Правильные пути бывают разными. Судя по всему вас смутила необходимость отыскания преобразования Фурье для периодического сигнала
![$|\sin(\omega_0 t)|$ $|\sin(\omega_0 t)|$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/8/3a827159f1f5f7d32544a760dd922f8282.png)
. Тот способ, которым вы хотите это сделать мне тоже видится несколько громоздким и путаным (пределы у интегралов в последней сумме страшные - при таком раскладе не мудрено запутаться
![:mrgreen: :mrgreen:](./images/smilies/icon_mrgreen.gif)
) Между тем периодический сигнал можно представить в виде ряда Фурье в комплексной форме:
![$$s_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{j\omega_n t},$$ $$s_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{j\omega_n t},$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/2/5c29af27dc7358b49a965faa2af53df682.png)
где
![$C_n=\frac 1 T \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}s_T(t)e^{-j\omega_n t}$ $C_n=\frac 1 T \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}s_T(t)e^{-j\omega_n t}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/4/ae4e0a5ea0960b94aa2e3dfbf2e011ff82.png)
,
![$T$ $T$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f118ee06d05f3c2d98361d9c30e38ce82.png)
- период сигнала,
![$\omega_n=n \omega_1$ $\omega_n=n \omega_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/e/23e3700ddb19fe1e20786be98ce8ca6b82.png)
- частота
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
- ой гармоники,
![$\omega_1=\frac {2\pi} T$ $\omega_1=\frac {2\pi} T$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/9/d396f93c637313909ea1dd6828c482c882.png)
- частота сигнала. Мы хотим найти преобразование Фурье от периодического сигнала? - Ищем:
![$$Fs_T(t)=F[\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{j\omega_n t}]$$ $$Fs_T(t)=F[\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{j\omega_n t}]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/f/c6f5e00ff3fc3402d88341af8a6c433682.png)
Ввиду свойства линейности преобразования Фурье:
![$$Fs_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_nF[e^{j\omega_n t}]$$ $$Fs_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_nF[e^{j\omega_n t}]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/7/68793b9296f0b8e17971bdac768d98a582.png)
А так как
![$F[e^{j\omega_n t}]=2\pi \delta(\omega-\omega_n)$ $F[e^{j\omega_n t}]=2\pi \delta(\omega-\omega_n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/2/1e25b8096d5010bc0f6a9c2152acda1e82.png)
, получаем:
![$$Fs_T(t)=2\pi\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_n\delta(\omega-\omega_n)$$ $$Fs_T(t)=2\pi\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_n\delta(\omega-\omega_n)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/3/0531ccb058a791b634097c4acc290bc582.png)
Совет такой: сначала находите коэффициенты ряда Фурье для
![$|\sin(\omega_0 t)|$ $|\sin(\omega_0 t)|$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/8/3a827159f1f5f7d32544a760dd922f8282.png)
, затем записываете выражение для спектральной плотности, подставив их в приведённое мною выражение, потом смотрите что там со свёрткой, учитывая фильтрующее свойство дельта-функции.