Грани гиперкуба

[arseniiv]

Это как? Вы же спрашивали, а ответ по этому поводу вроде бы только у INGELRII был здесь.

А, понял. Тогда снимаю цитату.

[cyb12]

Сказав, что нельзя объединить вершины в нульмерные грани, я имел в виду то, что нельзя сделать только из них грани отличные от нульмерных. А так, естественно, существуют грани любой размерности, в которые попадают несколько вершин этого слоя.

[serval]

Вопрос о гранях снят.
Остался лишь вопрос о принадлежности указанных вершин указанным же гиперплоскостям.

Вот же! Только сейчас сообразил - меня интересуют вершины не принадлежащие одной грани, но принадлежащие одной указанной гиперплоскости.
Боюсь запутать, но, вроде, мы уже выяснили, что интересующие меня вершины просто не могут принадлежать одной грани.

[Circiter]

2serval

Цитата:

вроде, мы уже выяснили, что интересующие меня вершины просто не могут принадлежать одной грани

Мне кажется, что в этой теме не хватает определения понятия "грань гиперкуба". Лучше явно писать 1-грань (ребро), 2-грань, etc.

Действительно, если ровно $N-1$ координат каждой из подмножества вершин $N$-куба равны единице, то эти вершины попарно не являются соседними -- чтобы перейти от одной вершины к другой скользя вдоль ребер нужно изменить как минимум две координаты. Значит, в принципе, две такие вершины могут быть на одной и той же $n$-грани, где $n\neq 1$.

Цитата:

Разговор уже про плоскости проходящие через начало координат и содержащие $N-1$ таких вершин.

Попробую уточнить для себя и других участников. Рассматриваемые плоскости не имеют ничего общего с гранями и могут лежать в пространстве под любыми углами, так? Тогда $N-1$ удовлетворяющих вашему условию вершин вместе с началом координат образуют базис и вопрос сводится к возможно варазить какую-либо другую, тоже содержащую ровно $N-1$ единиц, вершину гиперкуба в этом базисе. т.е. в виде линейной комбинации выбранных $N-1$ вершин. Предположение: на каждой такой плоскости только $N-1$ "правильных" вершин + нулевая.

Цитата:

Только сейчас сообразил - меня интересуют вершины не принадлежащие одной грани, но принадлежащие одной указанной гиперплоскости

А это сложнее. Чтобы две вершине не принадлежали одной грани, они должны различаться сразу в $N$ координатах. Мне кажется последняя ваша прихоть и вовсе не имеет решения. :)

(Оффтоп)

Немекните, пожалуйста, с чем свзяна ваша задачка? У меня тоже есть одна интересная задача и я тоже долгое время ковырялся с гиперкубами в попытках её решить. Все вопросы связанные с принадлежностью граням я пытался сводить к ограничениям на попарные расстояния Хэмминга иил другие подходящие битовые метрики. Вдруг и вам подобный прием пригодится.

-- Чт сен 22, 2011 01:57:01 --

А может быть вы хотите пронумеровать такие плоскости и по данной вершине узнавать номера плоскостей, которым она принадлежит?

[Circiter]

Фу, блин, так плоскости оказывается подразумеваются двумерные в $N$-мерном пространстве, а не $N-1$ мерные подпространства? Тогда вроде получается, что на каждую пару правильных вершин по отдельной плоскости через начало координат проходит... Нужно уточнение условия...

-- Чт сен 22, 2011 03:55:56 --

serval писал(а):

Кстати, а каков признак их принадлежности одной грани?

Давайте попробуем так: две вершины принадлежат одной $n$-грани если они различаются не более чем в $n$ координатах.

-- Чт сен 22, 2011 04:22:44 --

Ой, простите, меня сбило с толку магическое число $N-1$. :) Оказывается вы говорили о вершинах содержащих 3 единицы. Ну в принципе тоже самое -- меняем одну единицу на ноль, а один ноль на единицу, в результате $l_1$ норма по прежнему равна трем, а новая вершина лежаит на той-же 2-грани.

[Circiter]

Последняя порция бреда: две вершины $u$ и $v$, содержащие только 3 единицы среди координат, вместе с началом координат определяют 2-плоскость. Чтобы в этой же 2-плоскости лежала ещё одна вершина $w\colon\|w\|_1=3$ надо, чтобы решалось уравнение $w=\alpha u+\beta v$ с учетом равенства норм всех трех вершин. Мне по-прежнему кажется, что такого решения нет. Значит, каждые две вершины с 3 единицами определяют отдельную 2-плоскость, и каждая такая вершина принадлежит поэтому сразу $N-1$ таким 2-плоскостям. А номер 2-плоскости, которой эта вершина не принадлежит, может быть положен равным, например, номеру этой вершины в лексикографическом упорядочении множества $\big\{x\in\{0,\ 1\}^N\colon\|x\|_1=3\big\}$.

Всё, молчу, молчу. :)

[serval]

Я задумался над условием прохождения гиперплоскости через начало координат - необходимо ли оно? Пока не знаю.

[serval]

Давайте с начала.
Вот три плоскости в $3$-мерном кубе каждая из которых задается тремя его вершинами - началом координат и еще двумя, каждая из которых противолежит ему (началу) в их общей грани:

$\{(0,0,0),\ (1,1,0),\ (0,1,1)\}$

$\{(0,0,0),\ (1,1,0),\ (1,0,1)\}$

$\{(0,0,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1)\}$

Как выписать то же самое для $4$-мерного куба?

[serval]

Забыл уточнить, что каждая вершина должна содержать $3$ единичных координаты и $1$ нулевую.

[arseniiv]

Постойте! Через каждые две или три точки, не лежащие, соответственно, на одной 0- или 1-плоскости, проходит 1- или 2-плоскость. А через каждые 4 точки, не лежащие на одной 2-плоскости, разве не проходит единственная 3-плоскость?

-- Вт сен 27, 2011 01:48:35 --

Просто поподбирайте координаты так, чтобы точки не лежали в одном трёхмерном пространстве… Или в этом и загвоздка?

[serval]

Цитата:

Через каждые две или три точки

Я не ошибаюсь полагая, что в $4$-мерном пространстве любая гиперплоскость однозначно задается четырьмя точками?
Полчаса назад я, кажется, додумался до решения. Нужно проверить.

[serval]

Пожалуйста, проверьте ход рассуждений.

Пусть дан гиперкуб размерности $N$ построенный на ортах.
Тогда каждая из его граней построена на $n=N-1$ орте.
Число $k$ вершин имеющих $3$ ненулевых координаты равно в каждой грани числу сочетаний $k=C_n^3=\frac{n!}{3!(n-3)!}$ .
Число гиперплоскостей проходящих через начало координат и любые из $n$ точек принадлежащих одной грани и имеющих $3$ ненулевых координаты равно $m=C_k^n=\frac{k!}{k!(k-n)!}$ .

Это верно?

С другой стороны, пусть $N=6$. Тогда $k=10$, а значит радиус-вектор любой из этих вершин можно разложить по $6$ любым другим векторам из этой десятки. Разве это верно?
Где я ошибаюсь?

[ИСН]

Ну а почему бы нет? Например, (1,1,1,0,0,0)=(1,0,1,0,1,0)+(0,1,0,1,0,1)-(0,0,0,1,1,1).

[serval]

Это очень хорошо :)
Значит, я нигде не ошибся?

[ИСН]

Возможно, гиперплоскостей будет получаться меньше за счёт того, что некоторые из них совпадут.