2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение21.09.2011, 19:55 
Это как? Вы же спрашивали, а ответ по этому поводу вроде бы только у INGELRII был здесь.

А, понял. Тогда снимаю цитату.

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение21.09.2011, 21:04 
Сказав, что нельзя объединить вершины в нульмерные грани, я имел в виду то, что нельзя сделать только из них грани отличные от нульмерных. А так, естественно, существуют грани любой размерности, в которые попадают несколько вершин этого слоя.

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение21.09.2011, 21:35 
Аватара пользователя
Вопрос о гранях снят.
Остался лишь вопрос о принадлежности указанных вершин указанным же гиперплоскостям.

Вот же! Только сейчас сообразил - меня интересуют вершины не принадлежащие одной грани, но принадлежащие одной указанной гиперплоскости.
Боюсь запутать, но, вроде, мы уже выяснили, что интересующие меня вершины просто не могут принадлежать одной грани.

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение21.09.2011, 22:22 
2serval
Цитата:
вроде, мы уже выяснили, что интересующие меня вершины просто не могут принадлежать одной грани

Мне кажется, что в этой теме не хватает определения понятия "грань гиперкуба". Лучше явно писать 1-грань (ребро), 2-грань, etc.

Действительно, если ровно $N-1$ координат каждой из подмножества вершин $N$-куба равны единице, то эти вершины попарно не являются соседними -- чтобы перейти от одной вершины к другой скользя вдоль ребер нужно изменить как минимум две координаты. Значит, в принципе, две такие вершины могут быть на одной и той же $n$-грани, где $n\neq 1$.

Цитата:
Разговор уже про плоскости проходящие через начало координат и содержащие $N-1$ таких вершин.

Попробую уточнить для себя и других участников. Рассматриваемые плоскости не имеют ничего общего с гранями и могут лежать в пространстве под любыми углами, так? Тогда $N-1$ удовлетворяющих вашему условию вершин вместе с началом координат образуют базис и вопрос сводится к возможно варазить какую-либо другую, тоже содержащую ровно $N-1$ единиц, вершину гиперкуба в этом базисе. т.е. в виде линейной комбинации выбранных $N-1$ вершин. Предположение: на каждой такой плоскости только $N-1$ "правильных" вершин + нулевая.

Цитата:
Только сейчас сообразил - меня интересуют вершины не принадлежащие одной грани, но принадлежащие одной указанной гиперплоскости

А это сложнее. Чтобы две вершине не принадлежали одной грани, они должны различаться сразу в $N$ координатах. Мне кажется последняя ваша прихоть и вовсе не имеет решения. :)

(Оффтоп)

Немекните, пожалуйста, с чем свзяна ваша задачка? У меня тоже есть одна интересная задача и я тоже долгое время ковырялся с гиперкубами в попытках её решить. Все вопросы связанные с принадлежностью граням я пытался сводить к ограничениям на попарные расстояния Хэмминга иил другие подходящие битовые метрики. Вдруг и вам подобный прием пригодится.


-- Чт сен 22, 2011 01:57:01 --

А может быть вы хотите пронумеровать такие плоскости и по данной вершине узнавать номера плоскостей, которым она принадлежит?

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение22.09.2011, 00:32 
Фу, блин, так плоскости оказывается подразумеваются двумерные в $N$-мерном пространстве, а не $N-1$ мерные подпространства? Тогда вроде получается, что на каждую пару правильных вершин по отдельной плоскости через начало координат проходит... Нужно уточнение условия...

-- Чт сен 22, 2011 03:55:56 --

serval писал(а):
Кстати, а каков признак их принадлежности одной грани?

Давайте попробуем так: две вершины принадлежат одной $n$-грани если они различаются не более чем в $n$ координатах.

-- Чт сен 22, 2011 04:22:44 --

Ой, простите, меня сбило с толку магическое число $N-1$. :) Оказывается вы говорили о вершинах содержащих 3 единицы. Ну в принципе тоже самое -- меняем одну единицу на ноль, а один ноль на единицу, в результате $l_1$ норма по прежнему равна трем, а новая вершина лежаит на той-же 2-грани.

