда Фурье могут быть получены как пропорциональные значениям спектральной плотности (или её действительной или мнимой части). В таких случаях нет необходимости их заново пересчитывать и, в случае неопределённостей, придётся таки рассматривать пределы. Чаще всего найти предел гораздо проще (фактически можно устно), чем заново интерировать.

nnosipov в сообщении #495627 писал(а):

Эта запись безграмотна.

Почему? Там что ряд не сходится или есть другие причины? Обоснуйте.

Someone, неоднозначность продолжения решетчатой функции в область действительного аргумента никоим образом не меняет сути дела.

Собственно, утомили вы меня своей голословной полифонией.

[svv]

profrotter, мне кажется, то, как Вы хотите понимать $\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}$ -- это просто $\lim\limits_{x\to 0}\frac {\sin x} x$. Без сомнения, это выражение равно $1$.

Если есть возражения, то какие? В чем смысл Вашей "черточки" отличен от смысла предела?

[nnosipov]

profrotter в сообщении #495663 писал(а):

Собственно, утомили вы меня своей голословной полифонией.

Почему же голословной? Вам всё объяснили, и уже не один раз. Хотите безграмотно писать --- пишите, дело хозяйское. Только не ссылайтесь при этом на учебники --- там такого нет.
P.S. И оставьте Вы эти зелёные мордочки студентам --- взрослые же люди, ну.

[ewert]

profrotter в сообщении #495663 писал(а):

Там что ряд не сходится или есть другие причины? Обоснуйте.

Потому, что подставлять можно лишь после сокращения, но ни в коем случае не до. Такая особая точка вполне официально называется устранимой. Именно устранимой, но именно особой -- до тех пор, пока не устранена (вот именно путём предельного перехода). И полученная в результате функция будет формально уже совсем другой.

-- Пн окт 24, 2011 18:44:12 --

profrotter в сообщении #495663 писал(а):

Этот вопрос смотрим в Гоноровский Радиотехнические цепи и сигналы.

Лучше математические вопросы смотреть всё же в математических книжках -- в технических полно математических неточностей и жаргона. Вот и тут:

profrotter в сообщении #495663 писал(а):

и, в случае неопределённостей, придётся таки рассматривать пределы.

-- все недоразумения из-за того, что Вы не вполне понимаете, что делаете. Предельный переход от суммы апериодических сигналов к периодическому провести, конечно, можно; только, во-первых, его всё-таки надо честно проводить (и получать в пределе соотв. сумму дельта-функций), а во-вторых, он всё равно ничего не даст, поскольку не перестановочен с предельным переходом по омеге. А в той своей выкладке с синусами Вы просто омегу не туда приткнули. Надо было не эн на неё заменять, а, наоборот, вводить как дополнительный множитель под первый синус и устремлять потом к единице. Вот это -- действительно было бы вполне корректно. И хотя окончательный вывод получился бы, разумеется, тем же самым, но всё-таки есть существенная разница между осознанными выкладками и просто чёрной магией.

[profrotter]

svv в сообщении #495668 писал(а):

profrotter, мне кажется, то, как Вы хотите понимать $\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}$ -- это просто $\lim\limits_{x\to 0}\frac {\sin x} x$. Без сомнения, это выражение равно $1$.

Если есть возражения, то какие? В чем смысл Вашей "черточки" отличен от смысла предела?

Возражения тут не у меня, а у других участников. Чёрточка стоит потому, что на целых числах предел не рассматривается. Об этом и дискусс. Стоит вопрос о том, можно ли считать корректным продолжение решетчатой функции на действительную ось путём замены в её выражении $n\in \mathbb{Z}$ на $x\in \mathbb{R}$ и обратно.
ewert, Я говорю о связи спектров периодического и непериодического сигналов. Загляните в Гоноровского. Чтобы это пояснить - рисовать надо. При выводе используется аналогия интегралов для преобразования Фурье и коэффициентов ряда Фурье в комплексной форме, а вовсе никакой не предельный преход. Есть формула перехода от спектральной плотности к коэффициентам ряда Фурье:

$$C_n=\frac 1 T S(\frac {2\pi n} T),$$

где $S(\omega)$ - спектральная плотность синала $s(t)$ ограниченной длительности, $C_n$ - коэффициенты ряда Фурье в комплексной форме для периодического сигнала $s_p(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}s(t-nT)$, $T$-период.

ewert в сообщении #495670 писал(а):

Потому, что подставлять можно лишь после сокращения, но ни в коем случае не до.

А я и подставлял после сокращения.

ewert в сообщении #495670 писал(а):

И хотя окончательный вывод получился бы, разумеется, тем же самым, но всё-таки есть существенная разница между осознанными выкладками и просто чёрной магией.

Нет - не понимаю, что мешает мне найти некоторую функцию, а потом рассмотреть её дискретные значения, тем более, что "окончательный вывод получился бы, разумеется, тем же самым".


Вот я опять открываю Фихтенгольца том 1 и на стр.498 нахожу формулу:

$$\frac {\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-...$$

Ничего мне не мешает рассматривать эту формулу на целых числах:

$$\frac {\sin(n)}{n}= 1-\frac{n^2}{3!}+\frac{n^4}{5!}-...,$$

и, в частности, при $n=0$ и записать

$$\frac {\sin(n)}{n}\rvert_{n=0}=1$$

nnosipov, ничто не запрещает взрослым людям улыбаться друг другу! Значки я ставлю потому, что мне иногда думается, что я резко пишу. Это просто желание смягчить ситуацию. Непонятно как может раздражать смайлик с улыбкой.