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение22.09.2011, 01:41 
Последняя порция бреда: две вершины $u$ и $v$, содержащие только 3 единицы среди координат, вместе с началом координат определяют 2-плоскость. Чтобы в этой же 2-плоскости лежала ещё одна вершина $w\colon\|w\|_1=3$ надо, чтобы решалось уравнение $w=\alpha u+\beta v$ с учетом равенства норм всех трех вершин. Мне по-прежнему кажется, что такого решения нет. Значит, каждые две вершины с 3 единицами определяют отдельную 2-плоскость, и каждая такая вершина принадлежит поэтому сразу $N-1$ таким 2-плоскостям. А номер 2-плоскости, которой эта вершина не принадлежит, может быть положен равным, например, номеру этой вершины в лексикографическом упорядочении множества $\big\{x\in\{0,\ 1\}^N\colon\|x\|_1=3\big\}$.

Всё, молчу, молчу. :)

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение24.09.2011, 10:43 
Аватара пользователя
Я задумался над условием прохождения гиперплоскости через начало координат - необходимо ли оно? Пока не знаю.

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение25.09.2011, 12:09 
Аватара пользователя
Давайте с начала.
Вот три плоскости в $3$-мерном кубе каждая из которых задается тремя его вершинами - началом координат и еще двумя, каждая из которых противолежит ему (началу) в их общей грани:

$\{(0,0,0),\ (1,1,0),\ (0,1,1)\}$

$\{(0,0,0),\ (1,1,0),\ (1,0,1)\}$

$\{(0,0,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1)\}$

Как выписать то же самое для $4$-мерного куба?

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение26.09.2011, 08:33 
Аватара пользователя
Забыл уточнить, что каждая вершина должна содержать $3$ единичных координаты и $1$ нулевую.

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение26.09.2011, 22:47 
Постойте! Через каждые две или три точки, не лежащие, соответственно, на одной 0- или 1-плоскости, проходит 1- или 2-плоскость. А через каждые 4 точки, не лежащие на одной 2-плоскости, разве не проходит единственная 3-плоскость?

-- Вт сен 27, 2011 01:48:35 --

Просто поподбирайте координаты так, чтобы точки не лежали в одном трёхмерном пространстве… Или в этом и загвоздка?

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение27.09.2011, 08:43 
Аватара пользователя
Цитата:
Через каждые две или три точки

Я не ошибаюсь полагая, что в $4$-мерном пространстве любая гиперплоскость однозначно задается четырьмя точками?
Полчаса назад я, кажется, додумался до решения. Нужно проверить.

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение27.09.2011, 15:02 
Аватара пользователя
Пожалуйста, проверьте ход рассуждений.

Пусть дан гиперкуб размерности $N$ построенный на ортах.
Тогда каждая из его граней построена на $n=N-1$ орте.
Число $k$ вершин имеющих $3$ ненулевых координаты равно в каждой грани числу сочетаний $k=C_n^3=\frac{n!}{3!(n-3)!}$ .
Число гиперплоскостей проходящих через начало координат и любые из $n$ точек принадлежащих одной грани и имеющих $3$ ненулевых координаты равно $m=C_k^n=\frac{k!}{k!(k-n)!}$ .

Это верно?

С другой стороны, пусть $N=6$. Тогда $k=10$, а значит радиус-вектор любой из этих вершин можно разложить по $6$ любым другим векторам из этой десятки. Разве это верно?
Где я ошибаюсь?

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение27.09.2011, 15:21 
Аватара пользователя
Ну а почему бы нет? Например, (1,1,1,0,0,0)=(1,0,1,0,1,0)+(0,1,0,1,0,1)-(0,0,0,1,1,1).

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение27.09.2011, 17:02 
Аватара пользователя
Это очень хорошо :)
Значит, я нигде не ошибся?

 
 
 
 Re: Грани гиперкуба
Сообщение27.09.2011, 17:19 
Аватара пользователя
Возможно, гиперплоскостей будет получаться меньше за счёт того, что некоторые из них совпадут.

 
 
 [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group